Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 44
Droites et points alignés
Je sais nommer un point et une droite, utiliser les symboles ∈ et ∉, et reconnaître ou tracer des points alignés avec ma règle.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Représenter et nommer un point et une droite
- Savoir que par deux points distincts passe une seule droite
- Utiliser les symboles ∈ et ∉
- Reconnaître des points alignés et des droites sécantes
Avant de commencer : Savoir tenir une règle et un crayon bien taillé ; connaître les lettres majuscules de l'alphabet.
1Je découvre
Sur la route qui mène au village de Sékou, près de Kouroussa, les ouvriers installent des poteaux électriques. Le chef d'équipe, Mamadou, a déjà planté deux poteaux, l'un au bord du champ de manioc, l'autre près du puits. Il demande à Sékou de l'aider à placer le troisième poteau.
« Il faut que les fils passent bien droit, sans faire de zigzag », explique Mamadou. Il tend une longue ficelle bien tendue entre les deux premiers poteaux et dit : « Le nouveau poteau doit toucher cette ficelle. »
Sékou remarque qu'il peut placer le troisième poteau plus loin, ou entre les deux premiers, ou même derrière le premier : tant qu'il touche la ficelle prolongée, les fils restent droits. Mais s'il le place un peu à côté, les fils ne sont plus en ligne droite.
En géométrie, les poteaux sont des points et la ficelle tendue qu'on prolonge sans fin est une droite.
Comment représenter un point et une droite, et comment savoir si trois points sont « sur la même ligne » ?
2Je comprends
1. Le point
Un point représente un endroit précis sur la feuille. Il n'a ni longueur ni épaisseur. On le représente par une petite croix (×) et on le nomme avec une lettre majuscule : le point A, le point B, le point M…
On évite de représenter un point par un gros rond : on ne saurait plus où se trouve exactement l'endroit.
2. La droite
Une droite est une ligne droite illimitée dans les deux sens : elle n'a ni début ni fin. Sur ta feuille, tu n'en dessines qu'une partie avec ta règle, mais il faut imaginer qu'elle continue sans fin de chaque côté.
On peut nommer une droite de deux façons :
- avec deux de ses points, entre parenthèses : la droite (AB) passe par A et par B ; on peut aussi l'appeler (BA) ;
- avec une lettre minuscule entre parenthèses : la droite (d), la droite (Δ) (lire « delta »).
Propriété fondamentale. Par deux points distincts, il passe une seule droite.
Par un seul point, au contraire, on peut faire passer autant de droites qu'on veut : essaie de tracer plusieurs droites passant par le même point A, tu verras qu'il n'y a pas de limite.
3. Les symboles « appartient » et « n'appartient pas »
Quand un point est sur une droite, on dit qu'il appartient à cette droite. On écrit avec le symbole ∈ :
- C ∈ (d) se lit « C appartient à la droite (d) ».
Quand un point n'est pas sur la droite, on utilise le symbole ∉ :
- D ∉ (d) se lit « D n'appartient pas à la droite (d) ».
Sur la figure ci-dessus : A ∈ (d), B ∈ (d), C ∈ (d) et D ∉ (d). Comme A et B sont sur (d), la droite (d) est aussi la droite (AB). On peut donc écrire C ∈ (AB).
4. Les points alignés
Définition. Des points sont alignés lorsqu'ils appartiennent à une même droite.
Sur la figure, A, B et C sont alignés. En revanche, A, B et D ne sont pas alignés.
Remarque : deux points distincts sont toujours alignés, puisqu'il passe toujours une droite par deux points. La question de l'alignement se pose donc à partir de trois points.
Méthode
Pour savoir si trois points A, B et C sont alignés :
- Je place le bord de ma règle bien exactement sur les points A et B.
- Je trace la droite (AB), finement, et je la prolonge si nécessaire.
- Je regarde si le point C est exactement sur le trait.
- Je conclus : si C ∈ (AB), les trois points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.
Exemple
Kadiatou a placé trois points E, F et G sur son cahier. Elle trace la droite (EF) avec sa règle et constate que le trait passe exactement par la croix du point G.
Conclusion : G ∈ (EF), donc les points E, F et G sont alignés.
Elle peut aussi écrire que les droites (EF), (EG) et (FG) sont une seule et même droite.
5. Droites sécantes et point d'intersection
Deux droites qui se coupent en un point sont dites sécantes. Ce point commun s'appelle leur point d'intersection.
Deux droites distinctes ne peuvent pas avoir deux points communs : sinon, par ces deux points passeraient deux droites différentes, ce qui est impossible d'après la propriété fondamentale. Donc deux droites sécantes ont un seul point commun.
Exemple
On donne quatre points A, B, C, D, sans que trois d'entre eux soient alignés. Combien de droites passent par au moins deux de ces points ?
On compte les paires de points : (AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD).
Il y a donc 6 droites. On ne compte pas (BA) en plus de (AB) : c'est la même droite.
6. Retour aux poteaux de Mamadou
Les deux premiers poteaux sont deux points distincts P et Q : une seule droite (PQ) passe par eux, c'est la ficelle tendue et prolongée. Le troisième poteau R doit vérifier R ∈ (PQ) : alors P, Q et R sont alignés et les fils restent bien droits. Si R ∉ (PQ), les trois poteaux ne sont pas alignés.
| Situation | Écriture | Vocabulaire |
|---|---|---|
| M est sur la droite (d) | M ∈ (d) | M appartient à (d) |
| N n'est pas sur (d) | N ∉ (d) | N n'appartient pas à (d) |
| A, B, C sur une même droite | C ∈ (AB) | A, B, C sont alignés |
| (d) et (d') se coupent en I | I point commun | (d) et (d') sont sécantes en I |
3Je retiens
Je retiens
Un point se représente par une croix et se nomme avec une lettre majuscule.
Une droite est illimitée dans les deux sens ; on la note (AB) ou (d).
Par deux points distincts passe une seule droite.
M ∈ (d) : M appartient à (d). N ∉ (d) : N n'appartient pas à (d).
Des points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite.
Deux droites sécantes ont un seul point commun : leur point d'intersection.
4Erreurs fréquentes
- Écrire la droite AB sans parenthèses : AB désigne une longueur ou un segment ; la droite se note (AB), avec des parenthèses.
- S'arrêter aux points A et B en traçant la droite (AB) : une droite ne s'arrête pas, il faut la prolonger au-delà de A et de B.
- Juger l'alignement « à l'œil » : il faut toujours vérifier avec la règle, car un point peut être très légèrement à côté.
- Confondre ∈ et ∉ : la barre oblique sur ∉ veut dire « non », comme sur un panneau d'interdiction.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète avec ∈ ou ∉, en t'aidant de la première figure de la leçon (A, B, C sur (d) ; D hors de (d)).
a) A … (d) b) D … (d) c) C … (AB) d) D … (BC)
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a) A ∈ (d).
b) D ∉ (d).
c) C ∈ (AB), car la droite (AB) est la droite (d) et C est sur (d).
d) D ∉ (BC), car la droite (BC) est aussi la droite (d) et D n'est pas sur (d).
2Exercice 2
Place trois points non alignés R, S et T. Trace toutes les droites qui passent par deux de ces points. Combien en obtiens-tu ? Nomme-les.
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On obtient 3 droites : (RS), (RT) et (ST). Comme les trois points ne sont pas alignés, ces trois droites sont différentes ; elles forment un triangle.
3Exercice 3
Dis si chaque phrase est vraie ou fausse, et justifie.
a) Par deux points distincts, on peut faire passer deux droites différentes.
b) Deux points sont toujours alignés.
c) La droite (MN) et la droite (NM) sont la même droite.
d) Deux droites sécantes peuvent avoir deux points communs.
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a) Faux : par deux points distincts passe une seule droite.
b) Vrai : il existe toujours une droite qui passe par deux points.
c) Vrai : l'ordre des lettres ne change pas la droite.
d) Faux : si deux droites avaient deux points communs, elles seraient confondues ; deux droites sécantes ont un seul point commun.
4Exercice 4
Trace une droite (d). Place les points A et B sur (d), puis un point C tel que C ∉ (d). Trace la droite (AC) et la droite (BC).
a) Les droites (AC) et (BC) sont-elles sécantes ? Quel est leur point d'intersection ?
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifie.
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a) Oui. Les droites (AC) et (BC) passent toutes les deux par C : elles sont sécantes et leur point d'intersection est C. (Elles ne sont pas confondues, sinon A, B et C seraient alignés.)
b) Non. A et B sont sur (d), donc la droite (AB) est (d). Or C ∉ (d), donc C ∉ (AB) : les points A, B et C ne sont pas alignés.
5Exercice 5
(Problème) Lansana a planté cinq piquets A, B, C, D, E dans le champ de son père pour tendre des cordes. Aucun groupe de trois piquets n'est aligné. Il veut tendre une corde entre chaque paire de piquets. Combien de cordes lui faut-il ? Explique ta méthode.
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On compte les paires de piquets sans les répéter :
- avec A : AB, AC, AD, AE, soit 4 cordes ;
- avec B (sans refaire AB) : BC, BD, BE, soit 3 cordes ;
- avec C : CD, CE, soit 2 cordes ;
- avec D : DE, soit 1 corde.
Total : 4 + 3 + 2 + 1 = 10 cordes. Lansana a besoin de 10 cordes.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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