Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 44
Droites perpendiculaires
Je sais reconnaître deux droites perpendiculaires avec l'équerre, écrire le symbole ⊥ et tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir deux droites perpendiculaires
- Utiliser le symbole ⊥ et coder un angle droit
- Vérifier la perpendicularité avec l'équerre
- Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné
Avant de commencer : Droites et points alignés (notation (AB), droites sécantes, point d'intersection).
1Je découvre
Ibrahima aide son oncle, maçon à Labé, à construire une petite boutique en briques. Avant de monter le premier mur, l'oncle tend deux cordeaux au sol pour marquer le coin du bâtiment. Il sort alors un grand outil en bois en forme de L, qu'il appelle « l'équerre du maçon », et le pose contre les deux cordeaux.
« Si les cordeaux ne collent pas parfaitement aux deux côtés de l'équerre, le coin sera tordu, et les tôles du toit ne tomberont pas juste », explique-t-il.
Ibrahima regarde autour de lui : le coin de son cahier, le coin de la porte, le coin d'un carreau, le coin d'un terrain de football… Partout, deux lignes se croisent en formant ce même « coin bien carré ».
En géométrie, ce coin s'appelle un angle droit, et deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont dites perpendiculaires.
Comment reconnaître deux droites perpendiculaires, et comment en tracer une avec précision ?
2Je comprends
1. Définition
Définition. Deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit.
Deux droites perpendiculaires sont donc toujours sécantes. Mais attention : deux droites sécantes ne sont pas toujours perpendiculaires ; il faut que l'angle formé soit droit.
Quand deux droites sont perpendiculaires, elles forment en réalité quatre angles droits autour de leur point d'intersection.
2. Notation et codage
On utilise le symbole ⊥, qui se lit « est perpendiculaire à » :
- (d) ⊥ (d') se lit « la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d') ».
Sur une figure, on code l'angle droit par un petit carré dessiné dans l'un des coins, au point d'intersection. Ce codage indique au lecteur que l'angle est droit, même si la figure n'est pas parfaitement dessinée.
Sur cette figure, on écrit (AB) ⊥ (CD), ou (d) ⊥ (d'). On dit aussi que (d) et (d') sont perpendiculaires en H, et que H est le pied de la perpendiculaire.
3. Vérifier avec l'équerre
L'équerre possède un angle droit. Pour savoir si deux droites sont perpendiculaires, on ne se fie pas à l'œil : on vérifie.
Méthode
Pour vérifier que deux droites sécantes sont perpendiculaires :
- Je place le sommet de l'angle droit de l'équerre sur le point d'intersection des deux droites.
- Je fais coïncider un côté de l'angle droit de l'équerre avec l'une des droites.
- Je regarde si l'autre côté de l'angle droit longe exactement l'autre droite.
- Si oui, les droites sont perpendiculaires ; si l'autre droite s'écarte du bord, elles ne le sont pas.
4. Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point
Propriété. Par un point donné, il passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Il y a deux cas : le point est sur la droite, ou il n'est pas sur la droite. La méthode est la même.
- 1Je place un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (d).
- 2Je fais glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par le point A.
- 3Je trace le trait le long de ce côté, en passant par A.
- 4Je retire l'équerre, je prolonge le trait avec la règle et je code l'angle droit.
Exemple
Fanta trace une droite (d) et place un point M qui n'est pas sur (d). Elle veut tracer la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par M.
Elle pose un côté de l'angle droit de l'équerre sur (d).
Elle fait glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté touche le point M.
Elle trace le trait le long de ce côté, puis le prolonge à la règle.
La droite obtenue coupe (d) en un point H : elle code l'angle droit en H.
Elle écrit : (Δ) ⊥ (d), et H est le pied de la perpendiculaire issue de M.
Exemple
Sur la figure du paragraphe 2, on connaît les points A, B, C, D, H. Écrire trois phrases correctes avec le symbole ⊥.
(AB) ⊥ (CD) ; (AH) ⊥ (HD) ; (HB) ⊥ (CH).
En effet, (AH) est la même droite que (AB), et (HD) la même que (CD) : ce sont toujours les deux mêmes droites.
5. Le pied de la perpendiculaire et la distance
Quand on trace la perpendiculaire à (d) passant par un point M extérieur à (d), elle coupe (d) en un point H. Parmi tous les chemins en ligne droite qui vont de M jusqu'à la droite (d), le chemin de M à H est le plus court. On l'appelle la distance du point M à la droite (d).
C'est pour cela qu'un piéton qui veut traverser une route le plus vite possible la traverse « tout droit », perpendiculairement au bord. Tu reverras cette idée en détail dans les classes suivantes.
6. Où rencontre-t-on des perpendiculaires ?
| Objet | Les deux lignes perpendiculaires |
|---|---|
| Une feuille de cahier | deux bords qui se touchent |
| Un mur et le sol bien plats | l'arête verticale et le bord du sol |
| Un terrain de football | la ligne de but et la ligne de touche |
| Une croix de pharmacie | la barre verticale et la barre horizontale |
3Je retiens
Je retiens
Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit.
On écrit (d) ⊥ (d') et on code l'angle droit par un petit carré.
On vérifie et on trace une perpendiculaire avec l'équerre, jamais à l'œil.
Par un point donné, il passe une seule perpendiculaire à une droite donnée.
Deux droites perpendiculaires sont sécantes, mais deux droites sécantes ne sont pas toujours perpendiculaires.
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'une droite « verticale » et une droite « horizontale » sont les seules perpendiculaires possibles : si on tourne la feuille, deux droites perpendiculaires restent perpendiculaires, quelle que soit leur position.
- Oublier de coder l'angle droit : sans le petit carré, le lecteur ne sait pas que l'angle est droit.
- Utiliser le mauvais coin de l'équerre : seul le coin de l'angle droit convient, pas les deux coins pointus.
- Tracer seulement un petit bout de trait entre le point et la droite : la perpendiculaire est une droite, il faut la prolonger.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie et complète par « perpendiculaires », « sécantes » ou « un angle droit ».
a) Deux droites qui se coupent sont …
b) Deux droites perpendiculaires forment …
c) Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont …
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a) Deux droites qui se coupent sont sécantes.
b) Deux droites perpendiculaires forment un angle droit (en fait quatre).
c) Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont perpendiculaires.
2Exercice 2
Trace une droite (d) et place un point A sur (d). Trace la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par A. Écris la phrase qui traduit la situation avec le symbole ⊥.
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On pose un côté de l'angle droit de l'équerre le long de (d), le sommet de l'angle droit en A, puis on trace le long de l'autre côté. On prolonge à la règle et on code l'angle droit en A. On écrit : (Δ) ⊥ (d).
3Exercice 3
Trace une droite (d) et place un point B qui n'est pas sur (d). Trace la perpendiculaire à (d) passant par B ; elle coupe (d) en K. Code la figure. Que représente la longueur BK ?
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On fait glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par B, puis on trace. La droite coupe (d) en K ; on code l'angle droit en K. La longueur BK est la distance du point B à la droite (d) : c'est le plus court chemin de B jusqu'à (d).
4Exercice 4
Dis si chaque phrase est vraie ou fausse, et justifie.
a) Deux droites perpendiculaires sont toujours sécantes.
b) Deux droites sécantes sont toujours perpendiculaires.
c) Par un point M, on peut tracer deux perpendiculaires différentes à une même droite (d).
d) Deux droites perpendiculaires forment quatre angles droits.
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a) Vrai : elles se coupent (en formant un angle droit), donc elles sont sécantes.
b) Faux : deux droites peuvent se couper en formant un angle qui n'est pas droit.
c) Faux : par un point donné passe une seule perpendiculaire à une droite donnée.
d) Vrai : autour du point d'intersection, les quatre angles formés sont droits.
5Exercice 5
(Problème) Aïssatou dessine le plan d'un jardin rectangulaire ABCD. Elle trace le segment [AB], puis la perpendiculaire à (AB) passant par A, et la perpendiculaire à (AB) passant par B.
a) Combien d'angles droits a-t-elle déjà construits ? Nomme leurs sommets.
b) Elle place D sur la première perpendiculaire et C sur la seconde, de sorte que ABCD soit un rectangle. Quelles droites sont perpendiculaires à (AB) ? Écris-le avec le symbole ⊥.
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a) Elle a construit deux angles droits : l'un de sommet A (entre (AB) et la première perpendiculaire), l'autre de sommet B (entre (AB) et la seconde perpendiculaire).
b) Les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires à (AB) : (AD) ⊥ (AB) et (BC) ⊥ (AB).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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