Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 44
Droites parallèles
Je sais reconnaître et tracer des droites parallèles, utiliser le symbole // et appliquer les propriétés qui relient parallèles et perpendiculaires.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir deux droites parallèles
- Utiliser le symbole //
- Tracer la parallèle à une droite passant par un point, avec la règle et l'équerre
- Utiliser les trois propriétés reliant parallèles et perpendiculaires
Avant de commencer : Droites et points alignés ; droites perpendiculaires (symbole ⊥, tracé à l'équerre).
1Je découvre
Dans la région de Boké, Mariama regarde, depuis un pont, la voie ferrée sur laquelle passent les trains chargés de bauxite. Les deux rails filent côte à côte, loin devant, et ne se rencontrent jamais. Son cousin Alpha lui explique : « Si les rails se rapprochaient, même un tout petit peu, les roues du train sortiraient de la voie. »
Au retour, Mariama remarque la même chose partout : les lignes de son cahier, les deux bords d'une route goudronnée bien droite, les montants d'une fenêtre, les sillons tracés dans le champ d'arachide de son grand-père. Ces lignes gardent toujours le même écart et ne se croisent jamais, aussi loin qu'on les prolonge.
En géométrie, on dit que ces droites sont parallèles.
Comment reconnaître deux droites parallèles, comment en tracer, et quels liens existent entre droites parallèles et droites perpendiculaires ?
2Je comprends
1. Définition et notation
Définition. Deux droites sont parallèles lorsqu'elles n'ont aucun point commun (elles ne se coupent pas, même prolongées) ou lorsqu'elles sont confondues (c'est la même droite).
On utilise le symbole //, qui se lit « est parallèle à » :
- (d) ∥ (d'), que l'on écrit souvent (d) // (d'), se lit « la droite (d) est parallèle à la droite (d') ».
Pour deux droites dans le plan, il n'y a donc que deux possibilités :
- Elles ont un seul point commun
- Elles se coupent
- Cas particulier : perpendiculaires
- Elles n'ont aucun point commun, ou elles sont confondues
- Elles ne se coupent jamais
- Cas particulier : confondues
2. Parallèles et perpendiculaires : trois propriétés
Ces propriétés sont très utiles pour démontrer que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires, sans mesurer.
Propriété 1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si (d1) ⊥ (d) et (d2) ⊥ (d), alors (d1) ∥ (d2).
Propriété 2. Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Si (d1) ∥ (d2) et (d) ⊥ (d1), alors (d) ⊥ (d2).
Propriété 3. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si (d1) ∥ (d) et (d2) ∥ (d), alors (d1) ∥ (d2).
Propriété d'Euclide. Par un point donné, il passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
3. Tracer la parallèle à une droite passant par un point
On utilise la règle et l'équerre. L'idée vient de la propriété 1 : on fait glisser l'équerre le long de la règle, et le côté de l'équerre reste perpendiculaire à la règle, donc parallèle à sa position de départ.
Méthode
Pour tracer la parallèle à (d) passant par un point A :
- Je place un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (d).
- Je pose la règle contre l'autre côté de l'angle droit de l'équerre.
- Je tiens la règle immobile et je fais glisser l'équerre le long de la règle jusqu'à ce que le premier côté passe par A.
- Je trace la droite le long de ce côté de l'équerre, puis je la prolonge à la règle.
4. Rédiger une démonstration simple
En 7e, tu commences à justifier tes réponses avec des propriétés. On rédige toujours en trois temps : ce que l'on sait (les données), la propriété utilisée, ce que l'on conclut.
Exemple
On sait que (AB) ⊥ (d) et que (CD) ⊥ (d). Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ?
Données : (AB) ⊥ (d) et (CD) ⊥ (d).
Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Conclusion : (AB) // (CD).
Exemple
Sur le plan d'un quartier de Kindia, la rue des Manguiers (r1) est parallèle à la rue du Marché (r2). L'avenue (a) coupe la rue des Manguiers à angle droit. Comment l'avenue (a) coupe-t-elle la rue du Marché ?
Données : (r1) // (r2) et (a) ⊥ (r1).
Propriété : si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Conclusion : (a) ⊥ (r2). L'avenue coupe aussi la rue du Marché à angle droit.
Exemple
On sait que (d1) // (d) et (d2) // (d). Le point M appartient à (d1) et à (d2). Que peut-on dire de (d1) et (d2) ?
D'après la propriété 3, (d1) // (d2).
De plus, (d1) et (d2) ont le point M en commun. Deux droites parallèles qui ont un point commun sont confondues : (d1) et (d2) sont la même droite.
C'est d'ailleurs la propriété d'Euclide : par M, il ne passe qu'une seule parallèle à (d).
5. Retour aux rails
Les deux rails sont comme deux droites parallèles : ils ne se rencontrent jamais. Les traverses posées sous les rails sont perpendiculaires au premier rail ; d'après la propriété 2, elles sont aussi perpendiculaires au second. Et comme toutes les traverses sont perpendiculaires au même rail, elles sont parallèles entre elles (propriété 1).
3Je retiens
Je retiens
Deux droites parallèles n'ont aucun point commun, ou sont confondues. On écrit (d) // (d').
Deux droites du plan sont soit sécantes, soit parallèles.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
Par un point, il passe une seule parallèle à une droite donnée. On la trace avec la règle et l'équerre.
4Erreurs fréquentes
- Croire que deux droites sont parallèles parce qu'elles ne se coupent pas « sur la feuille » : il faut imaginer les droites prolongées ; si elles finissent par se couper, elles sont sécantes.
- Confondre les propriétés : deux droites perpendiculaires à une même droite sont PARALLÈLES entre elles, et non perpendiculaires.
- Faire bouger la règle en faisant glisser l'équerre : la règle doit rester immobile, sinon la parallèle est fausse.
- Justifier « parce que ça se voit sur le dessin » : une réponse de géométrie se justifie par une propriété.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Recopie en remplaçant les pointillés par // ou ⊥.
a) Les deux bords d'une règle : (d) … (d').
b) Deux bords voisins d'une feuille : (d) … (d').
c) Deux bords opposés d'une feuille : (d) … (d').
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (d) // (d') : les deux bords d'une règle ne se rencontrent jamais.
b) (d) ⊥ (d') : deux bords voisins d'une feuille forment un angle droit.
c) (d) // (d') : deux bords opposés d'une feuille sont parallèles.
2Exercice 2
Trace une droite (d) et un point A qui n'est pas sur (d). Trace, avec la règle et l'équerre, la droite (d') parallèle à (d) passant par A. Écris la relation entre (d) et (d').
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On place l'équerre le long de (d), la règle contre l'autre côté de l'angle droit, puis on fait glisser l'équerre le long de la règle immobile jusqu'à A. On trace et on prolonge. On écrit : (d') // (d).
3Exercice 3
Complète chaque raisonnement.
a) On sait que (d1) ⊥ (d) et (d2) ⊥ (d). Donc …
b) On sait que (d1) // (d2) et (Δ) ⊥ (d1). Donc …
c) On sait que (d1) // (d) et (d2) // (d). Donc …
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a) Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (d1) // (d2).
b) Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, donc (Δ) ⊥ (d2).
c) Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles, donc (d1) // (d2).
4Exercice 4
Trace une droite (d). Place deux points A et B hors de (d), de part et d'autre de (d). Trace la perpendiculaire (d1) à (d) passant par A, puis la perpendiculaire (d2) à (d) passant par B.
a) Que peux-tu dire de (d1) et (d2) ? Justifie.
b) Trace la parallèle (d3) à (d) passant par A. Quelle est la position de (d3) par rapport à (d1) ? Justifie.
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a) On sait que (d1) ⊥ (d) et (d2) ⊥ (d). Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc (d1) // (d2).
b) On sait que (d3) // (d) et (d1) ⊥ (d). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (d1) ⊥ (d3).
5Exercice 5
(Problème) Sur un plan de Mamou, trois routes droites (r1), (r2) et (r3) sont dessinées. On sait que (r1) // (r2) et que (r3) coupe (r1). La route (r3) coupe-t-elle aussi (r2) ? Justifie en raisonnant sur la propriété d'Euclide.
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Oui. Appelons M le point où (r3) coupe (r1). Supposons que (r3) ne coupe pas (r2) : alors (r3) serait parallèle à (r2). Par le point M passeraient alors deux parallèles différentes à (r2) : (r1) et (r3). C'est impossible d'après la propriété d'Euclide (par un point, il passe une seule parallèle à une droite). Donc (r3) coupe aussi (r2).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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