Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 44
La demi-droite graduée
Je sais construire une demi-droite graduée, y placer un point dont je connais l'abscisse, lire l'abscisse d'un point et calculer la distance entre deux points.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire une demi-droite graduée (origine, unité)
- Lire l'abscisse d'un point
- Placer un point d'abscisse donnée, entière ou décimale
- Choisir une graduation adaptée
- Calculer la distance entre deux points d'une demi-droite graduée
Avant de commencer : Demi-droites et segments ; mesurer un segment ; comparer des nombres décimaux.
1Je découvre
Le long de la route nationale, entre deux villes de Guinée, des bornes kilométriques indiquent la distance depuis le point de départ de la route : 0, puis 1, 2, 3… Lansana, qui voyage en taxi-brousse avec sa mère, remarque une borne marquée « 12 » puis, plus loin, une borne marquée « 17 ».
« Maman, entre ces deux bornes, nous avons fait 5 kilomètres ! » dit-il. Sa mère confirme. Puis le chauffeur annonce : « Le poste de contrôle est à mi-chemin entre la borne 12 et la borne 13. » Lansana réfléchit : ce n'est ni 12 ni 13… c'est 12,5.
La route, avec son point de départ et ses bornes régulièrement espacées, ressemble à une règle géante. En mathématiques, on appelle cela une demi-droite graduée.
Comment construire une demi-droite graduée, y repérer des points par des nombres, et calculer des distances avec ces nombres ?
2Je comprends
1. Construire une demi-droite graduée
Pour graduer une demi-droite [Ox), on choisit :
- son origine O, à laquelle on associe le nombre 0 ;
- une unité de longueur : c'est la longueur OI entre l'origine et le point I auquel on associe le nombre 1.
Ensuite, on reporte cette unité régulièrement (au compas ou à la règle) : on obtient les points associés à 2, 3, 4… Tous les écarts entre deux graduations consécutives sont égaux.
2. L'abscisse d'un point
Définition. Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse. L'abscisse d'un point M est la distance OM, exprimée avec l'unité choisie.
On écrit A(2) pour dire « le point A a pour abscisse 2 », et on lit « A d'abscisse 2 ». L'origine O a pour abscisse 0 : on écrit O(0).
Plus un point est loin de l'origine, plus son abscisse est grande. La demi-droite graduée permet donc de comparer et de ranger des nombres : le plus petit est le plus proche de O.
3. Graduer plus finement
Quand on veut placer des nombres décimaux, on partage chaque unité en 10 parts égales : chaque petite graduation vaut alors un dixième, soit 0,1. Si on partage chaque dixième en 10, chaque graduation vaut un centième, 0,01.
Méthode
Pour lire l'abscisse d'un point sur une demi-droite graduée :
- Je repère deux graduations numérotées qui encadrent le point.
- Je compte le nombre de petits intervalles entre ces deux graduations numérotées.
- Je calcule la valeur d'un petit intervalle : écart entre les deux nombres ÷ nombre d'intervalles.
- Je pars de la graduation numérotée de gauche et j'ajoute autant de fois cette valeur qu'il y a d'intervalles jusqu'au point.
Exemple
Sur une demi-droite graduée, les graduations 0 et 1 sont numérotées, et il y a 5 petits intervalles entre elles. Le point P se trouve à la 3e petite graduation après 0. Quelle est l'abscisse de P ?
Valeur d'un petit intervalle : 1 ÷ 5 = 0,2.
P est à 3 intervalles de 0 : 3 × 0,2 = 0,6.
L'abscisse de P est 0,6 : on écrit P(0,6).
Exemple
Sur une autre demi-droite, on lit les graduations 100 et 200, avec 4 petits intervalles entre elles. Le point Q est au 3e intervalle après 100. Quelle est l'abscisse de Q ?
Valeur d'un petit intervalle : (200 − 100) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25.
Q est à 3 intervalles de 100 : 100 + 3 × 25 = 100 + 75 = 175.
Donc Q(175).
4. Choisir l'unité
L'unité se choisit selon les nombres à placer.
- Pour placer 1 ; 3 ; 4,5 : une unité de 2 cm suffit, et 4,5 est à 9 cm de O.
- Pour placer 0,3 ; 0,7 ; 1,2 : on prend une unité de 10 cm, et chaque dixième mesure 1 cm.
- Pour placer 200 ; 500 ; 800 : on prend par exemple 1 cm pour 100.
Exemple
Placer les points A(0,4), B(1,3) et C(1,8) sur une demi-droite graduée d'unité 5 cm.
Une unité mesure 5 cm, donc un dixième mesure 5 ÷ 10 = 0,5 cm = 5 mm.
OA = 0,4 × 5 = 2 cm ; OB = 1,3 × 5 = 6,5 cm ; OC = 1,8 × 5 = 9 cm.
Je place chaque point en mesurant ces distances depuis O.
5. Distance entre deux points
Si deux points A et B sont sur une demi-droite graduée, la distance AB est égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.
Exemple
Lansana passe la borne 12 puis la borne 17. On note A(12) et B(17).
AB = 17 − 12 = 5. Il a parcouru 5 km.
Le poste de contrôle, à mi-chemin entre les bornes 12 et 13, a pour abscisse 12,5 : il est à 12,5 − 12 = 0,5 km de la borne 12.
Le milieu d'un segment [AB] sur la demi-droite graduée a pour abscisse la moitié de la somme des abscisses de A et de B. Pour A(12) et B(17) : (12 + 17) ÷ 2 = 29 ÷ 2 = 14,5.
3Je retiens
Je retiens
Une demi-droite graduée a une origine O (abscisse 0) et une unité de longueur, reportée régulièrement.
Chaque point est repéré par son abscisse ; on écrit A(2,5).
Pour lire une abscisse : valeur d'un petit intervalle = écart entre deux nombres numérotés ÷ nombre d'intervalles.
Plus un point est loin de O, plus son abscisse est grande.
Distance AB = plus grande abscisse − plus petite abscisse.
Abscisse du milieu de [AB] = (abscisse de A + abscisse de B) ÷ 2.
4Erreurs fréquentes
- Compter les graduations (les traits) au lieu des intervalles (les espaces) : entre 0 et 1 partagé en 5, il y a 5 intervalles mais 6 traits.
- Croire que chaque petite graduation vaut toujours 0,1 : cela dépend du nombre d'intervalles entre deux nombres numérotés.
- Utiliser des écarts inégaux entre les graduations : la graduation serait fausse.
- Calculer une distance en ajoutant les abscisses au lieu de les soustraire.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trace une demi-droite graduée d'origine O et d'unité 1 cm. Place les points A(3), B(7), C(10) et D(5,5).
Voir le corrigéCacher le corrigé
On reporte 1 cm à partir de O. On place A à 3 cm de O, B à 7 cm, C à 10 cm et D à 5,5 cm (5 cm et 5 mm), au milieu entre les graduations 5 et 6.
2Exercice 2
Sur une demi-droite graduée, les graduations 0 et 1 sont numérotées et il y a 10 intervalles entre elles. Donne l'abscisse des points situés :
a) au 4e intervalle après 0 ; b) au 7e intervalle après 0 ; c) au 3e intervalle après 1.
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Valeur d'un intervalle : 1 ÷ 10 = 0,1.
a) 4 × 0,1 = 0,4. b) 7 × 0,1 = 0,7. c) 1 + 3 × 0,1 = 1,3.
3Exercice 3
Sur une demi-droite graduée, on lit les graduations 50 et 60, avec 5 intervalles entre elles. Donne l'abscisse du point situé au 2e intervalle après 50, puis celle du point situé au 4e intervalle après 50.
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Valeur d'un intervalle : (60 − 50) ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2.
Au 2e intervalle : 50 + 2 × 2 = 54. Au 4e intervalle : 50 + 4 × 2 = 58.
4Exercice 4
Trace une demi-droite graduée d'unité 10 cm. Place les points E(0,3), F(0,85) et G(1,2). Calcule EF, FG et EG.
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Unité 10 cm, donc OE = 0,3 × 10 = 3 cm ; OF = 0,85 × 10 = 8,5 cm ; OG = 1,2 × 10 = 12 cm.
EF = 0,85 − 0,3 = 0,55 unité (soit 5,5 cm sur le dessin).
FG = 1,2 − 0,85 = 0,35 unité (soit 3,5 cm).
EG = 1,2 − 0,3 = 0,9 unité (soit 9 cm).
Vérification : EF + FG = 0,55 + 0,35 = 0,9 = EG.
5Exercice 5
(Problème) Sur la route, les bornes kilométriques donnent l'abscisse des lieux depuis le point de départ. Le village de Hawa est à la borne 23, le marché hebdomadaire à la borne 41, et le centre de santé à la borne 35,5.
a) Quelle distance sépare le village du marché ?
b) Quelle distance sépare le centre de santé du marché ?
c) On veut construire une école à mi-chemin entre le village et le marché. À quelle borne ?
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a) 41 − 23 = 18. Le village et le marché sont à 18 km l'un de l'autre.
b) 41 − 35,5 = 5,5. Le centre de santé est à 5,5 km du marché.
c) (23 + 41) ÷ 2 = 64 ÷ 2 = 32. L'école sera à la borne 32. Vérification : 32 − 23 = 9 et 41 − 32 = 9.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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