Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 44
Multiplication des nombres décimaux
Je sais multiplier des nombres décimaux entre eux, multiplier par 10, 100, 1 000 et par 0,1, 0,01, 0,001, vérifier par un ordre de grandeur et résoudre des problèmes.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Multiplier un décimal par 10, 100, 1 000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
- Poser et effectuer le produit de deux décimaux et placer la virgule
- Utiliser les propriétés de la multiplication pour calculer astucieusement
- Contrôler un produit par un ordre de grandeur
- Résoudre un problème de prix, de longueur ou d'aire
Avant de commencer : Tables de multiplication ; multiplication des nombres entiers ; addition et soustraction des nombres décimaux.
1Je découvre
Au marché de Guéckédou, Fatoumata vend de l'huile de palme au litre. Pour la fête, sa cliente Hawa en demande 2,5 litres. Le litre coûte 18 000 GNF.
Fatoumata compte : « 2 litres, c'est 36 000 GNF ; un demi-litre, c'est 9 000 GNF ; en tout, 45 000 GNF. » Elle a calculé 2,5 × 18 000 sans poser l'opération, en découpant 2,5 en 2 et 0,5.
Le lendemain, un autre client lui demande 1,75 litre. Là, le calcul de tête devient difficile. Sa fille Mariama, élève de 7e, propose de poser la multiplication. Mais une question l'arrête : « Dans une multiplication de nombres décimaux, où dois-je mettre la virgule dans le résultat ? Faut-il aligner les virgules comme dans l'addition ? »
Comment multiplier des nombres décimaux, et où placer la virgule du résultat ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit ; les nombres qu'on multiplie sont les facteurs. Dans 2,5 × 18 000 = 45 000, les facteurs sont 2,5 et 18 000, et le produit est 45 000.
2. Multiplier par 10, 100, 1 000
Multiplier par 10, c'est rendre chaque chiffre 10 fois plus grand : chaque chiffre avance d'un rang vers la gauche. En pratique, on déplace la virgule vers la droite.
| Multiplier par | on décale la virgule de | Exemple |
|---|---|---|
| 10 | 1 rang vers la droite | 3,475 × 10 = 34,75 |
| 100 | 2 rangs vers la droite | 3,475 × 100 = 347,5 |
| 1 000 | 3 rangs vers la droite | 3,475 × 1 000 = 3 475 |
S'il n'y a pas assez de chiffres, on ajoute des zéros : 2,6 × 100 = 260 ; 7 × 1 000 = 7 000.
3. Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Multiplier par 0,1, c'est prendre un dixième du nombre, c'est-à-dire le diviser par 10. On déplace la virgule vers la gauche.
| Multiplier par | on décale la virgule de | Exemple |
|---|---|---|
| 0,1 | 1 rang vers la gauche | 58,3 × 0,1 = 5,83 |
| 0,01 | 2 rangs vers la gauche | 58,3 × 0,01 = 0,583 |
| 0,001 | 3 rangs vers la gauche | 58,3 × 0,001 = 0,0583 |
4. Le produit de deux nombres décimaux
Règle. Pour multiplier deux nombres décimaux :
- on les multiplie comme des nombres entiers, sans tenir compte des virgules ;
- le produit a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.
Pourquoi ? Prenons 1,75 × 18. On sait que 1,75 = 175 × 0,01. Donc 1,75 × 18 = 175 × 18 × 0,01 = 3 150 × 0,01 = 31,50. Les deux chiffres après la virgule de 1,75 se retrouvent dans le produit.
Méthode
Pour calculer le produit de deux décimaux :
- Je pose la multiplication en alignant les chiffres à droite (pas besoin d'aligner les virgules).
- Je multiplie comme des nombres entiers.
- Je compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
- Dans le résultat, je place la virgule pour avoir ce même nombre de chiffres après la virgule, en comptant depuis la droite.
- Je vérifie avec un ordre de grandeur, puis je supprime les zéros inutiles.
Exemple
Calculer 1,75 × 18 000 (le prix de 1,75 litre d'huile).
On calcule d'abord 1,75 × 18 : 175 × 18 = 3 150.
1,75 a 2 chiffres après la virgule, 18 n'en a pas : le produit en a 2. Donc 1,75 × 18 = 31,50 = 31,5.
Puis on multiplie par 1 000 : 31,5 × 1 000 = 31 500.
Le client paie 31 500 GNF.
Ordre de grandeur : 2 × 18 000 = 36 000, un peu plus que 31 500 ; c'est cohérent, car 1,75 est un peu moins que 2.
Exemple
Calculer 3,75 × 1,2.
On pose 375 × 12 :
375
× 12
750
3 750
4 500
3,75 a 2 chiffres après la virgule et 1,2 en a 1 : le produit en a 2 + 1 = 3.
3,75 × 1,2 = 4,500 = 4,5.
Ordre de grandeur : 4 × 1 = 4. C'est cohérent.
Exemple
Calculer 0,6 × 0,3 et 0,05 × 0,4.
6 × 3 = 18 ; il faut 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule : 0,6 × 0,3 = 0,18.
5 × 4 = 20 ; il faut 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule : on écrit 0,020, donc 0,05 × 0,4 = 0,02.
On a dû ajouter des zéros à gauche pour avoir assez de chiffres.
5. Un produit peut être plus petit qu'un facteur
Avec les nombres entiers, multiplier fait toujours grandir (sauf par 0 ou 1). Avec les décimaux, ce n'est plus vrai :
- si on multiplie par un nombre plus grand que 1, le résultat est plus grand : 8 × 1,5 = 12 ;
- si on multiplie par un nombre plus petit que 1, le résultat est plus petit : 8 × 0,5 = 4.
6. Les propriétés de la multiplication
- On peut changer l'ordre des facteurs : 2,5 × 7 = 7 × 2,5.
- On peut regrouper les facteurs comme on veut.
- La multiplication se distribue sur l'addition : k × (a + b) = k × a + k × b. C'est ce qu'a fait Fatoumata : 2,5 × 18 000 = 2 × 18 000 + 0,5 × 18 000.
Exemple
Calculer astucieusement 0,25 × 7,3 × 4.
On regroupe 0,25 et 4 : 0,25 × 4 = 1.
Donc 0,25 × 7,3 × 4 = 7,3 × 1 = 7,3.
3Je retiens
Je retiens
× 10, × 100, × 1 000 : je décale la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la droite.
× 0,1, × 0,01, × 0,001 : je décale la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la gauche.
Produit de deux décimaux : je multiplie sans les virgules, puis le produit a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.
Dans une multiplication, on n'aligne pas les virgules.
Multiplier par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus petit.
Je contrôle toujours un produit par un ordre de grandeur.
4Erreurs fréquentes
- Aligner les virgules comme dans l'addition, et placer la virgule du produit « sous les autres » : c'est faux ; on compte les chiffres après la virgule.
- Oublier d'ajouter des zéros : 0,3 × 0,2 = 0,06, et non 0,6.
- Croire que multiplier « fait toujours grandir » : 50 × 0,4 = 20, plus petit que 50.
- Supprimer des zéros avant d'avoir placé la virgule : dans 3,75 × 1,2, on place d'abord la virgule dans 4 500 (4,500), puis on simplifie en 4,5.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule mentalement.
a) 4,58 × 10 b) 0,37 × 1 000 c) 62,5 × 0,1 d) 8 × 0,01 e) 3,2 × 100
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a) 45,8 b) 370 c) 6,25 d) 0,08 e) 320
2Exercice 2
Pose et effectue.
a) 4,6 × 7 b) 2,35 × 3,4 c) 0,125 × 0,8 d) 12,5 × 0,06
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a) 46 × 7 = 322 ; 1 chiffre après la virgule : 4,6 × 7 = 32,2.
b) 235 × 34 = 7 990 ; 2 + 1 = 3 chiffres : 2,35 × 3,4 = 7,990 = 7,99. Ordre de grandeur : 2 × 3 = 6 ou 2,5 × 3 = 7,5 : cohérent.
c) 125 × 8 = 1 000 ; 3 + 1 = 4 chiffres : 0,1000 = 0,1. Donc 0,125 × 0,8 = 0,1.
d) 125 × 6 = 750 ; 1 + 2 = 3 chiffres : 0,750 = 0,75. Donc 12,5 × 0,06 = 0,75.
3Exercice 3
Sans poser l'opération, sachant que 47 × 36 = 1 692, donne :
a) 4,7 × 36 b) 4,7 × 3,6 c) 0,47 × 0,36 d) 470 × 0,036
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a) 1 chiffre après la virgule : 4,7 × 36 = 169,2.
b) 1 + 1 = 2 chiffres : 4,7 × 3,6 = 16,92.
c) 2 + 2 = 4 chiffres : 0,47 × 0,36 = 0,1692.
d) 470 = 47 × 10 et 0,036 = 36 × 0,001, donc 470 × 0,036 = 1 692 × 10 × 0,001 = 1 692 × 0,01 = 16,92.
4Exercice 4
Calcule astucieusement.
a) 2,5 × 9,7 × 4 b) 0,5 × 36,8 × 2 c) 12 × 1,5
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a) 2,5 × 4 = 10, donc 2,5 × 9,7 × 4 = 9,7 × 10 = 97.
b) 0,5 × 2 = 1, donc 0,5 × 36,8 × 2 = 36,8.
c) 12 × 1,5 = 12 × 1 + 12 × 0,5 = 12 + 6 = 18.
5Exercice 5
(Problème) Le père d'Alpha possède un champ rectangulaire près de Dabola, de longueur 42,5 m et de largeur 18,4 m.
a) Calcule l'aire du champ (aire d'un rectangle = longueur × largeur).
b) Il veut clôturer le champ. Calcule le périmètre (longueur du tour).
c) Le grillage coûte 12 000 GNF le mètre. Combien coûtera la clôture ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Aire = 42,5 × 18,4. On calcule 425 × 184 = 78 200 ; 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule : 782,00. L'aire est 782 m².
Ordre de grandeur : 40 × 20 = 800. Cohérent.
b) Périmètre = 2 × (42,5 + 18,4) = 2 × 60,9 = 121,8 m.
c) Coût = 121,8 × 12 000 = 121,8 × 12 × 1 000. On calcule 121,8 × 12 = 1 461,6, puis 1 461,6 × 1 000 = 1 461 600. La clôture coûtera 1 461 600 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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