Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 44
Diviser un nombre décimal par un nombre décimal
Je sais diviser un nombre décimal par un nombre décimal en me ramenant à une division par un nombre entier, et interpréter le résultat dans un problème.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la propriété : on ne change pas un quotient en multipliant le dividende et le diviseur par un même nombre
- Transformer une division par un décimal en division par un entier
- Calculer un quotient exact ou approché
- Savoir que diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand
- Résoudre des problèmes de contenance, de prix et de partage
Avant de commencer : Multiplier par 10, 100, 1 000 ; diviser un nombre décimal par un nombre entier.
1Je découvre
Ousmane aide son père, qui vend du jus de gingembre au marché de Siguiri. Ils ont préparé 7,8 litres de jus, et ils le versent dans des bouteilles de 0,6 litre.
« Combien de bouteilles allons-nous remplir ? » demande le père. Ousmane pose 7,8 ÷ 0,6… et s'arrête : dans la leçon précédente, il a appris à diviser un décimal par un entier, mais ici, le diviseur 0,6 est un décimal.
Il a alors une idée : 7,8 L, c'est 78 décilitres, et 0,6 L, c'est 6 décilitres. En changeant d'unité, la question devient : combien de fois 6 dL dans 78 dL ? Et 78 ÷ 6 = 13. Ils rempliront 13 bouteilles.
En passant aux décilitres, Ousmane a multiplié les deux nombres par 10, et le diviseur est devenu entier. Est-ce toujours permis ?
Comment diviser un nombre décimal par un nombre décimal ?
2Je comprends
1. La propriété fondamentale du quotient
Observe ces divisions :
- 12 ÷ 4 = 3 ;
- 120 ÷ 40 = 3 ;
- 1,2 ÷ 0,4 = 3 (vérification : 0,4 × 3 = 1,2).
Le quotient reste le même quand on multiplie (ou qu'on divise) le dividende et le diviseur par le même nombre.
Propriété. On ne change pas un quotient en multipliant le dividende et le diviseur par un même nombre non nul :
a ÷ b = (a × 10) ÷ (b × 10) = (a × 100) ÷ (b × 100) = …
C'est comme un partage : partager 78 dL en parts de 6 dL ou 7,8 L en parts de 0,6 L, c'est la même quantité de jus et la même taille de part, donc le même nombre de bouteilles.
2. La méthode
L'idée est de rendre le diviseur entier, puis d'utiliser la leçon précédente.
Méthode
Pour diviser un nombre décimal par un nombre décimal :
- Je compte le nombre de chiffres après la virgule du diviseur.
- Je multiplie le dividende ET le diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour que le diviseur devienne entier.
- J'effectue la division du nouveau dividende par ce nombre entier, comme dans la leçon précédente.
- Je vérifie : diviseur de départ × quotient = dividende de départ.
- 1Diviseur 0,6 : 1 chiffre après la virgule, je multiplie les deux nombres par 10.
- 27,8 ÷ 0,6 devient 78 ÷ 6.
- 3Je calcule 78 ÷ 6 = 13.
- 4Je vérifie : 0,6 × 13 = 7,8.
Exemple
Calculer 4,5 ÷ 1,25.
Le diviseur 1,25 a 2 chiffres après la virgule : je multiplie les deux nombres par 100.
4,5 × 100 = 450 et 1,25 × 100 = 125.
4,5 ÷ 1,25 = 450 ÷ 125.
450 ÷ 125 = 3, reste 75 (125 × 3 = 375). Virgule. 750 ÷ 125 = 6, reste 0.
Donc 4,5 ÷ 1,25 = 3,6. Vérification : 1,25 × 3,6 = 4,5.
Exemple
Calculer 2,4 ÷ 0,03.
Le diviseur a 2 chiffres après la virgule : je multiplie par 100.
2,4 ÷ 0,03 = 240 ÷ 3 = 80.
Vérification : 0,03 × 80 = 2,4.
Le quotient, 80, est beaucoup plus grand que 2,4 : c'est normal, car on divise par un nombre plus petit que 1.
Exemple
Calculer 157 500 ÷ 4,5 (prix d'un kilogramme de poisson, si 4,5 kg coûtent 157 500 GNF).
Je multiplie les deux nombres par 10 : 157 500 ÷ 4,5 = 1 575 000 ÷ 45.
1 575 000 ÷ 45 = 35 000.
Le kilogramme coûte 35 000 GNF. Vérification : 4,5 × 35 000 = 157 500.
3. Diviser par un nombre plus petit que 1
Avec les nombres entiers, diviser rendait le nombre plus petit (sauf par 1). Avec les décimaux, ce n'est plus toujours vrai :
- diviser par un nombre plus grand que 1 donne un résultat plus petit : 6 ÷ 1,5 = 4 ;
- diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand : 6 ÷ 0,5 = 12.
Diviser par 0,5, c'est chercher combien de moitiés il y a : dans 6, il y a 12 moitiés. Diviser par 0,1 revient à multiplier par 10 ; diviser par 0,01 revient à multiplier par 100.
4. Quotients approchés et problèmes de « combien de fois »
Exemple
Calculer 5 ÷ 0,7, au centième près par défaut.
5 ÷ 0,7 = 50 ÷ 7.
50 ÷ 7 = 7, reste 1 ; 10 ÷ 7 = 1, reste 3 ; 30 ÷ 7 = 4, reste 2 ; la division continue.
5 ÷ 0,7 ≈ 7,14 (au centième par défaut).
Dans un problème, il faut interpréter le quotient.
Exemple
Mariama a un bidon de 20 L d'eau. Combien de bouteilles de 1,5 L peut-elle remplir entièrement ? Quelle quantité reste-t-il ?
20 ÷ 1,5 = 200 ÷ 15 = 13,33… On ne peut pas remplir « 13,33 bouteilles ».
Elle remplit 13 bouteilles entièrement : 13 × 1,5 = 19,5 L.
Il reste 20 − 19,5 = 0,5 L dans le bidon.
| Situation | Calcul | Réponse |
|---|---|---|
| 7,8 L en bouteilles de 0,6 L | 7,8 ÷ 0,6 = 13 | 13 bouteilles |
| 20 L en bouteilles de 1,5 L | 20 ÷ 1,5 ≈ 13,33 | 13 bouteilles pleines, reste 0,5 L |
| 4,5 kg pour 157 500 GNF | 157 500 ÷ 4,5 = 35 000 | 35 000 GNF le kilogramme |
3Je retiens
Je retiens
On ne change pas un quotient en multipliant le dividende et le diviseur par un même nombre non nul.
Pour diviser par un décimal, je multiplie les deux nombres par 10, 100 ou 1 000 pour rendre le diviseur entier.
Ensuite, je divise par cet entier comme dans la leçon précédente.
Diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand que le dividende.
Diviser par 0,1 revient à multiplier par 10 ; diviser par 0,5 revient à multiplier par 2.
Vérification : diviseur × quotient = dividende. Dans un problème, j'interprète le quotient (nombre entier d'objets, reste).
4Erreurs fréquentes
- Multiplier seulement le diviseur par 10 : 7,8 ÷ 0,6 n'est pas égal à 7,8 ÷ 6. Il faut multiplier les DEUX nombres.
- Multiplier par 10 alors que le diviseur a deux chiffres après la virgule : pour 1,25, il faut multiplier par 100.
- Refuser un quotient plus grand que le dividende : 2,4 ÷ 0,03 = 80 est juste, car 0,03 est plus petit que 1.
- Garder un nombre décimal d'objets dans la réponse : on ne remplit pas 13,33 bouteilles, mais 13 bouteilles pleines.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète pour rendre le diviseur entier, puis calcule.
a) 8,4 ÷ 0,7 = … ÷ 7 b) 3,6 ÷ 0,12 = … ÷ 12 c) 9 ÷ 0,25 = … ÷ 25
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On multiplie par 10 : 8,4 ÷ 0,7 = 84 ÷ 7 = 12.
b) On multiplie par 100 : 3,6 ÷ 0,12 = 360 ÷ 12 = 30.
c) On multiplie par 100 : 9 ÷ 0,25 = 900 ÷ 25 = 36.
2Exercice 2
Pose et effectue.
a) 15,6 ÷ 1,2 b) 0,54 ÷ 0,9 c) 27 ÷ 0,6 d) 7,35 ÷ 2,1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 15,6 ÷ 1,2 = 156 ÷ 12 = 13. Vérification : 1,2 × 13 = 15,6.
b) 0,54 ÷ 0,9 = 5,4 ÷ 9 = 0,6. Vérification : 0,9 × 0,6 = 0,54.
c) 27 ÷ 0,6 = 270 ÷ 6 = 45. Vérification : 0,6 × 45 = 27.
d) 7,35 ÷ 2,1 = 73,5 ÷ 21. 73 ÷ 21 = 3, reste 10 ; virgule ; 105 ÷ 21 = 5, reste 0. Donc 3,5. Vérification : 2,1 × 3,5 = 7,35.
3Exercice 3
Sans poser d'opération, dis si le résultat est plus grand ou plus petit que le dividende, puis calcule mentalement.
a) 18 ÷ 0,1 b) 18 ÷ 0,5 c) 18 ÷ 1,5 d) 18 ÷ 0,02
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 0,1 < 1, résultat plus grand : 18 ÷ 0,1 = 180 ÷ 1 = 180.
b) 0,5 < 1, résultat plus grand : 18 ÷ 0,5 = 180 ÷ 5 = 36.
c) 1,5 > 1, résultat plus petit : 18 ÷ 1,5 = 180 ÷ 15 = 12.
d) 0,02 < 1, résultat plus grand : 18 ÷ 0,02 = 1 800 ÷ 2 = 900.
4Exercice 4
Donne le quotient approché au dixième près par défaut.
a) 10 ÷ 0,3 b) 4,7 ÷ 1,3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 10 ÷ 0,3 = 100 ÷ 3 = 33,333… donc ≈ 33,3.
b) 4,7 ÷ 1,3 = 47 ÷ 13. 47 ÷ 13 = 3, reste 8 (13 × 3 = 39) ; 80 ÷ 13 = 6, reste 2 (13 × 6 = 78). Donc ≈ 3,6.
5Exercice 5
(Problème) Une coopérative de Labé produit 62,4 kg de fonio décortiqué. Elle le conditionne en sachets de 0,75 kg.
a) Combien de sachets pleins peut-elle remplir ?
b) Quelle masse de fonio reste-t-il ?
c) Chaque sachet est vendu 9 000 GNF. Quelle somme la coopérative obtient-elle en vendant tous les sachets pleins ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 62,4 ÷ 0,75 = 6 240 ÷ 75. 6 240 ÷ 75 = 83, reste 15 (75 × 83 = 6 225). Le quotient est 83,2. La coopérative remplit 83 sachets pleins.
b) 83 × 0,75 = 62,25 kg. Reste : 62,4 − 62,25 = 0,15 kg (soit 150 g).
c) 83 × 9 000 = 747 000. La coopérative obtient 747 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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