Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 44
Les angles
Je sais reconnaître, nommer, mesurer et tracer un angle avec un rapporteur, et dire s'il est aigu, droit, obtus ou plat.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un angle, son sommet et ses côtés
- Nommer un angle avec trois lettres
- Mesurer et tracer un angle au rapporteur
- Classer un angle (nul, aigu, droit, obtus, plat)
- Reconnaître des angles adjacents, complémentaires et supplémentaires
Avant de commencer : Les demi-droites et les segments ; les droites perpendiculaires (angle droit tracé à l'équerre).
1Je découvre
À Labé, Mamadou aide son oncle menuisier à fabriquer un tabouret. L'oncle lui montre deux planches clouées par un bout : « Regarde l'ouverture entre les deux planches. Si elle est trop grande, le pied va glisser ; si elle est trop petite, le tabouret sera bancal. »
Mamadou remarque que les deux planches partent du même point, comme les deux aiguilles d'une montre qui tournent autour du même clou. Sa sœur Aïssatou ouvre plus ou moins son éventail en feuilles de palmier : plus elle l'ouvre, plus « l'écart » entre les deux bords est grand. Pourtant, la longueur des bords ne change pas.
Mamadou se demande : comment mesurer cet écart avec précision, pour que l'oncle puisse refaire exactement la même ouverture sur les quatre pieds ?
Qu'est-ce qu'un angle, comment le nommer et comment le mesurer ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'un angle ?
Deux demi-droites [Ox) et [Oy) qui ont la même origine O partagent le plan en deux parties. La partie la plus petite (celle qui est « à l'intérieur » de l'ouverture) s'appelle un angle.
- Le point O est le sommet de l'angle.
- Les demi-droites [Ox) et [Oy) sont les côtés de l'angle.
On note cet angle xOy (on lit « angle x O y »). Si on place un point A sur [Ox) et un point B sur [Oy), on peut aussi le noter AOB.
Règle d'or : la lettre du sommet s'écrit toujours au milieu, sous le chapeau. AOB et BOA désignent le même angle ; mais OAB est un autre angle (son sommet est A).
La taille d'un angle ne dépend pas de la longueur des côtés qu'on a dessinés : les demi-droites sont illimitées. Seule compte l'ouverture. C'est comme l'éventail d'Aïssatou.
2. Mesurer un angle avec le rapporteur
L'unité de mesure des angles au collège est le degré, noté °. Un demi-tour complet mesure 180°, un tour complet mesure 360°.
L'instrument est le rapporteur : un demi-disque gradué de 0° à 180°, avec deux graduations (une qui part de la droite, une qui part de la gauche) et un petit repère appelé centre du rapporteur.
Méthode
Pour mesurer un angle AOB avec le rapporteur :
- Je place le centre du rapporteur exactement sur le sommet O.
- J'aligne la ligne du 0° du rapporteur sur un côté, par exemple [OA).
- Je choisis la graduation qui commence à 0 sur ce côté [OA) (la graduation intérieure ou extérieure).
- Je lis, sur cette même graduation, le nombre où passe l'autre côté [OB).
- Je vérifie que le résultat est cohérent : un angle plus petit qu'un coin de cahier doit mesurer moins de 90°.
On écrit le résultat ainsi : AOB = 45°.
Si le côté est trop court pour atteindre les graduations, on le prolonge à la règle : cela ne change pas l'angle.
3. Tracer un angle de mesure donnée
Exemple
Tracer un angle xOy de 70°.
- Je trace une demi-droite [Ox).
- Je place le centre du rapporteur sur O et la ligne du 0° sur [Ox).
- Sur la graduation qui part de 0 du côté de x, je repère 70 et je marque un petit point P.
- J'enlève le rapporteur et je trace la demi-droite [OP) : je l'appelle [Oy).
- Je vérifie en mesurant : je dois lire 70°. J'écris xOy = 70°.
4. Les différentes sortes d'angles
On classe les angles selon leur mesure :
| Nom | Mesure | Comment le reconnaître |
|---|---|---|
| Angle nul | 0° | les deux côtés sont confondus |
| Angle aigu | entre 0° et 90° | plus fermé qu'un coin d'équerre |
| Angle droit | exactement 90° | il s'ajuste au coin de l'équerre |
| Angle obtus | entre 90° et 180° | plus ouvert qu'un coin d'équerre |
| Angle plat | exactement 180° | les deux côtés forment une droite |
Un angle droit se marque sur la figure par un petit carré au sommet. Tu l'as déjà vu avec les droites perpendiculaires : deux droites perpendiculaires forment quatre angles droits.
Exemple
Classer les angles suivants : 35° ; 90° ; 128° ; 180° ; 89°.
35° est compris entre 0° et 90° : angle aigu.
90° : angle droit.
128° est compris entre 90° et 180° : angle obtus.
180° : angle plat.
89° est plus petit que 90° : angle aigu (même s'il ressemble beaucoup à un angle droit !).
5. Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun (ils ne se chevauchent pas).
Quand deux angles sont adjacents, la mesure du « grand » angle est la somme des deux : si AOB = 30° et BOC = 50° sont adjacents, alors AOC = 30° + 50° = 80°.
- Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
- Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Exemple
a) Quel est le complémentaire d'un angle de 25° ?
90° − 25° = 65°. Le complémentaire mesure 65°.
b) Quel est le supplémentaire d'un angle de 125° ?
180° − 125° = 55°. Le supplémentaire mesure 55°.
c) Sur une droite (d), on place un point O. Une demi-droite [Oz) partage l'angle plat en deux angles adjacents. L'un mesure 110°. Combien mesure l'autre ?
L'angle plat mesure 180°, donc l'autre angle mesure 180° − 110° = 70°.
6. Retour au tabouret
L'oncle de Mamadou mesure au rapporteur l'ouverture entre les deux planches du premier pied : il lit 80°, c'est un angle aigu. Pour les trois autres pieds, il trace sur le bois un angle de 80° avec le rapporteur, puis il cloue. Les quatre pieds auront la même ouverture et le tabouret sera stable.
3Je retiens
Je retiens
Un angle est formé de deux demi-droites de même origine : cette origine est le sommet, les demi-droites sont les côtés.
On note l'angle avec trois lettres, le sommet au milieu : AOB a pour sommet O.
La mesure d'un angle s'exprime en degrés (°) et se lit au rapporteur, centre sur le sommet, 0° sur un côté.
Angle nul : 0° ; aigu : entre 0° et 90° ; droit : 90° ; obtus : entre 90° et 180° ; plat : 180°.
La mesure d'un angle ne dépend pas de la longueur des côtés dessinés.
Deux angles complémentaires : somme 90°. Deux angles supplémentaires : somme 180°.
4Erreurs fréquentes
- Mettre la mauvaise lettre au milieu : l'angle de sommet O entre A et B s'écrit AOB, jamais OAB.
- Lire la mauvaise graduation du rapporteur : un angle visiblement aigu ne peut pas mesurer 140°. On lit toujours sur la graduation qui part de 0 sur le premier côté.
- Placer le bord du rapporteur, au lieu de son centre, sur le sommet : la mesure devient fausse.
- Croire qu'un angle est plus grand parce que ses côtés sont dessinés plus longs : seule l'ouverture compte.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque angle, donne son sommet et ses côtés : a) RST ; b) xAy ; c) KLM.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) RST : sommet S ; côtés [SR) et [ST).
b) xAy : sommet A ; côtés [Ax) et [Ay).
c) KLM : sommet L ; côtés [LK) et [LM).
On retrouve toujours le sommet grâce à la lettre du milieu.
2Exercice 2
Classe chaque angle (nul, aigu, droit, obtus, plat) : 12° ; 90° ; 91° ; 180° ; 0° ; 175° ; 60°.
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12° : aigu. 90° : droit. 91° : obtus (il dépasse 90°). 180° : plat. 0° : nul. 175° : obtus (il est inférieur à 180°). 60° : aigu.
3Exercice 3
a) Trace un angle EFG de 50°. b) Trace un angle xOy de 135°. c) Pour chacun, dis s'il est aigu ou obtus.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On trace [FE), on place le centre du rapporteur sur F, le 0° sur [FE), on marque le point à 50° sur la graduation qui part de E et on trace [FG) passant par ce point. On vérifie la mesure : 50°. C'est un angle aigu (50° < 90°).
b) Même méthode avec le sommet O et un point marqué à 135°. Vérification au rapporteur : 135°. C'est un angle obtus (90° < 135° < 180°).
4Exercice 4
a) Calcule le complémentaire d'un angle de 38°. b) Calcule le supplémentaire d'un angle de 38°. c) Un angle peut-il avoir un complémentaire s'il mesure 100° ? Explique.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 90° - 38° = 52°. Le complémentaire mesure 52°.
b) 180° - 38° = 142°. Le supplémentaire mesure 142°.
c) Non. Deux angles complémentaires ont une somme de 90° ; comme 100° est déjà plus grand que 90°, il faudrait un angle de mesure négative, ce qui n'existe pas.
5Exercice 5
(Problème) Les points A, O et C sont alignés dans cet ordre. La demi-droite [OB) est tracée d'un côté de la droite (AC), et AOB = 3 × BOC.
a) Que vaut AOC ? Justifie.
b) Calcule BOC puis AOB.
c) Quelle est la nature de chacun de ces deux angles ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A, O, C sont alignés et O est entre A et C : les demi-droites [OA) et [OC) forment une droite, donc AOC est un angle plat : AOC = 180°.
b) Les angles AOB et BOC sont adjacents et forment l'angle plat : AOB + BOC = 180°.
Comme AOB = 3 × BOC, on a 3 × BOC + BOC = 4 × BOC = 180°.
Donc BOC = 180° ÷ 4 = 45° et AOB = 3 × 45° = 135°.
Vérification : 135° + 45° = 180°.
c) BOC = 45° : angle aigu. AOB = 135° : angle obtus.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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