Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 44
La bissectrice d'un angle
Je sais ce qu'est la bissectrice d'un angle et je sais la construire au rapporteur et au compas.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la bissectrice d'un angle
- Calculer la mesure des deux angles obtenus
- Construire la bissectrice avec le rapporteur
- Construire la bissectrice avec la règle et le compas
Avant de commencer : Les angles (nommer, mesurer au rapporteur, angles adjacents) ; le cercle et l'usage du compas.
1Je découvre
Au marché de Kankan, Hawa vend des galettes rondes. Un client lui demande une part « bien triangulaire », qu'elle découpe à partir du centre de la galette. Puis un deuxième client arrive : « Je veux la moitié de cette part-là, et mon frère prendra l'autre moitié. Mais attention, exactement la même chose pour nous deux ! »
Hawa pose son couteau au sommet de la part (le centre de la galette) et hésite : où couper pour que les deux morceaux aient exactement la même ouverture ? Si elle coupe « au jugé », l'un des deux frères risque de protester.
Son fils Ibrahima, élève de 7e, sort son rapporteur et son compas de son sac : « Maman, ce que tu cherches, c'est la bissectrice de l'angle ! »
Comment partager un angle en deux angles égaux, avec précision ?
2Je comprends
1. Définition
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui :
- a pour origine le sommet de l'angle ;
- partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Le mot vient du latin : « bis » (deux) et « secare » (couper). La bissectrice « coupe en deux ».
Si [Oz) est la bissectrice de l'angle xOy, alors :
xOz = zOy = xOy2.
Sur une figure, on code les deux angles égaux par le même petit signe (un arc de cercle ou un petit trait identique).
Exemple
L'angle AOB mesure 84°. La demi-droite [OM) est sa bissectrice. Combien mesurent AOM et MOB ?
La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux :
AOM = MOB = 84° ÷ 2 = 42°.
Vérification : 42° + 42° = 84°.
Exemple
[Ot) est la bissectrice de l'angle xOy et xOt = 65°. Combien mesure xOy ?
Les deux moitiés sont égales, donc tOy = 65°.
xOy = xOt + tOy = 65° + 65° = 130°.
L'angle xOy est obtus, ses deux moitiés sont aiguës.
Attention : pour qu'une demi-droite soit la bissectrice, il faut les deux conditions. Une demi-droite qui part du sommet mais qui coupe l'angle en 30° et 50° n'est pas la bissectrice.
2. Construire la bissectrice avec le rapporteur
Méthode
Pour tracer la bissectrice d'un angle xOy au rapporteur :
- Je mesure l'angle xOy (centre du rapporteur sur O, 0° sur [Ox)).
- Je divise cette mesure par 2.
- Sans bouger le rapporteur, je marque un point au niveau de cette moitié.
- Je trace la demi-droite [Oz) qui part de O et passe par ce point.
- Je vérifie : xOz et zOy doivent avoir la même mesure. Je code les deux angles égaux.
Cette méthode est simple, mais elle dépend de la précision de la lecture. Si l'angle mesure 73°, la moitié vaut 36,5° : difficile à lire au rapporteur ! D'où l'intérêt de la méthode au compas.
3. Construire la bissectrice avec la règle et le compas
Cette construction est exacte, sans aucune mesure d'angle.
Méthode
Pour tracer la bissectrice d'un angle xOy au compas :
- Je pique le compas sur le sommet O et je trace un arc qui coupe [Ox) en E et [Oy) en F. On a alors OE = OF.
- Je pique le compas sur E et je trace un arc à l'intérieur de l'angle.
- Sans changer l'écartement du compas, je pique sur F et je trace un arc qui coupe le précédent en un point I.
- Je trace la demi-droite [OI) : c'est la bissectrice de l'angle xOy.
- Je code la figure (OE = OF, IE = IF, angles égaux).
Pourquoi cela marche-t-il ? Les segments [OE] et [OF] ont la même longueur ; les segments [IE] et [IF] aussi (même écartement de compas). La figure OEIF a donc la même forme des deux côtés de [OI), comme une feuille qu'on plierait le long de [OI) : E viendrait exactement sur F. Les deux angles EOI et IOF se superposent : ils sont égaux. (Tu comprendras encore mieux cette idée avec la symétrie axiale, plus loin dans l'année.)
Conseil : l'écartement choisi à l'étape 2 doit être assez grand pour que les deux arcs se coupent. En prenant le même écartement que OE, cela marche toujours.
4. Quelques cas particuliers
| Angle de départ | Chaque moitié mesure | Nature des moitiés |
|---|---|---|
| angle droit 90° | 45° | aigus |
| angle plat 180° | 90° | droits |
| angle aigu 60° | 30° | aigus |
| angle obtus 150° | 75° | aigus |
Remarque importante : la bissectrice d'un angle plat est perpendiculaire à la droite formée par ses côtés. C'est une façon de tracer une perpendiculaire à une droite en un point, avec le compas seulement.
La moitié d'un angle est toujours inférieure ou égale à 90° : les deux angles obtenus sont aigus, ou droits dans le cas de l'angle plat.
5. Retour à la galette de Hawa
La part de galette forme un angle de sommet le centre de la galette. Ibrahima pique son compas au centre, trace un arc qui coupe les deux bords de la part, puis trace deux arcs de même rayon à partir de ces deux points. Il relie le centre au point d'intersection : c'est la bissectrice. Hawa coupe le long de ce trait : les deux frères reçoivent deux parts de même ouverture, donc de même taille.
3Je retiens
Je retiens
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui partage l'angle en deux angles adjacents égaux.
Si [Oz) est la bissectrice de xOy : xOz = zOy = xOy ÷ 2.
Au rapporteur : je mesure l'angle, je divise par 2, je marque la moitié et je trace depuis le sommet.
Au compas : arc centré en O qui coupe les côtés en E et F, puis deux arcs de même rayon centrés en E et F qui se coupent en I ; [OI) est la bissectrice.
La bissectrice d'un angle plat est perpendiculaire à ses côtés.
4Erreurs fréquentes
- Tracer un segment ou une droite entière au lieu d'une demi-droite : la bissectrice part du sommet et va seulement vers l'intérieur de l'angle.
- Changer l'écartement du compas entre les arcs centrés en E et en F : le point I n'est plus sur la bissectrice.
- Tracer une demi-droite qui « a l'air » au milieu sans vérifier : on mesure les deux angles obtenus pour contrôler qu'ils sont égaux.
- Oublier de diviser par 2 : si xOy = 120°, chaque moitié mesure 60°, pas 120°.
5Je m’exerce
1Exercice 1
[OM) est la bissectrice de AOB. Complète : a) si AOB = 76°, alors AOM = … ; b) si MOB = 27°, alors AOB = … ; c) si AOB = 180°, alors AOM = ….
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) AOM = 76° ÷ 2 = 38°.
b) AOM = MOB = 27°, donc AOB = 27° + 27° = 54°.
c) AOM = 180° ÷ 2 = 90° : la bissectrice de l'angle plat est perpendiculaire à ses côtés.
2Exercice 2
Trace un angle xOy de 110°, puis sa bissectrice [Oz) au rapporteur. Donne la mesure de xOz.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Je trace [Ox), je place le rapporteur (centre sur O, 0° sur [Ox)), je marque 110° et je trace [Oy). La moitié de 110° est 55° : sans bouger le rapporteur, je marque 55° et je trace [Oz). On obtient xOz = 55° ; je vérifie que zOy = 110° - 55° = 55°.
3Exercice 3
Trace un angle RST quelconque, puis construis sa bissectrice à la règle et au compas. Écris les étapes de ta construction.
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- Je pique le compas en S et je trace un arc qui coupe [SR) en E et [ST) en F.
- Avec un même écartement, je trace un arc centré en E puis un arc centré en F, à l'intérieur de l'angle ; ils se coupent en I.
- Je trace la demi-droite [SI) : c'est la bissectrice de RST.
- Je vérifie au rapporteur que RSI = IST et je code les deux angles égaux.
4Exercice 4
Dans chaque cas, dis si [Ot) est la bissectrice de xOy. Justifie.
a) xOt = 35° et tOy = 35°, [Ot) à l'intérieur de l'angle.
b) xOt = 40° et xOy = 90°.
c) xOy = 150° et tOy = 75°, [Ot) à l'intérieur de l'angle.
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a) Oui : [Ot) part du sommet, est à l'intérieur de l'angle et forme deux angles égaux (35° et 35°).
b) Non : tOy = 90° - 40° = 50°, et 40° ≠ 50°.
c) Oui : xOt = 150° - 75° = 75°, donc xOt = tOy = 75°.
5Exercice 5
(Problème) Les points A, O et C sont alignés, avec O entre A et C. On trace [OB) tel que AOB = 50°. On appelle [OE) la bissectrice de AOB et [OF) la bissectrice de BOC.
a) Calcule BOC.
b) Calcule EOB et BOF.
c) Calcule EOF. Que remarques-tu ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) AOC est un angle plat : AOB + BOC = 180°, donc BOC = 180° - 50° = 130°.
b) EOB = 50° ÷ 2 = 25° et BOF = 130° ÷ 2 = 65°.
c) EOB et BOF sont adjacents, donc EOF = 25° + 65° = 90°.
On remarque que les bissectrices de deux angles adjacents qui forment un angle plat sont perpendiculaires. C'est toujours vrai : leurs moitiés font ensemble 180° ÷ 2 = 90°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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