Karamö, le prof virtuelLeçon 33 sur 44
Le pavé droit
Je sais reconnaître et décrire un pavé droit, dessiner son patron et calculer son aire totale et son volume.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un pavé droit et nommer ses faces, arêtes et sommets
- Représenter un pavé droit en perspective cavalière
- Construire un patron de pavé droit
- Calculer l'aire latérale et l'aire totale
- Calculer le volume et convertir les unités de volume (m³, dm³, litre)
Avant de commencer : Le rectangle ; droites parallèles et perpendiculaires ; aire du rectangle ; multiplication des nombres décimaux.
1Je découvre
Alpha, maçon à Boké, prépare les fondations d'une maison. Il doit fabriquer des briques pleines en ciment, en forme de boîte. Son patron lui demande aussi de construire une citerne pour recueillir l'eau de pluie pendant l'hivernage : elle a la même forme, avec 2 m de long, 1,5 m de large et 1 m de profondeur.
Sa nièce Mariama regarde un carton de savon posé à côté : « Ta brique, ta citerne et ce carton, c'est la même forme ! » Alpha acquiesce, puis se gratte la tête : « Combien de litres d'eau la citerne pourra-t-elle contenir ? Et quelle surface de ciment faudra-t-il pour enduire l'intérieur ? »
Ces objets ne sont pas des figures planes dessinées sur une feuille : ils ont une épaisseur. Ce sont des solides.
Qu'est-ce qu'un pavé droit, comment le dessiner, et comment calculer sa surface et ce qu'il peut contenir ?
2Je comprends
1. Décrire un pavé droit
Un pavé droit (on dit aussi parallélépipède rectangle) est un solide dont les six faces sont des rectangles.
Il possède :
- 6 faces rectangulaires, opposées deux à deux ; deux faces opposées sont identiques (superposables) et parallèles ;
- 12 arêtes : ce sont les segments où deux faces se rencontrent ; elles se répartissent en 3 groupes de 4 arêtes de même longueur : la longueur L, la largeur l et la hauteur h ;
- 8 sommets : ce sont les points où trois arêtes se rencontrent.
Les trois nombres L, l et h s'appellent les dimensions du pavé.
Exemples de la vie courante : une brique, une boîte d'allumettes, un carton, une armoire, une salle de classe, un conteneur au port de Conakry.
2. La perspective cavalière
Pour dessiner un solide sur une feuille, on utilise la perspective cavalière :
- la face avant est dessinée en vraie grandeur (un vrai rectangle) ;
- les arêtes qui partent « vers l'arrière » sont dessinées obliques, parallèles entre elles, et plus courtes qu'en réalité ;
- les arêtes cachées sont tracées en pointillés ;
- des arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
Sur ce dessin, la face ABCD est la face avant, la face EFGH est la face arrière. Les arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH] sont parallèles et de même longueur.
3. Le patron d'un pavé droit
Un patron est une figure plane, d'un seul morceau, que l'on peut découper et plier pour fabriquer le solide, sans superposition de faces. Le patron d'un pavé droit est formé de 6 rectangles : 3 paires de rectangles identiques.
Un pavé de dimensions 5 cm, 3 cm et 2 cm a donc :
- 2 faces de 5 cm sur 3 cm ;
- 2 faces de 5 cm sur 2 cm ;
- 2 faces de 3 cm sur 2 cm.
Méthode
Pour construire un patron de pavé droit (L, l, h) :
- Je trace une bande de 4 rectangles collés : L × h, l × h, L × h, l × h (ce sont les faces latérales, qui font le tour).
- Sur le premier rectangle L × h, je colle en haut un rectangle L × l (le couvercle) et en bas un rectangle L × l (le fond).
- Je vérifie que les côtés qui se colleront au pliage ont la même longueur.
- J'ajoute des languettes de collage si je veux fabriquer le solide en carton.
4. Aire latérale et aire totale
L'aire latérale est la somme des aires des 4 faces qui font le tour (sans le fond ni le couvercle). Ces 4 faces forment, dans le patron, un grand rectangle de longueur égale au périmètre de la base et de largeur h :
mathcalAlatérale = 2 × (L + l) × h.
L'aire totale est la somme des aires des 6 faces :
mathcalAtotale = 2 × (L × l + L × h + l × h).
Exemple
Un carton a pour dimensions L = 5 cm, l = 4 cm, h = 3 cm.
Faces : L × l = 20 cm² ; L × h = 15 cm² ; l × h = 12 cm².
Aire totale : 2 × (20 + 15 + 12) = 2 × 47 = 94 cm².
Aire latérale : 2 × (5 + 4) × 3 = 2 × 9 × 3 = 54 cm².
Vérification : 94 − 54 = 40 cm² = 2 × 20 cm², l'aire du fond et du couvercle.
5. Le volume
Le volume d'un solide mesure la place qu'il occupe dans l'espace. On le mesure en cubes-unités : un cube de 1 cm d'arête a un volume de 1 centimètre cube (1 cm³).
Dans un pavé de 5 cm sur 4 cm sur 3 cm, on peut ranger une couche de 5 × 4 = 20 petits cubes de 1 cm³, et on empile 3 couches : 20 × 3 = 60 cm³.
Volume du pavé droit : mathcalV = L × l × h (les trois dimensions dans la même unité).
On peut aussi dire : mathcalV = aire de la base × hauteur.
6. Les unités de volume et la contenance
Un cube de 1 m d'arête contient 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes de 1 dm d'arête. Chaque unité de volume vaut 1 000 fois l'unité immédiatement plus petite :
1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 000 cm³.
Pour les liquides, on parle de contenance et on utilise le litre :
1 L = 1 dm³ ; donc 1 m³ = 1 000 L et 1 cm³ = 1 mL.
| Unité de volume | m³ | dm³ | cm³ |
|---|---|---|---|
| Contenance | 1 000 L | 1 L | 1 mL |
Exemple
La citerne d'Alpha : L = 2 m, l = 1,5 m, h = 1 m.
Volume : V = 2 × 1,5 × 1 = 3 m³.
Contenance : 3 m³ = 3 × 1 000 L = 3 000 L.
Surface intérieure à enduire (fond + 4 parois, pas de couvercle) :
fond : 2 × 1,5 = 3 m² ; parois : 2 × (2 + 1,5) × 1 = 7 m².
Total : 3 + 7 = 10 m².
Exemple
Une brique pleine mesure 40 cm × 20 cm × 15 cm.
V = 40 × 20 × 15 = 12 000 cm³ = 12 dm³.
Pour 100 briques : 100 × 12 = 1 200 dm³ = 1,2 m³ de mélange.
- 1Je vérifie que L, l et h sont dans la même unité (sinon je convertis).
- 2Je calcule l'aire de la base : L × l.
- 3Je multiplie par la hauteur h : V = L × l × h.
- 4J'écris l'unité de volume (cm³, dm³, m³).
- 5Si on me demande une contenance, je convertis : 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L.
3Je retiens
Je retiens
Un pavé droit a 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets. Ses faces opposées sont identiques et parallèles.
En perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, arêtes fuyantes obliques et raccourcies, arêtes cachées en pointillés.
Un patron de pavé droit est formé de 6 rectangles (3 paires identiques).
Aire latérale = 2 × (L + l) × h. Aire totale = 2 × (L × l + L × h + l × h).
Volume = L × l × h.
1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L.
4Erreurs fréquentes
- Confondre aire et volume : l'aire s'exprime en cm² (surface des faces), le volume en cm³ (place occupée).
- Convertir les volumes comme des longueurs : 1 m³ = 1 000 dm³, et non 10 dm³.
- Multiplier des dimensions d'unités différentes : 2 m × 50 cm × 1 m n'est pas égal à 100 m³. On convertit d'abord : 2 × 0,5 × 1 = 1 m³.
- Oublier que la citerne sans couvercle n'a que 5 faces à enduire, ou compter une seule fois les faces opposées dans l'aire totale.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète.
a) Un pavé droit a … faces, … arêtes et … sommets.
b) Toutes ses faces sont des …
c) Dans le pavé ABCDEFGH du cours, cite trois arêtes parallèles à [AB].
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a) 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.
b) Des rectangles.
c) Les arêtes [DC], [EF] et [HG] sont parallèles à [AB].
2Exercice 2
Calcule le volume de chaque pavé droit.
a) L = 8 cm, l = 5 cm, h = 4 cm.
b) L = 2,5 m, l = 2 m, h = 1,2 m.
c) L = 1 m, l = 60 cm, h = 40 cm (réponse en dm³).
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a) mathcalV = 8 × 5 × 4 = 160 cm³.
b) mathcalV = 2,5 × 2 × 1,2 = 5 × 1,2 = 6 m³.
c) On convertit en dm : 1 m = 10 dm, 60 cm = 6 dm, 40 cm = 4 dm. mathcalV = 10 × 6 × 4 = 240 dm³.
3Exercice 3
Convertis.
a) 4,5 m³ en litres.
b) 2 500 cm³ en dm³, puis en litres.
c) 750 L en m³.
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a) 4,5 m3 = 4,5 × 1 000 = 4 500 dm³ = 4 500 L.
b) 2 500 cm3 = 2 500 ÷ 1 000 = 2,5 dm³ = 2,5 L.
c) 750 L = 750 dm³ = 750 ÷ 1 000 = 0,75 m³.
4Exercice 4
Une boîte de craie a la forme d'un pavé droit de 12 cm sur 8 cm sur 6 cm.
a) Dessine à main levée un patron de cette boîte en indiquant les dimensions de chaque rectangle.
b) Calcule l'aire totale de carton nécessaire (sans les languettes).
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a) Le patron comprend : 2 rectangles de 12 cm sur 8 cm, 2 rectangles de 12 cm sur 6 cm et 2 rectangles de 8 cm sur 6 cm, placés comme dans la méthode du cours (bande de 4 faces latérales, fond et couvercle de part et d'autre).
b) 12 × 8 = 96 ; 12 × 6 = 72 ; 8 × 6 = 48.
mathcalAtotale = 2 × (96 + 72 + 48) = 2 × 216 = 432 cm².
5Exercice 5
Un aquarium d'école, sans couvercle, mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut.
a) Calcule sa contenance en litres.
b) On le remplit jusqu'à 5 cm du bord. Quel volume d'eau contient-il ?
c) Quelle surface de verre a-t-il fallu pour le fabriquer ?
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a) mathcalV = 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 L.
b) Hauteur d'eau : 40 - 5 = 35 cm. mathcalV = 60 × 30 × 35 = 63 000 cm³ = 63 L.
c) Il n'y a pas de couvercle : fond + 4 parois.
Fond : 60 × 30 = 1 800 cm². Parois : 2 × (60 + 30) × 40 = 2 × 90 × 40 = 7 200 cm².
Total : 1 800 + 7 200 = 9 000 cm² (soit 90 dm² ou 0,9 m²).
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Le camion de Sékou a une benne en forme de pavé droit de 4 m de long, 2,5 m de large et 1,2 m de haut. Il transporte du sable pour un chantier à Kindia.
a) Calcule le volume de la benne.
b) Le chantier a besoin de 30 m³ de sable. Combien de voyages complets Sékou doit-il faire au minimum ?
c) Un voyage coûte 450 000 GNF. Quel est le prix total ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) mathcalV = 4 × 2,5 × 1,2 = 10 × 1,2 = 12 m³.
b) 30 ÷ 12 = 2,5. Deux voyages ne transportent que 24 m³ : il faut 3 voyages.
c) 3 × 450 000 = 1 350 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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