Karamö, le prof virtuelLeçon 34 sur 44
Le cube
Je sais reconnaître un cube, le dessiner, reconnaître un de ses patrons et calculer son aire totale et son volume.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un cube comme un pavé droit particulier
- Représenter un cube en perspective cavalière
- Reconnaître et construire un patron de cube
- Calculer l'aire totale d'un cube
- Calculer le volume d'un cube et le convertir
Avant de commencer : Le pavé droit (faces, arêtes, sommets, patron, volume) ; le carré ; aire du carré ; unités de volume.
1Je découvre
Au marché de Madina, Hawa vend des cubes de bouillon et des morceaux de sucre. Son petit frère Ibrahima joue avec un dé à six faces, et Hawa emballe des cadeaux dans une petite boîte dont toutes les faces sont des carrés de 10 cm de côté.
Ibrahima remarque : « Le dé, le morceau de sucre, la boîte de cadeau : toutes leurs faces sont pareilles ! » Hawa lui demande alors : « Combien de papier cadeau faut-il pour couvrir entièrement la boîte ? Et combien de petits morceaux de sucre de 1 cm de côté pourrait-on ranger dedans ? »
Ibrahima commence à compter les morceaux de sucre un par un, mais il se perd vite.
Qu'est-ce qu'un cube, et comment calculer rapidement sa surface et son volume ?
2Je comprends
1. Définition
Un cube est un pavé droit dont les six faces sont des carrés identiques.
Comme tout pavé droit, un cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Mais ici, toutes les arêtes ont la même longueur, que l'on note a (on dit « l'arête du cube »). Les trois dimensions sont égales : L = l = h = a.
Un cube est donc un cas particulier de pavé droit, comme le carré est un cas particulier de rectangle.
| Pavé droit | Cube | |
|---|---|---|
| Nombre de faces | 6 | 6 |
| Forme des faces | rectangles | carrés identiques |
| Nombre d'arêtes | 12 | 12 |
| Longueurs des arêtes | 3 longueurs différentes possibles | toutes égales |
| Nombre de sommets | 8 | 8 |
2. Dessiner un cube en perspective cavalière
On applique les mêmes règles que pour le pavé droit :
- la face avant est un carré en vraie grandeur ;
- les arêtes fuyantes sont obliques, parallèles entre elles et raccourcies (souvent à la moitié environ) ;
- les arêtes cachées sont en pointillés.
Attention : sur le dessin, les faces de côté et du dessus ne ressemblent pas à des carrés (ce sont des parallélogrammes). Pourtant, dans la réalité, ce sont des carrés. Le dessin en perspective déforme certaines faces.
3. Les patrons du cube
Un patron de cube est formé de 6 carrés identiques reliés par leurs côtés, qui se replient sans se superposer. Il existe 11 patrons différents du cube. Le plus connu est « la croix » : une bande de 4 carrés, avec un carré de chaque côté du deuxième carré.
Tous les assemblages de 6 carrés ne sont pas des patrons. Par exemple, 6 carrés en ligne ne forment pas un cube : en pliant, deux faces se superposent et deux faces restent ouvertes. De même, si 4 carrés forment un grand carré (2 sur 2), ce n'est jamais un patron.
Méthode
Pour savoir si un assemblage de 6 carrés est un patron de cube :
- Je vérifie qu'il y a exactement 6 carrés identiques, d'un seul morceau.
- Je vérifie qu'aucun bloc de 2 × 2 carrés n'apparaît, et qu'il n'y a pas plus de 4 carrés alignés.
- Je choisis une face comme fond et je plie en pensée les autres autour d'elle.
- Je vérifie que chaque face trouve sa place (fond, couvercle, 4 côtés) sans que deux faces se superposent.
4. L'aire totale du cube
Chaque face est un carré d'aire a × a. Il y a 6 faces identiques :
mathcalAtotale = 6 × a × a.
L'aire latérale (les 4 faces du tour) vaut 4 × a × a.
5. Le volume du cube
On applique la formule du pavé droit avec L = l = h = a :
mathcalV = a × a × a, que l'on écrit aussi a3 (on lit « a au cube »).
C'est pour cela que l'on dit « au cube » quand on multiplie un nombre trois fois par lui-même : 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
Exemple
La boîte cadeau de Hawa a une arête de 10 cm.
Aire totale : 6 × 10 × 10 = 6 × 100 = 600 cm². Il faut au moins 600 cm² de papier (sans compter les rabats).
Volume : 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³.
Un morceau de sucre de 1 cm d'arête a un volume de 1 cm³ : on peut en ranger 1 000.
Et comme 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L, cette boîte pourrait contenir exactement 1 litre d'eau.
Exemple
Un cube a une arête de 2,5 cm. Calculer son volume et son aire totale.
Volume : 2,5 × 2,5 × 2,5 = 6,25 × 2,5 = 15,625 cm³.
Aire totale : 6 × 2,5 × 2,5 = 6 × 6,25 = 37,5 cm².
Exemple
Un cube a un volume de 64 cm³. Quelle est son arête ?
On cherche un nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne 64.
4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64. L'arête mesure 4 cm.
6. Que se passe-t-il si on double l'arête ?
Prenons un cube d'arête 1 cm (volume 1 cm³) et un cube d'arête 2 cm (volume 2 × 2 × 2 = 8 cm³). En doublant l'arête, on n'a pas doublé le volume : on l'a multiplié par 8. On peut d'ailleurs ranger 8 petits cubes dans le grand : 2 dans la longueur, 2 dans la largeur, 2 dans la hauteur.
3Je retiens
Je retiens
Un cube est un pavé droit dont les 6 faces sont des carrés identiques ; ses 12 arêtes ont la même longueur a.
Un cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Un patron de cube est formé de 6 carrés identiques ; il existe 11 patrons différents.
Aire totale du cube : 6 × a × a.
Volume du cube : a × a × a = a³.
Un cube de 1 dm d'arête a un volume de 1 dm³ = 1 L.
4Erreurs fréquentes
- Écrire V = 3 × a au lieu de a × a × a : pour a = 5 cm, V = 125 cm³, pas 15 cm³.
- Écrire l'aire totale 4 × a × a : ce n'est que l'aire latérale. Le cube a 6 faces.
- Croire que 6 carrés collés forment toujours un patron : 6 carrés en ligne ou un bloc de 2 × 2 carrés ne se replient pas en cube.
- Penser qu'en doublant l'arête on double le volume : on le multiplie par 8.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Vrai ou faux ? Justifie.
a) Un cube est un pavé droit.
b) Un pavé droit est toujours un cube.
c) Un cube a 8 arêtes.
d) Toutes les faces d'un cube ont la même aire.
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a) Vrai : c'est un pavé droit dont toutes les faces sont des carrés.
b) Faux : un pavé de 5 cm sur 3 cm sur 2 cm a des faces rectangulaires non carrées.
c) Faux : il a 12 arêtes (et 8 sommets).
d) Vrai : ce sont 6 carrés identiques, d'aire a × a.
2Exercice 2
Calcule le volume et l'aire totale d'un cube d'arête :
a) 3 cm ;
b) 7 m ;
c) 1,5 dm.
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a) mathcalV = 3 × 3 × 3 = 27 cm³ ; mathcalA = 6 × 3 × 3 = 54 cm².
b) mathcalV = 7 × 7 × 7 = 343 m³ ; mathcalA = 6 × 49 = 294 m².
c) mathcalV = 1,5 × 1,5 × 1,5 = 2,25 × 1,5 = 3,375 dm³ ; mathcalA = 6 × 2,25 = 13,5 dm².
3Exercice 3
Trouve l'arête d'un cube :
a) dont le volume est 125 cm³ ;
b) dont l'aire totale est 54 cm².
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a) 5 × 5 × 5 = 125 : l'arête mesure 5 cm.
b) Aire d'une face : 54 ÷ 6 = 9 cm². Or 3 × 3 = 9 : l'arête mesure 3 cm.
4Exercice 4
Parmi les assemblages suivants de 6 carrés, lesquels sont des patrons de cube ? Explique.
a) Une ligne de 6 carrés.
b) Une ligne de 4 carrés, avec un carré au-dessus du premier et un carré au-dessous du premier.
c) Un bloc de 2 carrés sur 2, avec un carré collé à droite en haut et un carré collé à droite en bas.
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a) Non : au pliage, la 5e et la 6e face viennent se superposer à la 1re et à la 2e, et le cube reste ouvert en haut et en bas.
b) Oui : la ligne de 4 carrés fait le tour du cube, et les deux carrés collés au premier deviennent le dessus et le dessous (c'est une variante de la croix).
c) Non : il contient un bloc de 2 × 2 carrés, qui ne peut jamais se replier en cube.
5Exercice 5
Mariama range des cubes de bois de 5 cm d'arête dans un carton en forme de pavé droit de 40 cm de long, 30 cm de large et 20 cm de haut.
a) Combien de cubes peut-elle mettre dans la longueur ? dans la largeur ? dans la hauteur ?
b) Combien de cubes peut-elle ranger en tout ?
c) Vérifie ton résultat en comparant le volume du carton et celui d'un cube.
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a) Longueur : 40 ÷ 5 = 8 cubes ; largeur : 30 ÷ 5 = 6 cubes ; hauteur : 20 ÷ 5 = 4 cubes.
b) 8 × 6 × 4 = 192 cubes.
c) Carton : 40 × 30 × 20 = 24 000 cm³. Un cube : 5 × 5 × 5 = 125 cm³. 24 000 ÷ 125 = 192. On retrouve 192 cubes.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Un réservoir d'eau d'un centre de santé a la forme d'un cube de 1,2 m d'arête.
a) Calcule son volume en m³, puis sa contenance en litres.
b) On veut peindre l'extérieur du réservoir, sauf la face du dessous posée sur le sol. Quelle surface faut-il peindre ?
c) Le centre consomme 144 L d'eau par jour. Combien de jours tient un réservoir plein ?
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a) mathcalV = 1,2 × 1,2 × 1,2 = 1,44 × 1,2 = 1,728 m³, soit 1,728 × 1 000 = 1 728 L.
b) On peint 5 faces : 5 × 1,2 × 1,2 = 5 × 1,44 = 7,2 m².
c) 1 728 ÷ 144 = 12. Un réservoir plein tient 12 jours.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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