Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 33
Repérage sur une droite graduée et dans le plan
Je sais repérer un point par son abscisse sur une droite graduée et par ses coordonnées dans un repère du plan, et calculer une distance sur une droite graduée.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Lire et placer un point d'abscisse relative sur une droite graduée
- Calculer la distance entre deux points d'une droite graduée
- Lire et placer un point de coordonnées relatives dans un repère du plan
- Utiliser les coordonnées pour étudier une figure simple
Avant de commencer : Les nombres relatifs, leur comparaison et leur addition-soustraction (leçons précédentes).
1Je découvre
Lansana est chargé d'organiser la cour de l'école de son quartier, à Faranah, pour la fête de fin d'année. Le directeur lui donne un plan où la cour est quadrillée. Le grand manguier du centre sert de point de repère.
Pour placer le podium, le directeur dit : « Pars du manguier, fais 3 pas vers l'est puis 2 pas vers le nord. » Pour le stand de boissons : « 4 pas vers l'ouest puis 3 pas vers le sud. »
Lansana remarque que deux informations suffisent à trouver n'importe quel endroit de la cour : un déplacement de gauche à droite (est ou ouest) et un déplacement de bas en haut (nord ou sud). Et comme on peut aller dans les deux sens, les nombres relatifs sont parfaits : +3 pour l'est, -4 pour l'ouest, +2 pour le nord, -3 pour le sud.
Comment repérer précisément un point sur une droite, puis dans le plan, avec des nombres relatifs ?
2Je comprends
1. Repérage sur une droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
- un point origine O, d'abscisse 0 ;
- un sens (en général vers la droite) ;
- une unité de longueur, reportée régulièrement.
Chaque point de la droite est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. On écrit A(-3) pour dire « le point A a pour abscisse -3 ».
2. Distance entre deux points d'une droite graduée
Règle. La distance entre deux points d'une droite graduée est égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.
AB = (plus grande abscisse) - (plus petite abscisse)
Une distance est toujours positive.
Exemple
Sur une droite graduée, A(−3) et B(5). Calculer AB.
La plus grande abscisse est 5, la plus petite est −3.
AB = 5 − (−3) = 5 + (+3) = 8.
La distance AB est de 8 unités. On peut vérifier en comptant les graduations de −3 à 5 : 3 jusqu'à zéro, puis 5 : 3 + 5 = 8.
Exemple
C(−7) et D(−2). Calculer CD, puis l'abscisse du milieu M de [CD].
La plus grande abscisse est −2 (plus proche de zéro).
CD = (−2) − (−7) = (−2) + (+7) = 5.
Le milieu M est à 5 ÷ 2 = 2,5 unités de C, vers la droite :
abscisse de M = (−7) + (+2,5) = −4,5.
3. Le repère du plan
Pour repérer un point dans le plan, on utilise deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en leur origine commune O :
- l'axe des abscisses, horizontal ;
- l'axe des ordonnées, vertical.
Quand les deux axes sont perpendiculaires et ont la même unité, on parle de repère orthonormé.
Chaque point M du plan est repéré par un couple de nombres relatifs appelé ses coordonnées, écrit M(x ; y) :
- x est l'abscisse : on la lit sur l'axe horizontal ;
- y est l'ordonnée : on la lit sur l'axe vertical.
L'ordre compte : on écrit toujours l'abscisse en premier. Le point (3 ; 2) n'est pas le point (2 ; 3).
L'origine a pour coordonnées O(0 ; 0).
4. Lire et placer un point
Méthode
Pour placer le point M(x ; y) dans un repère :
- Je pars de l'origine O.
- Je me déplace horizontalement de x : vers la droite si x est positif, vers la gauche si x est négatif.
- De là, je me déplace verticalement de y : vers le haut si y est positif, vers le bas si y est négatif.
- Je marque le point d'une croix et j'écris son nom.
Pour lire les coordonnées d'un point, je fais le chemin inverse : je descends (ou monte) jusqu'à l'axe horizontal pour lire x, puis je vais jusqu'à l'axe vertical pour lire y.
Remarques importantes :
- Un point situé sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle : F(-3 ; 0).
- Un point situé sur l'axe des ordonnées a une abscisse nulle : E(0 ; 3).
- Les axes partagent le plan en quatre zones. Par exemple, tous les points dont l'abscisse et l'ordonnée sont négatives sont en bas à gauche, comme C(-4 ; -3).
| Position | Signe de l'abscisse | Signe de l'ordonnée | Exemple |
|---|---|---|---|
| en haut à droite | + | + | A(3 ; 2) |
| en haut à gauche | − | + | B(-2 ; 4) |
| en bas à gauche | − | − | C(-4 ; -3) |
| en bas à droite | + | − | D(2 ; -1) |
5. Utiliser les coordonnées dans une figure
Exemple
Placer A(−2 ; 1), B(3 ; 1), C(3 ; −2), D(−2 ; −2). Quelle est la nature de ABCD ? Calculer son périmètre et son aire (unité : 1 cm).
A et B ont la même ordonnée 1 : [AB] est horizontal et AB = 3 − (−2) = 5 cm.
B et C ont la même abscisse 3 : [BC] est vertical et BC = 1 − (−2) = 3 cm.
De même, DC = 5 cm (horizontal) et AD = 3 cm (vertical).
Les côtés horizontaux et verticaux sont perpendiculaires : ABCD a quatre angles droits, c'est un rectangle de 5 cm sur 3 cm.
Périmètre : 2 × (5 + 3) = 16 cm. Aire : 5 × 3 = 15 cm².
Retour à la cour de Lansana : si le manguier est l'origine, l'axe des abscisses orienté vers l'est et l'axe des ordonnées vers le nord, le podium est au point P(3 ; 2) et le stand de boissons au point S(-4 ; -3).
3Je retiens
Je retiens
Sur une droite graduée, chaque point a une abscisse : A(−3).
Distance entre deux points d'une droite graduée = plus grande abscisse − plus petite abscisse.
Un repère du plan : deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent à l'origine O(0 ; 0).
Un point M(x ; y) : x est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal), y est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). L'abscisse s'écrit toujours en premier.
Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle ; un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle.
4Erreurs fréquentes
- Inverser abscisse et ordonnée : pour placer (2 ; 5), on se déplace d'abord de 2 horizontalement, puis de 5 verticalement.
- Trouver une distance négative : AB = 5 − (−3) = 8, et non 5 − 3 = 2 ni −8. On soustrait toujours la plus petite abscisse de la plus grande, en appliquant les règles des relatifs.
- Placer un point sur le mauvais axe : (0 ; −4) est sur l'axe vertical, (−4 ; 0) est sur l'axe horizontal.
- Graduer les axes de façon irrégulière : chaque unité doit avoir la même longueur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Sur une droite graduée, on a les points A(-5), B(-1), C(2) et D(6).
Calcule les distances AB, BC, AD et CD.
Voir le corrigéCacher le corrigé
AB = (-1) - (-5) = (-1) + (+5) = 4.
BC = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3.
AD = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11.
CD = 6 - 2 = 4.
2Exercice 2
Dans un repère orthonormé, place les points suivants :
M(4 ; 1) ; N(-3 ; 2) ; P(-1 ; -4) ; Q(0 ; -2) ; R(5 ; 0) ; S(2 ; -3).
Indique ceux qui se trouvent sur un axe.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour placer chaque point, on part de O, on se déplace horizontalement de l'abscisse puis verticalement de l'ordonnée.
Q(0 ; -2) est sur l'axe des ordonnées (abscisse nulle). R(5 ; 0) est sur l'axe des abscisses (ordonnée nulle). Les autres points ne sont sur aucun axe.
3Exercice 3
Sans faire de figure, dis dans quelle zone du plan (en haut à droite, en haut à gauche, en bas à gauche, en bas à droite) se trouve chaque point : T(-7 ; 3), U(2 ; -6), V(-1 ; -1), W(8 ; 9).
Voir le corrigéCacher le corrigé
T(-7 ; 3) : abscisse négative, ordonnée positive → en haut à gauche.
U(2 ; -6) : abscisse positive, ordonnée négative → en bas à droite.
V(-1 ; -1) : les deux négatives → en bas à gauche.
W(8 ; 9) : les deux positives → en haut à droite.
4Exercice 4
Sur une droite graduée, E(-6) et F(4).
a) Calcule EF.
b) Trouve l'abscisse du milieu K de [EF].
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) EF = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10.
b) Le milieu est à 10 ÷ 2 = 5 unités de E : abscisse de K = (-6) + (+5) = -1. Vérification : de -1 à 4, il y a bien 5 unités.
5Exercice 5
(Problème) Dans un repère orthonormé (unité 1 cm), on donne A(-3 ; 2), B(2 ; 2), C(2 ; -3) et D(-3 ; -3).
a) Place les points et trace le quadrilatère ABCD.
b) Calcule les longueurs AB et BC.
c) Quelle est la nature de ABCD ? Calcule son périmètre et son aire.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Figure : on place les quatre points et on les relie dans l'ordre.
b) A et B ont la même ordonnée : AB = 2 - (-3) = 5 cm. B et C ont la même abscisse : BC = 2 - (-3) = 5 cm.
c) [AB] et [DC] sont horizontaux, [BC] et [AD] sont verticaux, donc les quatre angles sont droits. De plus, DC = 2 - (-3) = 5 cm et AD = 2 - (-3) = 5 cm : les quatre côtés ont la même longueur. ABCD est donc un carré de 5 cm de côté. Périmètre : 4 × 5 = 20 cm. Aire : 5 × 5 = 25 cm².
6Exercice 6
(Synthèse) Sur un plan du village de Hawa, près de Mamou, l'origine est la mosquée, l'axe des abscisses est orienté vers l'est et l'axe des ordonnées vers le nord ; une unité représente 100 m. L'école est au point E(-2 ; 3), le puits au point P(4 ; 3) et le marché au point M(4 ; -1).
a) Décris, avec des mots, la position de l'école par rapport à la mosquée.
b) Quelle distance réelle, en mètres, sépare l'école du puits, en ligne droite ?
c) Quelle distance réelle sépare le puits du marché ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'école est à 2 unités vers l'ouest et 3 unités vers le nord de la mosquée, soit 200 m à l'ouest puis 300 m au nord.
b) E et P ont la même ordonnée 3 : la distance est 4 - (-2) = 6 unités, soit 6 × 100 = 600 m.
c) P et M ont la même abscisse 4 : la distance est 3 - (-1) = 4 unités, soit 400 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
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