Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 33
Addition et soustraction de nombres relatifs
Je sais additionner et soustraire des nombres relatifs et calculer une suite d'additions et de soustractions de relatifs.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Additionner deux nombres relatifs de même signe ou de signes contraires
- Transformer une soustraction en addition de l'opposé
- Calculer une suite d'additions et de soustractions de relatifs
- Résoudre un problème concret (températures, étages, argent)
Avant de commencer : Les nombres relatifs : signe, distance à zéro, opposé, comparaison (leçon précédente).
1Je découvre
Ibrahima tient une petite boutique de quartier à Nzérékoré. Chaque soir, il note dans son cahier ce qu'il a gagné ou perdu dans la journée : un gain s'écrit avec un nombre positif, une perte avec un nombre négatif.
Lundi, il a gagné 15 000 GNF : il écrit +15 000. Mardi, un sac de riz s'est déchiré sous la pluie et il a perdu 20 000 GNF : il écrit -20 000. Mercredi, il a gagné 8 000 GNF : +8 000.
Sa fille Aïssatou veut connaître le bilan des trois jours. Elle raisonne : « Lundi et mercredi, papa a gagné 23 000 GNF en tout. Mardi, il en a perdu 20 000. Il lui reste donc un gain de 3 000 GNF. » Elle vient de calculer (+15 000) + (-20 000) + (+8 000) sans le savoir.
Comment additionner et soustraire des nombres relatifs, qu'ils soient positifs ou négatifs, sans se tromper de signe ?
2Je comprends
1. L'idée : des gains et des pertes
Pour additionner des relatifs, on peut toujours penser à de l'argent : un nombre positif est un gain, un nombre négatif est une perte.
- Gagner 7, puis gagner 5 : on a gagné 12. Donc (+7) + (+5) = +12.
- Perdre 4, puis perdre 9 : on a perdu 13. Donc (-4) + (-9) = -13.
- Gagner 8, puis perdre 11 : on a perdu 3. Donc (+8) + (-11) = -3.
- Perdre 6, puis gagner 10 : on a gagné 4. Donc (-6) + (+10) = +4.
On peut aussi se déplacer sur une droite graduée : ajouter un positif, c'est avancer vers la droite ; ajouter un négatif, c'est reculer vers la gauche.
2. Addition de deux nombres de même signe
Règle. Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
- on garde le signe commun ;
- on additionne les distances à zéro.
Exemples : (+7) + (+5) = +12 ; (-4) + (-9) = -(4 + 9) = -13 ; (-2,5) + (-1,3) = -3,8.
3. Addition de deux nombres de signes contraires
Règle. Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
- on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro ;
- on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Exemple
Calculer (+8) + (−11).
Les signes sont contraires. Distances à zéro : 8 et 11.
La plus grande distance est 11, celle de −11 : le résultat est négatif.
Différence des distances : 11 − 8 = 3.
(+8) + (−11) = −3.
Exemple
Calculer (−6,5) + (+10).
Signes contraires. Distances : 6,5 et 10. La plus grande est 10, celle de +10 : le résultat est positif.
10 − 6,5 = 3,5.
(−6,5) + (+10) = +3,5.
Cas particulier : la somme de deux nombres opposés est nulle. (+9) + (-9) = 0 : gagner 9 puis perdre 9, c'est revenir au point de départ.
Zéro ne change rien : (-5) + 0 = -5.
4. La soustraction
Règle. Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé.
a - b = a + (opposé de b)
On transforme donc toujours une soustraction en addition, puis on applique les règles précédentes.
Exemple
Calculer : a) (+5) − (+9) ; b) (−3) − (−8) ; c) (−4) − (+6).
a) (+5) − (+9) = (+5) + (−9) = −4.
b) (−3) − (−8) = (−3) + (+8) = +5.
c) (−4) − (+6) = (−4) + (−6) = −10.
Le cas b) étonne souvent. Pense à une dette : si on te retire une dette de 8 000 GNF alors que tu en avais une de 3 000, ta situation s'améliore de 8 000 : tu passes à +5 000.
Méthode
Pour calculer une différence de deux relatifs :
- Je remplace le signe « − » de l'opération par « + ».
- Je remplace le nombre qui suit par son opposé.
- J'applique la règle d'addition : même signe (j'ajoute les distances) ou signes contraires (je soustrais les distances et je prends le signe de la plus grande distance).
- Je vérifie avec une situation concrète (argent, température) si le résultat est logique.
5. Suite d'additions et de soustractions
Pour calculer une expression comme A = (+7) + (-12) + (+5) + (-3), on peut :
- calculer de gauche à droite ;
- ou, plus rapide, regrouper les positifs d'un côté et les négatifs de l'autre (l'ordre des termes d'une somme ne change pas le résultat).
Exemple
Calculer A = (+7) + (−12) + (+5) + (−3).
Positifs : (+7) + (+5) = +12.
Négatifs : (−12) + (−3) = −15.
A = (+12) + (−15) = −3.
Vérification de gauche à droite : 7 − 12 = −5 ; −5 + 5 = 0 ; 0 − 3 = −3.
S'il y a des soustractions, on commence par les transformer toutes en additions :
B = (+8) - (-5) + (-11) - (+4) = (+8) + (+5) + (-11) + (-4)
Positifs : +13 ; négatifs : -15 ; donc B = -2.
En 9e, tu apprendras à écrire ces calculs plus simplement, sans toutes ces parenthèses (la « somme algébrique »).
- Même signe : je garde le signe, j'ajoute les distances
- Signes contraires : signe de la plus grande distance, je soustrais les distances
- Nombres opposés : la somme est nulle
- Soustraction : j'ajoute l'opposé
- (−4) + (−9) = −13
- (+8) + (−11) = −3
- (+9) + (−9) = 0
- (−3) − (−8) = (−3) + (+8) = +5
3Je retiens
Je retiens
Même signe : on garde le signe et on additionne les distances à zéro. (−4) + (−9) = −13.
Signes contraires : on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances. (+8) + (−11) = −3.
La somme de deux nombres opposés est nulle : (+9) + (−9) = 0.
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : a − b = a + (opposé de b).
Pour une longue somme : on regroupe les positifs, puis les négatifs, puis on additionne les deux résultats.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les distances quand les signes sont contraires : (+8) + (−11) ne fait pas −19 mais −3.
- Oublier de changer le nombre en son opposé dans une soustraction : (−3) − (−8) = (−3) + (+8) = +5, et non −11.
- Prendre le signe du premier nombre au lieu de celui qui a la plus grande distance à zéro : (+2) + (−7) = −5, et non +5.
- Transformer le signe de l'opération sans changer le nombre : (+5) − (+9) devient (+5) + (−9), pas (+5) + (+9).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) (+9) + (+6)
b) (-8) + (-7)
c) (+4) + (-10)
d) (-13) + (+20)
e) (-5) + (+5)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Même signe : (+9) + (+6) = +15.
b) Même signe : (-8) + (-7) = -15.
c) Signes contraires, la plus grande distance est 10 (négatif) : (+4) + (-10) = -(10 - 4) = -6.
d) Signes contraires, la plus grande distance est 20 (positif) : (-13) + (+20) = +7.
e) Nombres opposés : (-5) + (+5) = 0.
2Exercice 2
Transforme chaque soustraction en addition, puis calcule.
a) (+6) - (+11)
b) (-4) - (+9)
c) (+3) - (-8)
d) (-12) - (-5)
e) 0 - (-6)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (+6) - (+11) = (+6) + (-11) = -5.
b) (-4) - (+9) = (-4) + (-9) = -13.
c) (+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11.
d) (-12) - (-5) = (-12) + (+5) = -7.
e) 0 - (-6) = 0 + (+6) = +6.
3Exercice 3
Calcule en regroupant les positifs et les négatifs.
a) B = (-6) + (+14) + (-9) + (+3) + (-2)
b) C = (+8) - (-5) + (-11) - (+4)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Positifs : (+14) + (+3) = +17. Négatifs : (-6) + (-9) + (-2) = -17. Donc B = (+17) + (-17) = 0.
b) C = (+8) + (+5) + (-11) + (-4). Positifs : +13. Négatifs : -15. Donc C = (+13) + (-15) = -2.
4Exercice 4
(Problème) La température d'une chambre froide à poissons de Kamsar est de -18 °C. Pendant une coupure de courant, elle monte de 7 °C. Quand le courant revient, elle baisse de 4 °C.
a) Écris le calcul avec des nombres relatifs.
b) Quelle est la température finale ?
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a) Monter de 7 °C, c'est ajouter +7 ; baisser de 4 °C, c'est ajouter -4 :
(-18) + (+7) + (-4).
b) (-18) + (+7) = -11, puis (-11) + (-4) = -15. La température finale est -15 °C.
5Exercice 5
(Problème) Mariama entre dans l'ascenseur d'un immeuble au 3e étage. Elle descend de 5 étages, puis remonte de 7 étages.
a) À quel étage arrive-t-elle après la descente ? Que représente cet étage ?
b) À quel étage arrive-t-elle à la fin ?
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a) (+3) + (-5) = -2. Elle arrive à l'étage -2, c'est-à-dire au deuxième sous-sol.
b) (-2) + (+7) = +5. Elle arrive au 5e étage.
6Exercice 6
(Synthèse) Trouve le nombre manquant.
a) (+7) + … = (-2)
b) … + (-6) = (-1)
c) (-5) - … = (+3)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Pour passer de +7 à -2, il faut reculer de 9 : (+7) + (-9) = -2. Le nombre manquant est -9.
b) (+5) + (-6) = -1. Le nombre manquant est +5.
c) (-5) - (-8) = (-5) + (+8) = +3. Le nombre manquant est -8.
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6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
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