Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 33
Comparer des fractions
Je sais comparer deux fractions et ranger plusieurs fractions dans l'ordre, en les réduisant si nécessaire au même dénominateur.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comparer deux fractions de même dénominateur ou de même numérateur
- Comparer une fraction à 1
- Réduire deux fractions au même dénominateur pour les comparer
- Ranger plusieurs fractions dans l'ordre croissant ou décroissant
Avant de commencer : Les fractions égales et la simplification (leçon précédente), les multiples d'un nombre.
1Je découvre
Dans un village près de Pita, deux cultivateurs, Alpha et Ibrahima, ont commencé les semis de fonio. Au marché hebdomadaire, ils discutent.
Alpha : « J'ai déjà semé les 23 de mon champ. »
Ibrahima : « Moi, j'ai semé les 35 du mien. Je suis sûrement en avance, puisque 3 est plus grand que 2 ! »
Le vieux Thierno, qui les écoute, secoue la tête : « Ce n'est pas si simple. Toi, Alpha, tu as partagé ton champ en 3 ; toi, Ibrahima, en 5. Les parts ne sont pas de la même taille. Comment comparer ? »
Les deux champs ont la même superficie. Pour savoir qui a semé la plus grande part, il faut comparer 23 et 35. Mais regarder seulement les numérateurs ne suffit pas.
Comment comparer deux fractions, même quand leurs dénominateurs sont différents ?
2Je comprends
1. Même dénominateur
Quand deux fractions ont le même dénominateur, les parts ont la même taille : il suffit de compter combien on en prend.
Règle. Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
57 > 37 car 5 > 3.
2. Même numérateur
Quand deux fractions ont le même numérateur, on prend le même nombre de parts, mais les parts n'ont pas la même taille : plus on partage l'unité en un grand nombre de parts, plus chaque part est petite.
Règle. Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
49 > 411 car 9 < 11.
Pense à un pain partagé entre 9 amis ou entre 11 amis : chacun en a davantage quand on est 9.
3. Comparer une fraction à 1
- ab < 1 si a < b ; ab = 1 si a = b ; ab > 1 si a > b.
Cela permet parfois de comparer très vite : 76 > 910, car 76 est plus grand que 1 et 910 est plus petit que 1.
4. Dénominateurs différents : réduire au même dénominateur
Dans le cas général, on transforme les deux fractions en fractions égales qui ont le même dénominateur. On dit qu'on les réduit au même dénominateur. Ce dénominateur commun doit être un multiple commun des deux dénominateurs ; on choisit de préférence le plus petit.
- Si un dénominateur est multiple de l'autre, on le prend : pour 34 et 58, on prend 8.
- Sinon, on cherche le plus petit multiple commun ; à défaut, le produit des deux dénominateurs marche toujours.
Exemple
Qui a semé la plus grande part de son champ : Alpha (2/3) ou Ibrahima (3/5) ?
Les dénominateurs 3 et 5 n'ont pas de multiple commun plus petit que 15 = 3 × 5.
2/3 = (2 × 5)/(3 × 5) = 10/15.
3/5 = (3 × 3)/(5 × 3) = 9/15.
10/15 > 9/15, donc 2/3 > 3/5.
C'est Alpha qui a semé la plus grande part de son champ, même si son numérateur est plus petit.
Exemple
Comparer 5/6 et 7/9.
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24… Multiples de 9 : 9, 18, 27… Le plus petit multiple commun est 18.
5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18.
7/9 = (7 × 2)/(9 × 2) = 14/18.
15/18 > 14/18, donc 5/6 > 7/9.
Méthode
Pour comparer deux fractions :
- Je regarde si elles ont le même dénominateur (je compare les numérateurs) ou le même numérateur (la plus grande a le plus petit dénominateur).
- Je regarde si l'une est plus grande que 1 et l'autre plus petite que 1.
- Sinon, je cherche un dénominateur commun (le plus petit multiple commun des deux dénominateurs).
- J'écris chaque fraction avec ce dénominateur en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
- Je compare les numérateurs et je conclus avec les fractions de départ.
5. Ranger plusieurs fractions
Pour ranger plusieurs fractions, on les réduit toutes au même dénominateur, puis on range les numérateurs.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : 1/2 ; 3/4 ; 5/8 ; 7/16.
16 est un multiple de 2, de 4 et de 8 : on prend 16.
1/2 = 8/16 ; 3/4 = 12/16 ; 5/8 = 10/16 ; 7/16 reste 7/16.
7 < 8 < 10 < 12, donc 7/16 < 1/2 < 5/8 < 3/4.
6. Comparer grâce à l'écriture décimale
On peut aussi calculer l'écriture décimale de chaque fraction : 23 ≈ 0,67 et 35 = 0,6, donc 23 > 35. Cette méthode est pratique avec une calculatrice, mais attention aux valeurs arrondies quand deux fractions sont très proches : la méthode du dénominateur commun est toujours exacte.
| Situation | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| même dénominateur | plus grand numérateur → plus grande fraction | 57 > 37 |
| même numérateur | plus petit dénominateur → plus grande fraction | 49 > 411 |
| l'une > 1, l'autre < 1 | celle qui dépasse 1 est la plus grande | 76 > 910 |
| cas général | même dénominateur, puis comparer | 23 = 1015 > 915 = 35 |
3Je retiens
Je retiens
Même dénominateur : la plus grande fraction a le plus grand numérateur.
Même numérateur : la plus grande fraction a le plus petit dénominateur.
Une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur est plus grande que 1.
Cas général : on réduit au même dénominateur (un multiple commun des dénominateurs), puis on compare les numérateurs.
Pour ranger plusieurs fractions : un seul dénominateur commun pour toutes.
4Erreurs fréquentes
- Comparer seulement les numérateurs quand les dénominateurs sont différents : 3/5 n'est pas plus grand que 2/3.
- Croire que la fraction au plus grand dénominateur est la plus grande : 1/10 est plus petit que 1/3.
- Multiplier seulement le dénominateur pour réduire au même dénominateur : 2/3 = 10/15 (et non 2/15). Il faut multiplier le numérateur par le même nombre.
- Conclure avec les fractions transformées et oublier de revenir aux fractions de départ dans la phrase réponse.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Compare, sans calcul, en utilisant <, > ou =.
a) 411 … 911
b) 78 … 75
c) 1312 … 1112
d) 66 … 1515
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a) Même dénominateur : 4 < 9, donc 411 < 911.
b) Même numérateur : le plus petit dénominateur est 5, donc 78 < 75.
c) Même dénominateur : 1312 > 1112.
d) Les deux fractions valent 1 : 66 = 1515.
2Exercice 2
Compare chaque fraction à 1, puis compare les deux fractions.
a) 89 et 107
b) 2524 et 1920
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a) 89 < 1 (car 8 < 9) et 107 > 1 (car 10 > 7). Donc 89 < 107.
b) 2524 > 1 et 1920 < 1. Donc 2524 > 1920.
3Exercice 3
Réduis au même dénominateur, puis compare.
a) 34 et 58
b) 710 et 23
c) 512 et 38
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a) 8 est un multiple de 4 : 34 = 68. Or 68 > 58, donc 34 > 58.
b) Dénominateur commun 30 : 710 = 2130 et 23 = 2030. Donc 710 > 23.
c) Multiples de 12 : 12, 24… ; 24 est aussi un multiple de 8. 512 = 1024 et 38 = 924. Donc 512 > 38.
4Exercice 4
Range dans l'ordre croissant : 23 ; 56 ; 712 ; 34.
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Dénominateur commun 12 : 23 = 812 ; 56 = 1012 ; 712 ; 34 = 912.
7 < 8 < 9 < 10, donc 712 < 23 < 34 < 56.
5Exercice 5
(Problème) Trois élèves d'un collège de Kissidougou lisent le même roman. Fanta en a lu les 34, Sékou les 56 et Hawa les 23.
a) Qui a lu la plus grande partie du livre ?
b) Qui en a lu le moins ?
c) Le livre a 240 pages. Combien de pages Fanta a-t-elle lues ? (Aide : 14 de 240, c'est 240 ÷ 4.)
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a) et b) Dénominateur commun 12 : Fanta 34 = 912 ; Sékou 56 = 1012 ; Hawa 23 = 812.
812 < 912 < 1012 : Sékou a lu la plus grande partie, Hawa la plus petite.
c) 14 de 240 pages, c'est 240 ÷ 4 = 60 pages ; 34, c'est 3 × 60 = 180 pages.
6Exercice 6
(Recherche)
a) Écris 13 et 12 avec le dénominateur 12, puis trouve une fraction de dénominateur 12 comprise entre les deux.
b) Écris-les avec le dénominateur 24 et trouve trois fractions de dénominateur 24 comprises entre 13 et 12.
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a) 13 = 412 et 12 = 612. La fraction 512 est comprise entre les deux.
b) 13 = 824 et 12 = 1224. Les fractions 924, 1024 et 1124 sont comprises entre les deux.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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