Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 33
Addition et soustraction de fractions
Je sais additionner et soustraire des fractions, en les réduisant au même dénominateur si nécessaire, et donner le résultat sous forme irréductible.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur
- Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs différents
- Ajouter ou retrancher un nombre entier et une fraction
- Résoudre un problème de partage avec des fractions
Avant de commencer : Fractions égales, simplification (leçon 6) et réduction au même dénominateur (leçon 7).
1Je découvre
Lansana cultive un champ à Guéckédou, en Guinée forestière. Cette année, il décide de planter du riz sur les 25 du champ et du manioc sur le 14. Sur le reste, il mettra des plants de café.
Son fils Ousmane, en 8e, veut calculer la part du champ réservée au café. Il commence par additionner le riz et le manioc. Il écrit vite :
25 + 14 = 39
Puis il s'arrête : « Bizarre… 39, c'est un tiers. Or le riz seul fait déjà 25, c'est-à-dire 0,4, plus qu'un tiers ! Mon résultat est plus petit qu'un des deux morceaux. » Il a raison de douter : additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ne marche pas.
Comment additionner ou soustraire correctement deux fractions, et quelle part du champ reste pour le café ?
2Je comprends
1. Fractions de même dénominateur
Quand les fractions ont le même dénominateur, les parts ont la même taille : on compte simplement les parts.
Règle. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
ad + bd = a + bd et ad - bd = a - bd
Exemples : 27 + 37 = 57 ; 910 - 310 = 610 = 35.
Deux septièmes plus trois septièmes font cinq septièmes, comme deux pagnes plus trois pagnes font cinq pagnes : le dénominateur est « l'unité de compte », il ne s'additionne pas.
On simplifie toujours le résultat quand c'est possible.
2. Un dénominateur est multiple de l'autre
On transforme la fraction qui a le plus petit dénominateur.
Exemple
Calculer 5/6 − 1/3.
6 est un multiple de 3 (6 = 3 × 2) : on écrit 1/3 avec le dénominateur 6.
1/3 = (1 × 2)/(3 × 2) = 2/6.
5/6 − 2/6 = 3/6.
On simplifie par 3 : 3/6 = 1/2.
3. Cas général : dénominateurs différents
On réduit d'abord les fractions au même dénominateur (le plus petit multiple commun, ou le produit des dénominateurs), puis on applique la règle du paragraphe 1.
Exemple
Retour au champ de Lansana : calculer 2/5 + 1/4.
Dénominateur commun : 20 (multiple de 5 et de 4).
2/5 = (2 × 4)/(5 × 4) = 8/20 et 1/4 = (1 × 5)/(4 × 5) = 5/20.
2/5 + 1/4 = 8/20 + 5/20 = 13/20.
Riz et manioc occupent les 13/20 du champ.
Le champ entier, c'est 1 = 20/20. Part du café : 20/20 − 13/20 = 7/20.
Vérification avec les écritures décimales : 25 = 0,4, 14 = 0,25 ; 0,4 + 0,25 = 0,65 et 1320 = 0,65. Le café occupe donc 1 - 0,65 = 0,35 = 720 du champ.
Exemple
Calculer 7/8 − 1/6.
Multiples de 8 : 8, 16, 24… ; 24 est aussi un multiple de 6. Dénominateur commun : 24.
7/8 = 21/24 et 1/6 = 4/24.
7/8 − 1/6 = 21/24 − 4/24 = 17/24.
17 est premier et ne divise pas 24 : 17/24 est irréductible.
4. Un entier et une fraction
Un nombre entier peut s'écrire comme une fraction de n'importe quel dénominateur : 1 = 55, 2 = 105, 3 = 124.
Exemple
Calculer 2 + 3/5 et 3 − 5/4.
2 = 10/5, donc 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5.
3 = 12/4, donc 3 − 5/4 = 12/4 − 5/4 = 7/4.
5. Plusieurs fractions à la suite
Pour une suite d'additions et de soustractions, on choisit un seul dénominateur commun à toutes les fractions, puis on calcule de gauche à droite.
56 - 14 - 13 = 1012 - 312 - 412 = 312 = 14
Méthode
Pour additionner ou soustraire des fractions :
- Je regarde les dénominateurs : s'ils sont égaux, je passe à l'étape 3.
- Sinon, je choisis un dénominateur commun (le plus petit multiple commun) et j'écris chaque fraction avec ce dénominateur, en multipliant son numérateur ET son dénominateur par le même nombre.
- J'additionne ou je soustrais les numérateurs, et je garde le dénominateur commun.
- Je simplifie le résultat pour obtenir une fraction irréductible.
- Je contrôle l'ordre de grandeur (par exemple avec les écritures décimales).
3Je retiens
Je retiens
Même dénominateur : a/d + b/d = (a + b)/d et a/d − b/d = (a − b)/d.
Dénominateurs différents : on réduit d'abord au même dénominateur.
On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux.
Un entier s'écrit comme une fraction : 1 = d/d, 2 = 2d/d…
On donne le résultat sous forme irréductible.
Une part « du reste » se calcule par 1 − (somme des autres parts).
4Erreurs fréquentes
- Additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 2/5 + 1/4 n'est pas 3/9, mais 13/20.
- Changer le dénominateur sans changer le numérateur : 1/4 = 5/20 et non 1/20.
- Oublier de simplifier : 9/10 − 3/10 = 6/10 = 3/5.
- Mal écrire un entier en fraction : 3 = 12/4 (et non 3/4).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et simplifie si possible.
a) 311 + 511
b) 910 - 310
c) 58 + 78
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 311 + 511 = 811.
b) 910 - 310 = 610 = 35.
c) 58 + 78 = 128 = 32 (on simplifie par 4).
2Exercice 2
Calcule (un dénominateur est multiple de l'autre).
a) 12 + 38
b) 56 - 23
c) 712 + 14
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 12 = 48, donc 48 + 38 = 78.
b) 23 = 46, donc 56 - 46 = 16.
c) 14 = 312, donc 712 + 312 = 1012 = 56.
3Exercice 3
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
a) 23 + 14
b) 45 - 13
c) 56 + 34
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dénominateur 12 : 812 + 312 = 1112.
b) Dénominateur 15 : 1215 - 515 = 715.
c) Dénominateur 12 : 1012 + 912 = 1912.
4Exercice 4
Calcule.
a) 3 - 54
b) 1 + 29 - 13
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 = 124, donc 3 - 54 = 124 - 54 = 74.
b) Dénominateur 9 : 1 = 99 et 13 = 39. Donc 99 + 29 - 39 = 89.
5Exercice 5
(Problème) Hawa a un fût d'eau rempli aux 56. Elle utilise 14 du fût pour la cuisine et 13 du fût pour la lessive.
a) Quelle fraction du fût a-t-elle utilisée en tout ?
b) Quelle fraction du fût reste remplie d'eau ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dénominateur 12 : 14 + 13 = 312 + 412 = 712 du fût.
b) 56 - 712 = 1012 - 712 = 312 = 14. Il reste un quart du fût rempli d'eau.
6Exercice 6
(Problème) Mariama reçoit son argent de poche pour le mois. Elle en dépense 13 pour le transport et 15 pour ses fournitures ; elle met le reste dans sa tirelire.
a) Quelle fraction de son argent de poche a-t-elle dépensée ?
b) Quelle fraction met-elle dans sa tirelire ?
c) Elle a reçu 60 000 GNF. Combien d'argent met-elle dans sa tirelire ? (Aide : 115 de 60 000, c'est 60 000 ÷ 15.)
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a) Dénominateur 15 : 13 + 15 = 515 + 315 = 815 de son argent de poche.
b) 1 - 815 = 1515 - 815 = 715 va dans la tirelire.
c) 115 de 60 000 GNF, c'est 60 000 ÷ 15 = 4 000 GNF ; 715, c'est 7 × 4 000 = 28 000 GNF.
Vérification : transport 5 × 4 000 = 20 000 GNF ; fournitures 3 × 4 000 = 12 000 GNF ; 20 000 + 12 000 + 28 000 = 60 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
