Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 33
Puissances d'un nombre (exposant entier positif)
Je sais écrire un produit de facteurs égaux sous forme de puissance, calculer une puissance et l'utiliser dans un calcul en respectant les priorités.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comprendre et utiliser la notation puissance (base, exposant)
- Calculer des carrés, des cubes et d'autres puissances
- Respecter les priorités de calcul avec des puissances
- Utiliser la règle du produit de deux puissances d'un même nombre
Avant de commencer : Les priorités dans les calculs (leçon 1), la multiplication des entiers et des décimaux, l'aire du carré et le volume du cube (7e).
1Je découvre
Un lundi matin, à Dabola, Fatoumata apprend une bonne nouvelle : son école organise une grande fête. Le jour même, elle l'annonce à 3 amies. Le mardi, chacune de ces 3 amies l'annonce à 3 nouvelles personnes. Le mercredi, chaque nouvelle personne prévient encore 3 personnes, et ainsi de suite.
Fatoumata fait le compte des personnes nouvellement prévenues :
- lundi : 3 ;
- mardi : 3 × 3 = 9 ;
- mercredi : 3 × 3 × 3 = 27 ;
- jeudi : 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
« Si ça continue deux semaines, je vais devoir écrire 3 × 3 × 3 × … quatorze fois ! C'est long et on risque d'oublier un facteur. »
Son professeur lui montre une écriture plus courte : 3 × 3 × 3 × 3 = 34, qui se lit « 3 puissance 4 ».
Comment écrire et calculer rapidement un produit de facteurs tous égaux ?
2Je comprends
1. Définition
Soit a un nombre et n un nombre entier supérieur ou égal à 2. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note an :
an = underbracea × a × ⋯ × an facteurs
- a s'appelle la base ;
- n s'appelle l'exposant : il indique le nombre de facteurs ;
- an se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
Par convention, a1 = a (un seul facteur).
Exemples : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 53 = 5 × 5 × 5 = 125 ; 104 = 10 000.
2. Carré et cube
Deux puissances ont un nom spécial, qui vient de la géométrie :
- a2 se lit « a au carré » : c'est l'aire d'un carré de côté a ;
- a3 se lit « a au cube » : c'est le volume d'un cube d'arête a.
Un carré de 7 m de côté a une aire de 72 = 49 m². Un cube de 4 cm d'arête a un volume de 43 = 64 cm³.
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| a3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1 000 |
Il est très utile de connaître par cœur les carrés de 1 à 12 (112 = 121, 122 = 144) et les cubes de 1 à 5.
3. Cas particuliers et nombres décimaux
- 1n = 1 : 1 × 1 × 1 × … = 1.
- 0n = 0 (pour n ≥ 1).
- Avec un décimal : 1,52 = 1,5 × 1,5 = 2,25 ; 0,23 = 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008.
Attention : an n'est pas a × n. Par exemple, 25 = 32 alors que 2 × 5 = 10.
Exemple
Calculer 3⁴, 2⁶ et 0,5².
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81.
2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64.
0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25.
4. Puissances et priorités de calcul
Les puissances sont prioritaires sur les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions. Mais les parenthèses restent prioritaires sur tout.
L'ordre complet est donc :
- les calculs entre parenthèses ;
- les puissances ;
- les multiplications et divisions (de gauche à droite) ;
- les additions et soustractions (de gauche à droite).
Exemple
Calculer A = 2 + 3 × 4² et B = (2 + 3) × 4².
A : la puissance d'abord : 4² = 16.
A = 2 + 3 × 16 = 2 + 48 = 50.
B : la parenthèse d'abord : 2 + 3 = 5 ; puis la puissance : 4² = 16.
B = 5 × 16 = 80.
Exemple
Comparer (2 + 3)² et 2² + 3².
(2 + 3)² = 5² = 25.
2² + 3² = 4 + 9 = 13.
Les deux résultats sont différents : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
Attention aussi : dans 5 × 23, seul le 2 est à la puissance 3 : 5 × 23 = 5 × 8 = 40, et non 103 = 1 000.
5. Produit de deux puissances d'un même nombre
Regarde : 23 × 24 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2). On a en tout 3 + 4 = 7 facteurs égaux à 2, donc 23 × 24 = 27.
Règle. Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on garde la base et on additionne les exposants :
am × an = am + n
Vérification : 23 × 24 = 8 × 16 = 128 et 27 = 128.
Cette règle ne marche que si les bases sont égales : 23 × 52 ne se simplifie pas en une seule puissance.
Méthode
Pour calculer une expression avec des puissances :
- J'effectue les calculs entre parenthèses.
- Je calcule chaque puissance en écrivant le produit des facteurs (je compte bien : l'exposant est le nombre de facteurs).
- J'effectue les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.
- Pour un produit de puissances d'un même nombre, j'additionne les exposants.
- Je vérifie que je n'ai pas multiplié la base par l'exposant.
Retour à Fatoumata : le 14e jour, le nombre de personnes nouvellement prévenues serait 314, qui vaut 4 782 969. En réalité, la nouvelle aurait déjà fait le tour de la ville bien avant, car chacun connaîtrait déjà la nouvelle !
3Je retiens
Je retiens
a^n = a × a × … × a (n facteurs) ; a est la base, n l'exposant. a¹ = a.
a² se lit « a au carré » (aire d'un carré) ; a³ « a au cube » (volume d'un cube).
1^n = 1 et 0^n = 0.
a^n n'est pas a × n : 2⁵ = 32 et non 10.
Priorités : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions.
a^m × a^n = a^(m+n) (même base seulement).
4Erreurs fréquentes
- Multiplier la base par l'exposant : 3⁴ n'est pas 12, c'est 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
- Appliquer la puissance à tout ce qui précède : 5 × 2³ = 5 × 8 = 40, et non 10³.
- Croire que (a + b)² = a² + b² : (2 + 3)² = 25 alors que 2² + 3² = 13.
- Additionner les exposants de bases différentes : 2³ × 3² n'est pas 6⁵. On calcule 8 × 9 = 72.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris sous la forme d'une puissance.
a) 7 × 7 × 7
b) 4 × 4 × 4 × 4 × 4
c) 2,5 × 2,5
d) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 73 ; b) 45 ; c) 2,52 ; d) 106.
2Exercice 2
Calcule.
a) 26 ; b) 33 ; c) 62 ; d) 19 ; e) 05 ; f) 0,32 ; g) 112 ; h) 43
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 26 = 64 ; b) 33 = 27 ; c) 62 = 36 ; d) 19 = 1 ; e) 05 = 0 ; f) 0,32 = 0,09 ; g) 112 = 121 ; h) 43 = 64.
3Exercice 3
Calcule en respectant les priorités.
a) A = 3 × 24
b) B = 52 - 42
c) C = (5 - 4)2
d) D = 2 + 32 × 2
e) E = (2 + 3)2 × 2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A = 3 × 16 = 48.
b) B = 25 - 16 = 9.
c) C = 12 = 1.
d) D = 2 + 9 × 2 = 2 + 18 = 20.
e) E = 52 × 2 = 25 × 2 = 50.
4Exercice 4
Écris sous la forme d'une seule puissance, puis calcule.
a) 23 × 24
b) 52 × 5
c) 3 × 32 × 3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 23 × 24 = 23 + 4 = 27 = 128.
b) 52 × 5 = 52 × 51 = 53 = 125.
c) 31 × 32 × 31 = 31 + 2 + 1 = 34 = 81.
5Exercice 5
(Problème) Une citerne a la forme d'un cube de 3 m d'arête. On rappelle que 1 m³ = 1 000 litres.
a) Calcule le volume de la citerne en m³.
b) Combien de litres d'eau peut-elle contenir ?
c) Le sol d'une cour carrée a pour côté 12 m. Calcule son aire.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) V = 33 = 27 m³.
b) 27 × 1 000 = 27 000 litres.
c) A = 122 = 144 m².
6Exercice 6
(Problème) Une maladie des plantes se répand dans une plantation de manguiers : chaque jour, le nombre d'arbres touchés double. Le premier jour, 2 arbres sont touchés ; le deuxième jour, 4 ; le troisième jour, 8.
a) Écris le nombre d'arbres touchés le 3e jour sous forme de puissance de 2.
b) Combien d'arbres seront touchés le 6e jour si rien n'est fait ?
c) La plantation compte 1 000 arbres. Le 10e jour, le nombre d'arbres touchés dépasserait-il ce nombre ? Justifie avec un calcul.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le 3e jour : 8 = 2 × 2 × 2 = 23. Le n-ième jour, il y a 2n arbres touchés.
b) Le 6e jour : 26 = 64 arbres.
c) Le 10e jour : 210 = 26 × 24 = 64 × 16 = 1 024 arbres. Comme 1 024 > 1 000, le nombre d'arbres touchés dépasserait le nombre d'arbres de la plantation : le 9e jour, on aurait 29 = 512 arbres touchés, et le 10e jour, toute la plantation serait malade. Il faut agir vite !
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
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