Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 33
Produit d'une fraction par un nombre
Je sais multiplier une fraction par un nombre et calculer une fraction d'une quantité (prendre les trois quarts d'une somme, d'une longueur, d'un effectif).
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Multiplier une fraction par un nombre entier ou décimal
- Calculer une fraction d'une quantité de trois façons
- Choisir la méthode la plus simple selon les nombres
- Résoudre des problèmes de partage, de réduction et de proportion
Avant de commencer : Les fractions, les fractions égales et la simplification (leçons 6 à 8), la multiplication et la division des décimaux.
1Je découvre
Au marché de Madina, Kadiatou vend des pagnes. Un client veut acheter un pagne à 80 000 GNF, mais il n'a que les 34 de cette somme. Kadiatou se demande combien d'argent il a exactement.
Sa sœur Fatoumata propose : « Partage 80 000 en 4 parts égales : cela fait 20 000 GNF par part. Il a 3 parts, donc 60 000 GNF. » Kadiatou, elle, préfère calculer autrement : « 80 000 × 3 = 240 000, puis je divise par 4 : 60 000 GNF. » Leur petit frère Mamadou, qui aime la calculatrice, tape 0,75 × 80 000 et trouve aussi 60 000.
Trois méthodes, un seul résultat. Prendre les 34 d'une quantité, c'est donc multiplier cette quantité par la fraction 34.
Comment calculer le produit d'une fraction par un nombre, et comment choisir la méthode la plus rapide ?
2Je comprends
1. Produit d'un nombre entier par une fraction
On sait que 3 × 5 = 5 + 5 + 5. De la même façon :
3 × 27 = 27 + 27 + 27 = 2 + 2 + 27 = 67 = 3 × 27.
Règle. Pour multiplier une fraction par un nombre, on multiplie le numérateur par ce nombre et on garde le dénominateur.
k × ab = k × ab et ab × k = a × kb.
On simplifie ensuite si c'est possible.
Exemple
Calculer : a) 4 × 2/9 ; b) 3/7 × 14 ; c) 5 × 3/10.
a) 4 × 2/9 = (4 × 2)/9 = 8/9.
b) 3/7 × 14 = (3 × 14)/7 = 42/7 = 6.
c) 5 × 3/10 = 15/10 = 3/2 (on simplifie par 5), soit 1,5.
2. Prendre une fraction d'une quantité
Prendre les ab d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par ab. Le mot « de » se traduit par une multiplication.
ab de Q = ab × Q
Il y a trois façons de calculer ab × Q ; elles donnent toujours le même résultat.
| Méthode | Calcul | Exemple : 34 de 80 000 |
|---|---|---|
| 1. diviser d'abord | (Q ÷ b) × a | 80 000 ÷ 4 = 20 000 ; 20 000 × 3 = 60 000 |
| 2. multiplier d'abord | (Q × a) ÷ b | 80 000 × 3 = 240 000 ; 240 000 ÷ 4 = 60 000 |
| 3. écriture décimale | (a ÷ b) × Q | 34 = 0,75 ; 0,75 × 80 000 = 60 000 |
La méthode 1 est la plus pratique quand la quantité est divisible par le dénominateur : les nombres restent petits. La méthode 3 est pratique quand la fraction a une écriture décimale simple (12 = 0,5 ; 14 = 0,25 ; 34 = 0,75 ; 15 = 0,2). Elle est impossible à utiliser exactement avec 13 ou 23.
Exemple
Dans une classe de 45 élèves d'un collège de Mamou, les 3/5 sont des filles. Combien y a-t-il de filles ? de garçons ?
On calcule 3/5 de 45 : 45 ÷ 5 = 9 (une part), puis 9 × 3 = 27.
Il y a 27 filles.
Garçons : 45 − 27 = 18. On peut vérifier : les garçons représentent 2/5 de la classe, et 9 × 2 = 18.
Exemple
Un car doit parcourir 240 km. Il a déjà parcouru les 5/8 du trajet. Quelle distance reste-t-il ?
5/8 de 240 km : 240 ÷ 8 = 30 ; 30 × 5 = 150 km parcourus.
Reste : 240 − 150 = 90 km.
Autre méthode : il reste 1 − 5/8 = 3/8 du trajet, et 3/8 de 240 = 30 × 3 = 90 km.
3. Avec des nombres décimaux
La règle marche aussi avec les quantités décimales :
34 de 2,4 litres = (2,4 ÷ 4) × 3 = 0,6 × 3 = 1,8 litres.
4. Réductions et augmentations
Dans le commerce, on parle souvent de fractions d'un prix.
Exemple
Une chemise coûte 80 000 GNF. Pendant les soldes, le prix baisse de 1/4. Quel est le nouveau prix ?
Réduction : 1/4 de 80 000 = 80 000 ÷ 4 = 20 000 GNF.
Nouveau prix : 80 000 − 20 000 = 60 000 GNF.
On remarque que le nouveau prix est les 3/4 de l'ancien : 3/4 de 80 000 = 60 000 GNF.
5. Résultat plus grand ou plus petit ?
- Si la fraction est plus petite que 1, le résultat est plus petit que la quantité : 34 de 80 000 = 60 000 < 80 000.
- Si la fraction est plus grande que 1, le résultat est plus grand : 32 de 40 = 60 > 40.
C'est un bon moyen de contrôler son résultat.
Méthode
Pour calculer une fraction d'une quantité :
- Je traduis « les a/b de Q » par a/b × Q.
- Si Q est divisible par b, je divise Q par b (une part), puis je multiplie par a (le nombre de parts).
- Sinon, je multiplie Q par a, puis je divise par b ; ou j'utilise l'écriture décimale de la fraction si elle est simple.
- J'écris l'unité (GNF, km, kg, élèves…) et je fais une phrase réponse.
- Je contrôle : si la fraction est plus petite que 1, le résultat doit être plus petit que Q.
En 9e, tu apprendras à multiplier deux fractions entre elles ; la règle que tu viens de voir en est le premier pas.
3Je retiens
Je retiens
k × a/b = (k × a)/b : on multiplie le numérateur, on garde le dénominateur, puis on simplifie.
Prendre les a/b d'une quantité Q, c'est calculer a/b × Q.
Trois méthodes : (Q ÷ b) × a ; (Q × a) ÷ b ; (a ÷ b) × Q.
Si la fraction est inférieure à 1, le résultat est plus petit que la quantité ; si elle est supérieure à 1, il est plus grand.
Baisser un prix de 1/4, c'est payer les 3/4 du prix.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier aussi le dénominateur : 3 × 2/7 = 6/7, et non 6/21 (6/21 = 2/7, on n'aurait rien changé !).
- Diviser par le numérateur au lieu du dénominateur : 3/4 de 80 000, c'est 80 000 ÷ 4 × 3, et non 80 000 ÷ 3 × 4.
- Confondre « prendre les 3/5 » et « enlever les 3/5 » : lis bien l'énoncé et demande-toi si on cherche la part ou ce qui reste.
- Arrondir trop tôt avec 1/3 = 0,33 : 1/3 de 90 = 30 exactement, alors que 0,33 × 90 = 29,7.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et simplifie.
a) 4 × 29
b) 37 × 14
c) 5 × 310
d) 512 × 6
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4 × 29 = 89.
b) 37 × 14 = 427 = 6.
c) 5 × 310 = 1510 = 32.
d) 512 × 6 = 3012 = 52 (on simplifie par 6).
2Exercice 2
Calcule en choisissant la méthode la plus simple.
a) 23 de 45
b) 38 de 64
c) 710 de 250
d) 56 de 3 600
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a) 45 ÷ 3 = 15 ; 15 × 2 = 30.
b) 64 ÷ 8 = 8 ; 8 × 3 = 24.
c) 250 ÷ 10 = 25 ; 25 × 7 = 175.
d) 3 600 ÷ 6 = 600 ; 600 × 5 = 3 000.
3Exercice 3
Un bidon contient 20 litres d'huile de palme. Aïssatou en utilise les 35 pour préparer des repas pour une cérémonie. Combien de litres a-t-elle utilisés ? Combien en reste-t-il ?
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35 de 20 L : 20 ÷ 5 = 4 ; 4 × 3 = 12 L utilisés. Il reste 20 - 12 = 8 L (ce sont les 25 du bidon : 4 × 2 = 8).
4Exercice 4
(Problème) Alpha récolte 1 200 kg de riz. Il vend les 23 de sa récolte, puis il garde le 14 de ce qui reste comme semences pour la saison prochaine. Le reste sert à nourrir sa famille.
a) Combien de kilogrammes vend-il ?
b) Combien garde-t-il pour les semences ?
c) Combien de kilogrammes restent pour la famille ?
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a) 23 de 1 200 : 1 200 ÷ 3 = 400 ; 400 × 2 = 800 kg vendus.
b) Il reste 1 200 - 800 = 400 kg. Semences : 14 de 400 = 400 ÷ 4 = 100 kg.
c) Famille : 400 - 100 = 300 kg.
Vérification : 800 + 100 + 300 = 1 200 kg.
5Exercice 5
(Problème) Un téléviseur coûte 1 500 000 GNF. Le vendeur accorde une réduction de 15 du prix.
a) Calcule le montant de la réduction.
b) Calcule le prix payé de deux manières différentes.
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a) Réduction : 15 de 1 500 000 = 1 500 000 ÷ 5 = 300 000 GNF.
b) Première manière : 1 500 000 - 300 000 = 1 200 000 GNF.
Deuxième manière : on paie les 45 du prix : 300 000 × 4 = 1 200 000 GNF (ou 0,8 × 1 500 000 = 1 200 000).
6Exercice 6
(Synthèse) Sékou a économisé 36 000 GNF. Sa grande sœur Mariama a économisé les 43 de cette somme, et son petit frère Ibrahima les 512.
a) Sans calcul, dis qui a économisé plus que Sékou. Justifie.
b) Calcule les économies de Mariama et d'Ibrahima.
c) Calcule le total des économies des trois enfants.
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a) 43 > 1 (numérateur plus grand que le dénominateur) : Mariama a économisé plus que Sékou. 512 < 1 : Ibrahima a économisé moins.
b) Mariama : 36 000 ÷ 3 = 12 000 ; 12 000 × 4 = 48 000 GNF.
Ibrahima : 36 000 ÷ 12 = 3 000 ; 3 000 × 5 = 15 000 GNF.
c) Total : 36 000 + 48 000 + 15 000 = 99 000 GNF.
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6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
