Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 33
Statistiques : effectifs, fréquences et tableaux
Je sais organiser des données dans un tableau, calculer les effectifs, les effectifs cumulés et les fréquences, et lire un tableau statistique.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire de la statistique (population, individu, caractère, valeur, effectif)
- Dépouiller des données brutes et construire un tableau d'effectifs
- Calculer des fréquences en fraction, en décimal et en pourcentage
- Calculer des effectifs cumulés et regrouper des données en classes
Avant de commencer : Les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages.
1Je découvre
Au collège de Kissidougou, le professeur principal de la 8e A veut savoir comment ses 40 élèves viennent à l'école. Il pose la question à chacun et note les réponses au tableau, dans le désordre : « à pied, moto-taxi, à pied, vélo, à pied, voiture, moto-taxi… »
Au bout de quelques minutes, le tableau est couvert de mots. Kadiatou, la déléguée, lève la main : « Monsieur, on ne voit rien comme ça ! Il faudrait compter combien il y a de chaque réponse. » Sékou ajoute : « Et dire aussi quelle part de la classe vient à pied, pour comparer avec la 8e B, qui a 52 élèves. »
Kadiatou et Sékou viennent d'inventer deux outils de la statistique : l'effectif et la fréquence.
Comment organiser des données dans un tableau pour les lire et les comparer facilement ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire de la statistique
La statistique étudie des données pour les organiser, les résumer et les comparer.
- La population est l'ensemble étudié : ici, les 40 élèves de la 8e A.
- Un individu est un élément de la population : un élève.
- Le caractère est ce que l'on étudie chez chaque individu : le moyen de transport.
- Les modalités ou valeurs sont les réponses possibles : à pied, moto-taxi, vélo, voiture.
Un caractère est :
- qualitatif si ses modalités ne sont pas des nombres (moyen de transport, couleur préférée, région de naissance) ;
- quantitatif si ses valeurs sont des nombres (âge, note, taille, nombre de frères et sœurs).
2. Effectifs et effectif total
L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui ont cette valeur. L'effectif total N est le nombre total d'individus : c'est la somme de tous les effectifs.
Après avoir compté les réponses (on dit dépouiller les données), le professeur obtient :
| Moyen de transport | À pied | Moto-taxi | Vélo | Voiture | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 22 | 10 | 5 | 3 | 40 |
Pour dépouiller sans erreur, on fait une marque (un petit trait) pour chaque réponse dans la bonne colonne, puis on compte les traits. On vérifie à la fin que la somme des effectifs est égale à l'effectif total.
3. Les fréquences
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :
f = effectif de la valeureffectif total.
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage (on multiplie alors par 100). La somme des fréquences vaut toujours 1, soit 100 %.
Exemple
Calculer la fréquence de chaque moyen de transport dans la 8e A.
À pied : 22/40 = 0,55 = 55 %.
Moto-taxi : 10/40 = 0,25 = 25 %.
Vélo : 5/40 = 0,125 = 12,5 %.
Voiture : 3/40 = 0,075 = 7,5 %.
Contrôle : 55 + 25 + 12,5 + 7,5 = 100 %.
La fréquence permet de comparer des populations d'effectifs différents. Si 26 élèves de la 8e B (52 élèves) viennent à pied, leur fréquence est 2652 = 0,5 = 50 \% : la part est plus faible qu'en 8e A (55 %), même si l'effectif (26) est plus grand que 22.
Méthode
Pour construire un tableau statistique complet :
- Je repère la population, le caractère et ses valeurs possibles (rangées dans l'ordre croissant si elles sont numériques).
- Je dépouille les données avec des marques et j'écris les effectifs.
- Je vérifie que la somme des effectifs est égale à l'effectif total N.
- Je calcule chaque fréquence : effectif ÷ N, puis × 100 pour le pourcentage.
- Je vérifie que la somme des fréquences vaut 1 (ou 100 %, à l'arrondi près).
4. Les effectifs cumulés croissants
Quand le caractère est quantitatif, on range les valeurs dans l'ordre croissant. L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs plus petites. Il répond à la question : « Combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à … ? »
Exemple
On a demandé à 20 élèves leur nombre de frères et sœurs.
Nombre de frères et sœurs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
Effectif : 2 ; 4 ; 6 ; 5 ; 2 ; 1 (total 20)
Effectif cumulé croissant : 2 ; 6 ; 12 ; 17 ; 19 ; 20
Fréquence : 10 % ; 20 % ; 30 % ; 25 % ; 10 % ; 5 %
Lecture : 12 élèves ont au plus 2 frères et sœurs. Le dernier effectif cumulé est toujours égal à l'effectif total.
La valeur qui a le plus grand effectif s'appelle le mode : ici, le mode est 2.
5. Regrouper les données en classes
Quand un caractère quantitatif prend beaucoup de valeurs différentes (tailles, masses, durées), on les regroupe en classes (intervalles). La classe [150 ; 160[ contient les valeurs supérieures ou égales à 150 et strictement inférieures à 160.
| Taille (cm) | [140 ; 150[ | [150 ; 160[ | [160 ; 170[ | [170 ; 180[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 13 | 9 | 2 | 30 |
| Fréquence (%) | 20 | 43,3 | 30 | 6,7 | 100 |
Un élève qui mesure exactement 160 cm est compté dans la classe [160 ; 170[. La classe qui a le plus grand effectif est la classe modale : ici [150 ; 160[. Les fréquences 43,3 % et 6,7 % sont arrondies au dixième.
3Je retiens
Je retiens
Population : ensemble étudié ; individu : un élément ; caractère : ce que l'on étudie (qualitatif ou quantitatif).
Effectif d'une valeur : nombre d'individus ayant cette valeur ; effectif total N : somme des effectifs.
Fréquence = effectif ÷ effectif total ; elle est entre 0 et 1 ; en pourcentage, on multiplie par 100.
La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %.
Effectif cumulé croissant : somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales ; le dernier vaut N.
Classe [a ; b[ : valeurs ≥ a et < b. Mode (ou classe modale) : valeur (ou classe) de plus grand effectif.
4Erreurs fréquentes
- Confondre effectif et fréquence : l'effectif est un nombre d'individus (22 élèves), la fréquence est une part (55 %).
- Diviser par le mauvais nombre : la fréquence se calcule toujours en divisant par l'effectif total, pas par le plus grand effectif.
- Compter deux fois une valeur limite : dans des classes [150 ; 160[ et [160 ; 170[, la valeur 160 va seulement dans la seconde.
- Oublier de vérifier les totaux : si les effectifs ne font pas N ou les fréquences pas 100 %, il y a une erreur de dépouillement ou de calcul.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On relève la région de naissance de chaque employé d'une entreprise de Nzérékoré. Précise la population, un individu, le caractère étudié et sa nature (qualitatif ou quantitatif). Même question pour l'âge de ces employés.
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Population : les employés de l'entreprise ; individu : un employé ; caractère : la région de naissance, qui est qualitatif (ce n'est pas un nombre).
Pour l'âge : même population et même individu ; le caractère « âge » est quantitatif.
2Exercice 2
Voici les notes sur 10 obtenues par 20 élèves à une interrogation :
5 ; 7 ; 6 ; 8 ; 5 ; 9 ; 6 ; 7 ; 7 ; 4 ; 6 ; 8 ; 7 ; 5 ; 10 ; 6 ; 7 ; 8 ; 6 ; 7.
a) Construis le tableau des effectifs (notes rangées dans l'ordre croissant).
b) Calcule la fréquence de chaque note en pourcentage.
c) Quel est le mode de cette série ?
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a) Tableau des effectifs :
| Note | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 3 | 5 | 6 | 3 | 1 | 1 | 20 |
Contrôle : 1 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 + 1 = 20.
b) Fréquences : 120 = 5 \% ; 320 = 15 \% ; 520 = 25 \% ; 620 = 30 \% ; 15 \% ; 5 \% ; 5 \%. Somme : 100 %.
c) Le mode est 7 (effectif 6, le plus grand).
3Exercice 3
On a demandé à 50 élèves leur fruit préféré : mangue 20, orange 12, banane 10, ananas 8. Calcule la fréquence de chaque fruit sous forme décimale, puis en pourcentage.
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Mangue : 2050 = 0,4 = 40 \% ; orange : 1250 = 0,24 = 24 \% ; banane : 1050 = 0,2 = 20 \% ; ananas : 850 = 0,16 = 16 \%. Somme : 100 %.
4Exercice 4
Dans une école de Kouroussa, 80 élèves ont été interrogés. 35 % disent aimer le football, 25 % le basketball et les autres l'athlétisme. Calcule l'effectif de chaque groupe.
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Football : 0,35 × 80 = 28 élèves. Basketball : 0,25 × 80 = 20 élèves. Athlétisme : 100 - 35 - 25 = 40 \%, soit 0,40 × 80 = 32 élèves.
Contrôle : 28 + 20 + 32 = 80.
5Exercice 5
(Type BEPC) On a relevé la durée du trajet maison-collège (en minutes) de 40 élèves.
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 14 | 12 | 6 |
a) Quel est le caractère étudié ? Est-il qualitatif ou quantitatif ?
b) Calcule la fréquence de chaque classe en pourcentage.
c) Calcule les effectifs cumulés croissants.
d) Quel pourcentage d'élèves met moins de 20 minutes ? Quelle est la classe modale ?
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a) Le caractère est la durée du trajet ; il est quantitatif (regroupé en classes).
b) 840 = 20 \% ; 1440 = 35 \% ; 1240 = 30 \% ; 640 = 15 \%. Somme : 100 %.
c) Effectifs cumulés croissants : 8 ; 8 + 14 = 22 ; 22 + 12 = 34 ; 34 + 6 = 40.
d) Moins de 20 minutes : 22 élèves, soit 2240 = 55 \% (ou 20 \% + 35 \%). La classe modale est [10 ; 20[.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
