Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 33
La somme des angles d'un triangle
Je sais que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, je sais le démontrer et l'utiliser pour calculer un angle, y compris dans les triangles particuliers.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître et démontrer la propriété de la somme des angles d'un triangle
- Calculer le troisième angle d'un triangle
- Utiliser la propriété dans les triangles rectangles, isocèles et équilatéraux
- Savoir si trois angles peuvent être ceux d'un triangle
Avant de commencer : Les angles (supplémentaires, complémentaires) et les angles formés par deux parallèles et une sécante.
1Je découvre
En classe, le professeur de mathématiques d'un collège de Tougué distribue une feuille de papier à chaque élève. « Tracez un triangle, n'importe lequel, découpez-le, puis déchirez ses trois coins et collez-les côte à côte, sommets réunis en un même point. »
Hawa a dessiné un grand triangle pointu ; Alpha, un petit triangle très aplati ; Kadiatou, un triangle presque régulier. Pourtant, quand ils collent leurs trois coins, tous obtiennent la même chose : les trois angles, mis bout à bout, forment une ligne droite, c'est-à-dire un angle plat.
Alpha s'étonne : « Mon triangle n'a rien à voir avec celui de Hawa, et ça marche quand même. Est-ce que ça marche toujours, ou on a eu de la chance ? »
Découper et coller ne suffit pas pour en être sûr : on peut se tromper d'un ou deux degrés. Il faut une démonstration.
Pourquoi la somme des angles d'un triangle vaut-elle toujours 180°, et comment s'en servir ?
2Je comprends
1. La propriété
Propriété. Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Pour un triangle ABC : A + B + C = 180° (où A désigne l'angle BAC, et ainsi de suite).
2. La démonstration
On utilise la leçon précédente sur les parallèles et la sécante.
Soit ABC un triangle. Par le sommet C, on trace la droite (DE) parallèle à (AB), avec D du côté de A et E du côté de B.
- Les droites (DE) et (AB) sont parallèles, et (AC) est une sécante. Les angles DCA et CAB sont alternes-internes, donc ils sont égaux : DCA = A.
- De même, avec la sécante (BC) : ECB = B.
- Les points D, C et E sont alignés, donc DCA + ACB + BCE = 180° (angle plat).
- En remplaçant : A + C + B = 180°.
La propriété est démontrée pour n'importe quel triangle. C'est exactement ce qu'avaient vu les élèves en collant leurs trois coins.
3. Calculer le troisième angle
Méthode
Pour calculer un angle d'un triangle :
- J'écris la propriété : « Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180°. »
- J'écris l'égalité avec les mesures connues.
- Je calcule l'angle cherché : 180° moins la somme des deux autres.
- Je vérifie que la somme des trois angles fait bien 180°.
Exemple
Dans le triangle ABC, A = 48° et B = 67°. Calculer C.
Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180°.
C = 180° − (48° + 67°) = 180° − 115° = 65°.
Vérification : 48 + 67 + 65 = 180.
4. Les triangles particuliers
Triangle rectangle. Si ABC est rectangle en A, alors A = 90°, donc B + C = 90° : les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
Triangle isocèle. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. Si l'angle au sommet principal mesure s, chaque angle à la base mesure 180° - s2.
Triangle équilatéral. Ses trois angles sont égaux, donc chacun mesure 180° ÷ 3 = 60°.
Triangle rectangle isocèle. Ses deux angles aigus sont égaux et complémentaires : chacun mesure 45°.
| Triangle | Ce qu'on sait sur les angles |
|---|---|
| quelconque | A + B + C = 180° |
| rectangle | les deux angles aigus ont pour somme 90° |
| isocèle | les deux angles à la base sont égaux |
| équilatéral | trois angles de 60° |
| rectangle isocèle | 90°, 45°, 45° |
Exemple
a) Le triangle EFG est rectangle en E, et F = 32°. Calculer G.
Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : G = 90° − 32° = 58°.
b) Le triangle IJK est isocèle en I, avec I = 40°. Calculer J et K.
Les angles à la base sont égaux : J = K = (180° − 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°.
Vérification : 40 + 70 + 70 = 180.
c) Le triangle MNP est isocèle en M, et N = 50°. Calculer P et M.
Les angles à la base sont égaux : P = N = 50°. Donc M = 180° − (50° + 50°) = 80°.
5. Conséquences utiles
- Un triangle a au plus un angle droit et au plus un angle obtus : deux angles de 90° ou plus feraient déjà 180° ou plus.
- Trois mesures ne sont les angles d'un triangle que si leur somme vaut exactement 180°.
- Pour aller plus loin : en traçant une diagonale, on partage un quadrilatère en deux triangles ; la somme des angles d'un quadrilatère vaut donc 2 × 180° = 360°.
Exemple
Un triangle peut-il avoir des angles de 60°, 60° et 70° ?
60 + 60 + 70 = 190 ≠ 180. Non : ce triangle n'existe pas.
3Je retiens
Je retiens
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°.
Troisième angle = 180° − (somme des deux autres).
Triangle rectangle : les deux angles aigus sont complémentaires (somme 90°).
Triangle isocèle : les angles à la base sont égaux ; chacun vaut (180° − angle au sommet) ÷ 2.
Triangle équilatéral : trois angles de 60°. Triangle rectangle isocèle : 90°, 45°, 45°.
Un triangle a au plus un angle droit ou obtus. La somme des angles d'un quadrilatère vaut 360°.
4Erreurs fréquentes
- Oublier les parenthèses : C = 180 − (48 + 67), et non 180 − 48 + 67.
- Dans un triangle isocèle, confondre l'angle au sommet et les angles à la base : les deux angles égaux sont ceux qui touchent la base, c'est-à-dire le côté différent.
- Croire que la propriété se prouve en mesurant : le découpage ou le rapporteur donnent une idée, seule la démonstration avec les parallèles prouve.
- Accepter un triangle dont les angles font 181° ou 179° « à cause des arrondis » dans un exercice de calcul : la somme exacte doit être 180°.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans le triangle RST, R = 75° et S = 38°. Calcule T.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Dans le triangle RST, la somme des angles vaut 180° : T = 180° - (75° + 38°) = 180° - 113° = 67°.
2Exercice 2
Le triangle ABC est rectangle en C et A = 27°. Calcule B.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Le triangle est rectangle en C, donc ses angles aigus A et B sont complémentaires : B = 90° - 27° = 63°.
3Exercice 3
a) Un triangle est isocèle et son angle au sommet principal mesure 100°. Calcule ses angles à la base.
b) Un triangle est isocèle et l'un de ses angles à la base mesure 35°. Calcule ses deux autres angles.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les angles à la base sont égaux : chacun mesure (180° - 100°) ÷ 2 = 80° ÷ 2 = 40°.
b) L'autre angle à la base mesure aussi 35°. L'angle au sommet mesure 180° - (35° + 35°) = 110°.
4Exercice 4
Ces mesures peuvent-elles être celles des angles d'un triangle ? Justifie.
a) 90° ; 95° ; 5°.
b) 25° ; 65° ; 90°.
c) 60° ; 60° ; 60°.
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a) 90 + 95 + 5 = 190 ≠ 180 : non. (De plus, un triangle ne peut pas avoir à la fois un angle droit et un angle obtus.)
b) 25 + 65 + 90 = 180 : oui, c'est un triangle rectangle.
c) 60 + 60 + 60 = 180 : oui, c'est un triangle équilatéral.
5Exercice 5
(Type BEPC) Dans un triangle ABC, on a A = x, B = 2x et C = 3x (en degrés).
a) Écris une équation traduisant la somme des angles du triangle.
b) Calcule x, puis les trois angles.
c) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x + 2x + 3x = 180.
b) 6x = 180, donc x = 30. Les angles mesurent A = 30°, B = 60°, C = 90°. Vérification : 30 + 60 + 90 = 180.
c) C = 90° : le triangle ABC est rectangle en C.
6Exercice 6
Une parcelle de Siguiri a la forme d'un quadrilatère ABCD. On mesure A = 80°, B = 100° et C = 95°. En traçant la diagonale [AC], explique pourquoi la somme des angles d'un quadrilatère vaut 360°, puis calcule D.
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La diagonale [AC] partage le quadrilatère en deux triangles, ABC et ACD. Les angles de ces deux triangles forment ensemble les angles du quadrilatère (les angles en A et en C sont partagés en deux par la diagonale). La somme des angles du quadrilatère vaut donc 180° + 180° = 360°.
D = 360° - (80° + 100° + 95°) = 360° - 275° = 85°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
