Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 33
Triangles et quadrilatères
Je sais nommer, décrire et classer les triangles et les quadrilatères, et utiliser le bon vocabulaire (sommet, côté, angle, diagonale, côtés opposés).
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire du triangle et du quadrilatère (sommets, côtés, angles, diagonales)
- Classer un triangle selon ses côtés et selon ses angles
- Reconnaître les quadrilatères usuels (trapèze, parallélogramme, rectangle, losange, carré)
- Calculer un périmètre et la somme des angles d'un quadrilatère
Avant de commencer : Les angles et leur mesure au rapporteur, la somme des angles d'un triangle (180°), les droites parallèles et perpendiculaires.
1Je découvre
Ousmane aide son oncle menuisier à Labé. Sur l'établi, il y a plusieurs pièces de bois découpées : une équerre de charpentier, un cadre de fenêtre, un panneau en forme de losange pour décorer une porte, et un morceau de planche qui a quatre côtés mais dont seulement deux sont parallèles.
Son oncle lui demande : « Range les pièces qui ont trois côtés d'un côté, celles qui ont quatre côtés de l'autre. Ensuite, dis-moi le nom exact de chacune. »
Ousmane sépare facilement les pièces à trois côtés et celles à quatre côtés. Mais pour les noms, il hésite : le cadre de fenêtre est-il un rectangle ou un carré ? Le morceau de planche avec deux côtés parallèles, comment s'appelle-t-il ? Et comment parler d'un « coin » ou d'un « bord » sans se tromper ?
Quel vocabulaire utiliser pour décrire un triangle ou un quadrilatère, et comment les classer selon leurs côtés et leurs angles ?
2Je comprends
1. Les polygones : le vocabulaire commun
Un polygone est une figure plane fermée formée de segments. Ces segments sont les côtés ; leurs extrémités sont les sommets.
- Un polygone à 3 côtés est un triangle.
- Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère.
On nomme un polygone en citant ses sommets dans l'ordre, en faisant le tour de la figure. Le quadrilatère ABCD a pour côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Si on l'appelle ABDC, ce n'est plus la même figure !
Le périmètre d'un polygone est la longueur de son contour : c'est la somme des longueurs de ses côtés.
2. Le triangle
Dans un triangle ABC :
- les sommets sont A, B et C ;
- les côtés sont [AB], [BC] et [AC] ;
- les angles sont BAC, ABC et ACB (on les note aussi A, B et C).
Le côté [BC] est le côté opposé au sommet A : il ne passe pas par A. De même, [AC] est opposé à B et [AB] est opposé à C.
Tu sais depuis la leçon précédente que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
3. Classer les triangles
Selon les côtés :
| Nom | Propriété des côtés |
|---|---|
| Triangle quelconque | trois côtés de longueurs différentes |
| Triangle isocèle | deux côtés de même longueur |
| Triangle équilatéral | trois côtés de même longueur |
Selon les angles :
| Nom | Propriété des angles |
|---|---|
| Triangle rectangle | un angle droit (90°) |
| Triangle acutangle | trois angles aigus (moins de 90°) |
| Triangle obtusangle | un angle obtus (plus de 90°) |
Un triangle peut avoir deux noms à la fois : un triangle peut être rectangle et isocèle. Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits : leur somme ferait déjà 180°, et il ne resterait rien pour le troisième angle.
Exemple
Un triangle EFG a pour angles Ê = 90° et F̂ = 45°. Quelle est la nature de ce triangle ?
Calcul du troisième angle : Ĝ = 180° − 90° − 45° = 45°.
Le triangle a un angle droit en E : il est rectangle en E.
Il a deux angles égaux (F̂ = Ĝ = 45°) : on verra dans la leçon sur les triangles particuliers que cela veut dire que deux côtés sont égaux, EF = EG.
Conclusion : EFG est un triangle rectangle isocèle en E.
4. Le quadrilatère
Dans un quadrilatère ABCD :
- les sommets sont A, B, C et D ;
- les côtés sont [AB], [BC], [CD] et [DA] ;
- deux côtés qui ont un sommet commun sont consécutifs : [AB] et [BC] ;
- deux côtés qui n'ont pas de sommet commun sont opposés : [AB] et [CD], ou [BC] et [DA] ;
- deux sommets qui ne sont pas les extrémités d'un même côté sont opposés : A et C, B et D ;
- les diagonales sont les segments qui joignent deux sommets opposés : [AC] et [BD].
Somme des angles d'un quadrilatère. La diagonale [AC] partage un quadrilatère convexe ABCD en deux triangles, ABC et ACD. Chaque triangle a une somme d'angles de 180°. Les angles de ces deux triangles forment exactement les quatre angles du quadrilatère. Donc :
A + B + C + D = 180° + 180° = 360°.
5. Les quadrilatères usuels
| Quadrilatère | Définition |
|---|---|
| Trapèze | deux côtés opposés parallèles (appelés les bases) |
| Parallélogramme | côtés opposés parallèles deux à deux |
| Rectangle | quatre angles droits |
| Losange | quatre côtés de même longueur |
| Carré | quatre angles droits et quatre côtés de même longueur |
Ces familles s'emboîtent : un carré est à la fois un rectangle et un losange ; un rectangle et un losange sont des parallélogrammes particuliers ; un parallélogramme est un trapèze particulier. Tu étudieras ces propriétés en détail dans les leçons sur les parallélogrammes.
- 1Quadrilatère : quatre côtés, rien de plus.
- 2Trapèze : au moins deux côtés opposés parallèles.
- 3Parallélogramme : côtés opposés parallèles deux à deux.
- 4Rectangle (quatre angles droits) ou losange (quatre côtés égaux).
- 5Carré : à la fois rectangle et losange.
Méthode
Pour identifier la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère :
- Je compte les côtés : 3 (triangle) ou 4 (quadrilatère).
- Je regarde les longueurs : combien de côtés sont égaux ?
- Je regarde les angles : y a-t-il un angle droit, un angle obtus ? Si un angle manque, je le calcule (180° pour un triangle, 360° pour un quadrilatère).
- Pour un quadrilatère, je cherche les côtés parallèles.
- Je donne le nom le plus précis possible, en justifiant avec une propriété.
Exemple
Un quadrilatère MNPQ a pour angles M̂ = 110°, N̂ = 70° et P̂ = 110°. Calculer Q̂.
La somme des angles d'un quadrilatère vaut 360°.
Q̂ = 360° − (110° + 70° + 110°) = 360° − 290° = 70°.
Exemple
Le cadre de fenêtre d'Ousmane mesure 120 cm sur 80 cm et ses quatre coins sont des angles droits. Nature et périmètre ?
Il a quatre angles droits : c'est un rectangle.
Ses côtés n'ont pas tous la même longueur (120 cm et 80 cm) : ce n'est pas un carré.
Périmètre = 120 + 80 + 120 + 80 = 400 cm, soit 4 m.
6. Retour à l'atelier
Les pièces à trois côtés sont des triangles ; l'équerre de charpentier est un triangle rectangle. Le cadre de fenêtre (quatre angles droits, côtés inégaux) est un rectangle. Le panneau décoratif (quatre côtés égaux) est un losange. La planche avec seulement deux côtés parallèles est un trapèze.
3Je retiens
Je retiens
Triangle : 3 sommets, 3 côtés, 3 angles ; somme des angles = 180°.
Triangle isocèle : 2 côtés égaux ; équilatéral : 3 côtés égaux ; rectangle : un angle droit.
Quadrilatère ABCD : côtés [AB], [BC], [CD], [DA] ; diagonales [AC] et [BD].
Côtés opposés : sans sommet commun ; côtés consécutifs : avec un sommet commun.
Somme des angles d'un quadrilatère = 360°.
Trapèze : 2 côtés opposés parallèles ; parallélogramme : côtés opposés parallèles deux à deux.
Rectangle : 4 angles droits ; losange : 4 côtés égaux ; carré : les deux à la fois.
Périmètre = somme des longueurs des côtés.
4Erreurs fréquentes
- Nommer un quadrilatère dans le désordre : ABCD et ACBD ne sont pas la même figure. On suit le contour.
- Confondre côté et diagonale : [AC] n'est pas un côté de ABCD, c'est une diagonale.
- Croire qu'un carré n'est pas un rectangle : un carré a quatre angles droits, c'est donc un rectangle particulier.
- Utiliser 180° pour un quadrilatère : la somme de ses angles est 360°.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans le quadrilatère RSTU, cite :
a) les quatre côtés ;
b) deux côtés opposés et deux côtés consécutifs ;
c) les deux diagonales ;
d) le sommet opposé à S.
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a) Les côtés sont [RS], [ST], [TU] et [UR].
b) [RS] et [TU] sont opposés (pas de sommet commun) ; [RS] et [ST] sont consécutifs (sommet commun S).
c) Les diagonales sont [RT] et [SU].
d) Le sommet opposé à S est U.
2Exercice 2
Donne la nature de chaque triangle.
a) ABC avec AB = 5 cm, BC = 5 cm, AC = 5 cm.
b) DEF avec D = 30° et E = 60°.
c) GHI avec G = 40° et H = 40°.
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a) Les trois côtés mesurent 5 cm : ABC est équilatéral.
b) F = 180° - 30° - 60° = 90° : DEF est rectangle en F.
c) I = 180° - 40° - 40° = 100°. L'angle I est obtus : GHI est obtusangle. Il a deux angles égaux (G = H), il est aussi isocèle en I.
3Exercice 3
Un quadrilatère KLMN a trois angles connus : K = 90°, L = 90°, M = 90°.
a) Calcule N.
b) Quelle est la nature de KLMN ?
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a) N = 360° - (90° + 90° + 90°) = 360° - 270° = 90°.
b) KLMN a quatre angles droits : c'est un rectangle.
4Exercice 4
Mariama veut border de fil de couleur un napperon en forme de losange de 25 cm de côté. Le fil est vendu 500 GNF le mètre. Quel est le prix du fil nécessaire ?
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Un losange a quatre côtés égaux. Périmètre = 4 × 25 = 100 cm = 1 m. Prix : 1 × 500 = 500 GNF.
5Exercice 5
Vrai ou faux ? Justifie.
a) Un losange est un parallélogramme.
b) Un rectangle est toujours un carré.
c) Un triangle peut avoir deux angles obtus.
d) Un carré est un losange.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Vrai : les côtés opposés d'un losange sont parallèles deux à deux.
b) Faux : un rectangle de 120 cm sur 80 cm n'a pas quatre côtés égaux.
c) Faux : deux angles obtus dépasseraient déjà 180° à eux deux ; or la somme des trois angles vaut 180°.
d) Vrai : un carré a quatre côtés de même longueur.
6Exercice 6
(Type examen) Un quadrilatère ABCD a pour angles A = 2x, B = 3x, C = 2x et D = 3x (en degrés).
a) Écris une équation traduisant la somme des angles.
b) Calcule x, puis la mesure de chaque angle.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2x + 3x + 2x + 3x = 360, soit 10x = 360.
b) x = 36010 = 36. Donc A = 72°, B = 108°, C = 72°, D = 108°.
Vérification : 72 + 108 + 72 + 108 = 360.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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