Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 33
Triangles particuliers : isocèle, équilatéral, rectangle
Je connais les propriétés des triangles isocèle, équilatéral et rectangle, et je sais les utiliser pour calculer des angles et justifier la nature d'un triangle.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître le vocabulaire et les propriétés du triangle isocèle (sommet principal, base, angles à la base, axe de symétrie)
- Connaître les propriétés du triangle équilatéral (angles de 60°, trois axes de symétrie)
- Connaître le vocabulaire du triangle rectangle (hypoténuse) et savoir que ses angles aigus sont complémentaires
- Calculer des angles et démontrer la nature d'un triangle
Avant de commencer : Le vocabulaire du triangle, la somme des angles d'un triangle (180°), la symétrie axiale et la médiatrice d'un segment.
1Je découvre
À Boké, Aïssatou regarde le toit d'une case en construction. Vu de face, le pignon forme un triangle : les deux pentes du toit ont exactement la même longueur, 3 m chacune. Le charpentier affirme : « Puisque les deux pentes sont égales, elles font le même angle avec la poutre du bas. Si je mesure un angle, je connais l'autre. »
Plus loin, un panneau de signalisation routière a trois côtés égaux, et l'équerre du maçon a un angle droit.
Aïssatou se demande : le charpentier a-t-il raison ? Que peut-on dire des angles d'un triangle qui a trois côtés égaux ? Et dans un triangle qui a un angle droit, que sait-on des deux autres angles ?
Quelles propriétés particulières ont les triangles isocèle, équilatéral et rectangle, et comment les utiliser ?
2Je comprends
1. Le triangle isocèle
Définition. Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Si ABC est isocèle en A (AB = AC) :
- A est le sommet principal ;
- [BC] est la base ;
- B et C sont les angles à la base.
Propriété 1. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux : B = C.
Propriété 2 (réciproque). Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle ; son sommet principal est le sommet du troisième angle.
Propriété 3. Un triangle isocèle en A a un axe de symétrie : c'est la médiatrice de la base [BC]. Elle passe par le sommet A et par le milieu H de [BC], et elle est perpendiculaire à [BC]. Cet axe partage l'angle A en deux angles égaux.
Pourquoi les angles à la base sont-ils égaux ? Comme AB = AC, le point A est sur la médiatrice de [BC]. La symétrie par rapport à cette médiatrice échange B et C et laisse A en place : elle envoie l'angle B sur l'angle C. Une symétrie conserve les angles, donc B = C.
2. Le triangle équilatéral
Définition. Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur.
Un triangle équilatéral est isocèle de trois façons (en A, en B et en C). Donc A = B = C. Comme la somme vaut 180° :
A = B = C = 180°3 = 60°.
Propriétés.
- Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°.
- Réciproquement, un triangle qui a trois angles égaux (ou deux angles de 60°) est équilatéral.
- Il a trois axes de symétrie : les médiatrices de ses trois côtés.
3. Le triangle rectangle
Définition. Un triangle rectangle a un angle droit.
Si ABC est rectangle en A :
- le côté [BC], opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse ; c'est le plus long côté du triangle ;
- [AB] et [AC] sont les côtés de l'angle droit.
Propriété. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°. En effet : B + C = 180° - 90° = 90°.
Réciproquement, si deux angles d'un triangle ont une somme de 90°, le troisième mesure 90° : le triangle est rectangle.
4. Le triangle rectangle isocèle
Un triangle rectangle isocèle en A a un angle droit en A et AB = AC. Ses angles à la base sont égaux et complémentaires : chacun mesure 90°2 = 45°.
- Isocèle en A (AB = AC)
- Deux angles égaux
- Équilatéral
- Rectangle en A
- Rectangle isocèle
- angles B et C égaux
- triangle isocèle
- trois angles de 60°
- angles B et C complémentaires (somme 90°)
- angles aigus de 45°
Méthode
Pour calculer un angle dans un triangle particulier :
- J'écris la nature du triangle et le sommet concerné (« ABC est isocèle en A »).
- J'écris la propriété utilisée (« les angles à la base sont égaux »).
- J'écris l'égalité d'angles qui en découle.
- J'utilise la somme des angles (180°) pour trouver l'angle manquant.
- Je vérifie que la somme des trois angles fait bien 180°.
Exemple
ABC est isocèle en A et  = 40°. Calculer B̂ et Ĉ.
ABC est isocèle en A, donc ses angles à la base sont égaux : B̂ = Ĉ.
B̂ + Ĉ = 180° − 40° = 140°.
B̂ = Ĉ = 140° ÷ 2 = 70°.
Vérification : 40° + 70° + 70° = 180°.
Exemple
DEF est isocèle en D et Ê = 35°. Calculer D̂.
DEF est isocèle en D, donc F̂ = Ê = 35°.
D̂ = 180° − (35° + 35°) = 180° − 70° = 110°.
Exemple
Dans un triangle MNP, M̂ = 60° et N̂ = 60°. Quelle est sa nature ?
P̂ = 180° − (60° + 60°) = 60°.
Les trois angles sont égaux à 60° : MNP est équilatéral.
5. Retour au toit de la case
Le pignon a deux pentes de 3 m : c'est un triangle isocèle, dont le sommet principal est le faîte du toit. Ses angles à la base sont donc égaux : le charpentier a raison. Si l'angle au faîte mesure 100°, chaque pente fait avec la poutre un angle de 180° - 100°2 = 40°.
3Je retiens
Je retiens
Triangle isocèle en A : AB = AC ; A est le sommet principal, [BC] la base.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux ; et un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.
L'axe de symétrie d'un triangle isocèle en A est la médiatrice de la base ; il passe par A.
Triangle équilatéral : trois côtés égaux, trois angles de 60°, trois axes de symétrie.
Triangle rectangle en A : [BC] est l'hypoténuse (le plus long côté) ; B̂ + Ĉ = 90°.
Triangle rectangle isocèle : angles de 90°, 45° et 45°.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper d'angles égaux : dans un triangle isocèle en A, ce sont B̂ et Ĉ qui sont égaux, pas  et B̂.
- Oublier de diviser par 2 : si  = 40°, B̂ + Ĉ = 140°, et chacun mesure 70°, pas 140°.
- Appeler hypoténuse n'importe quel côté : c'est uniquement le côté opposé à l'angle droit.
- Croire qu'un triangle équilatéral n'est pas isocèle : il est isocèle, et même en ses trois sommets.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète.
a) Un triangle isocèle a … côtés de même longueur.
b) Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure … .
c) Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle … .
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a) deux ; b) 60° ; c) l'hypoténuse.
2Exercice 2
RST est isocèle en R et R = 56°. Calcule S et T.
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RST est isocèle en R, donc ses angles à la base sont égaux : S = T.
S + T = 180° - 56° = 124°, donc S = T = 62°.
Vérification : 56 + 62 + 62 = 180.
3Exercice 3
KLM est isocèle en K et L = 72°. Calcule M puis K.
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KLM est isocèle en K, donc M = L = 72°.
K = 180° - (72° + 72°) = 180° - 144° = 36°.
4Exercice 4
Un triangle UVW est rectangle en U et V = 27°.
a) Calcule W.
b) Nomme l'hypoténuse.
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a) Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : W = 90° - 27° = 63°.
b) L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit en U : c'est [VW].
5Exercice 5
Dans le triangle ABC, A = 45° et B = 90°. Démontre que ABC est un triangle rectangle isocèle et précise les côtés égaux.
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C = 180° - (45° + 90°) = 45°. Le triangle a un angle droit en B : il est rectangle en B. Il a deux angles égaux, A = C = 45° : il est isocèle, de sommet principal B. Donc ABC est rectangle isocèle en B et BA = BC.
6Exercice 6
(Problème) Hawa trace un triangle équilatéral ABC. Elle place le point D tel que ABD soit isocèle en B avec ABD = 90°, D étant à l'extérieur de ABC.
a) Quelle est la mesure de ABC ?
b) Calcule BAD.
c) Calcule CBD sachant que CBD = ABC + ABD.
d) Le triangle CBD est-il isocèle ? Justifie, puis calcule BCD.
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a) ABC est équilatéral, donc ABC = 60°.
b) ABD est isocèle en B, donc BAD = BDA ; comme ABD = 90°, ces deux angles mesurent chacun 90°2 = 45°. Donc BAD = 45°.
c) CBD = 60° + 90° = 150°.
d) BC = BA (ABC est équilatéral) et BA = BD (ABD est isocèle en B), donc BC = BD : le triangle CBD est isocèle en B. Ses angles à la base sont égaux : BCD = BDC = 180° - 150°2 = 30°2 = 15°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
