Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 33
Construire un triangle et l'inégalité triangulaire
Je sais construire un triangle à partir de trois données et je sais dire, avant de tracer, si un triangle de côtés donnés peut exister.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire un triangle connaissant ses trois côtés, avec la règle et le compas
- Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris, ou un côté et les deux angles adjacents
- Énoncer et utiliser l'inégalité triangulaire
- Reconnaître trois points alignés par le cas d'égalité
Avant de commencer : Le vocabulaire du triangle, l'utilisation du compas et du rapporteur, la somme des angles d'un triangle (180°).
1Je découvre
Sékou habite à Kankan. Pour aller au marché, il peut marcher tout droit sur 900 m. Il peut aussi faire un détour par la boutique de son ami Lansana : 600 m jusqu'à la boutique, puis 500 m de la boutique au marché.
Il remarque : 600 + 500 = 1 100 m, c'est plus long que le chemin direct. « Le chemin en ligne droite est toujours le plus court », lui dit son père.
Le lendemain, le professeur de mathématiques demande de construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm. Sékou trace le côté de 8 cm, prend son compas… et n'arrive jamais à faire se couper les deux arcs de cercle. Son voisin, avec 3 cm, 4 cm et 6 cm, y arrive sans problème.
Comment construire proprement un triangle, et comment savoir à l'avance si trois longueurs peuvent former un triangle ?
2Je comprends
1. Construire un triangle connaissant ses trois côtés
Pour construire ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 3 cm :
- on trace le segment [AB] de 6 cm ;
- le point C est à 4 cm de A : il est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm ;
- le point C est à 3 cm de B : il est sur le cercle de centre B et de rayon 3 cm ;
- C est donc à l'intersection des deux arcs de cercle.
Les deux arcs se coupent en deux points, un de chaque côté de [AB] : on en choisit un. Les deux triangles obtenus sont symétriques et ont les mêmes mesures.
Méthode
Construire un triangle ABC dont on connaît les trois côtés :
- Je fais un croquis à main levée et j'y écris les longueurs.
- Je trace à la règle le plus long côté, par exemple [AB].
- J'écarte le compas de la longueur AC, je pique en A et je trace un arc.
- J'écarte le compas de la longueur BC, je pique en B et je trace un arc qui coupe le premier.
- Le point d'intersection est C ; je trace [AC] et [BC], et je laisse les traits de construction.
2. Construire un triangle avec un angle
Deux côtés et l'angle compris entre eux. Pour construire DEF avec DE = 5 cm, DF = 4 cm et EDF = 50° :
- on trace [DE] de 5 cm ;
- avec le rapporteur centré en D, on trace une demi-droite d'origine D faisant un angle de 50° avec [DE) ;
- sur cette demi-droite, on place F à 4 cm de D ;
- on trace [EF].
Un côté et les deux angles adjacents. Pour construire GHI avec GH = 6 cm, G = 40° et H = 70° :
- on trace [GH] de 6 cm ;
- on trace en G une demi-droite faisant 40° avec [GH), et en H une demi-droite faisant 70° avec [HG), du même côté de [GH] ;
- le point I est à l'intersection des deux demi-droites.
Cette construction n'est possible que si la somme des deux angles est inférieure à 180°. Ici 40° + 70° = 110°, donc I = 180° - 110° = 70°.
3. L'inégalité triangulaire
Propriété (inégalité triangulaire). Pour trois points A, B et C quelconques :
AB ≤ AC + CB.
Autrement dit : le chemin direct de A à B est toujours plus court (ou égal) que le chemin qui passe par un autre point C. C'est exactement ce que Sékou a constaté entre sa maison et le marché.
Cas d'égalité. AB = AC + CB si et seulement si le point C appartient au segment [AB]. Les trois points sont alors alignés et on n'obtient pas un vrai triangle (on dit parfois que le triangle est « aplati »).
4. Trois longueurs forment-elles un triangle ?
Si on a trois longueurs, on peut construire un triangle si et seulement si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres.
Il suffit de faire ce test avec la plus grande longueur : si elle est plus petite que la somme des deux autres, les autres inégalités sont forcément vraies.
| Longueurs | Plus grande | Somme des deux autres | Conclusion |
|---|---|---|---|
| 3 ; 4 ; 6 | 6 | 3 + 4 = 7 | 6 < 7 : triangle possible |
| 3 ; 4 ; 8 | 8 | 3 + 4 = 7 | 8 > 7 : impossible |
| 3 ; 4 ; 7 | 7 | 3 + 4 = 7 | égalité : points alignés |
Voilà pourquoi les arcs de Sékou ne se coupaient pas : avec 3 cm et 4 cm, on ne peut pas « atteindre » les deux bouts d'un segment de 8 cm.
Exemple
Peut-on construire un triangle de côtés 5 cm, 9 cm et 3 cm ?
La plus grande longueur est 9 cm.
Somme des deux autres : 5 + 3 = 8 cm.
Comme 9 > 8, l'inégalité triangulaire n'est pas respectée.
Conclusion : ce triangle n'existe pas.
Exemple
Trois villages A, B et C : AB = 12 km, BC = 7 km, AC = 5 km. Que peut-on dire de ces villages ?
La plus grande distance est AB = 12 km. AC + CB = 5 + 7 = 12 km.
On a AB = AC + CB : c'est le cas d'égalité.
Conclusion : C est sur le segment [AB] ; les trois villages sont alignés, C entre A et B.
Exemple
Un triangle a deux côtés de 6 cm et 10 cm. Quelles longueurs entières peut avoir le troisième côté ?
Appelons x le troisième côté.
Si 10 est le plus grand côté : 10 < 6 + x, donc x > 4.
Si x est le plus grand côté : x < 6 + 10, donc x < 16.
Il faut donc 4 < x < 16 : x peut valoir 5, 6, 7, …, 15 cm, soit 11 valeurs entières.
3Je retiens
Je retiens
Trois côtés connus : on trace un côté, puis deux arcs de cercle au compas ; le troisième sommet est leur intersection.
Deux côtés et l'angle compris : règle, rapporteur, puis règle.
Un côté et les deux angles adjacents : leur somme doit être inférieure à 180°.
Inégalité triangulaire : pour tous points A, B, C, on a AB ≤ AC + CB.
AB = AC + CB si et seulement si C appartient au segment [AB] (points alignés).
Trois longueurs forment un triangle si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres.
4Erreurs fréquentes
- Tester l'inégalité avec la mauvaise longueur : on compare toujours la PLUS GRANDE à la somme des deux autres.
- Oublier le cas d'égalité : 3, 4 et 7 ne donnent pas un triangle, les trois points sont alignés.
- Effacer les arcs de construction : ils prouvent que la construction a été faite au compas ; on les laisse.
- Mal placer le rapporteur : son centre doit être exactement sur le sommet de l'angle, et le zéro sur le côté déjà tracé.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Construis le triangle ABC tel que AB = 7 cm, BC = 5 cm et AC = 4 cm. Décris ta construction en trois phrases.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Je trace [AB] de 7 cm. Je trace l'arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, puis l'arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm. Leur point d'intersection est C ; je trace [AC] et [BC].
(Le triangle existe bien : 7 < 4 + 5 = 9.)
2Exercice 2
Pour chaque cas, dis si le triangle existe. Justifie.
a) 4 cm ; 5 cm ; 6 cm
b) 2 cm ; 3 cm ; 6 cm
c) 5 cm ; 5 cm ; 10 cm
d) 8 cm ; 8 cm ; 8 cm
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a) Plus grande : 6 ; 4 + 5 = 9 et 6 < 9 : le triangle existe.
b) Plus grande : 6 ; 2 + 3 = 5 et 6 > 5 : il n'existe pas.
c) Plus grande : 10 ; 5 + 5 = 10 : égalité, les points sont alignés, ce n'est pas un vrai triangle.
d) 8 < 8 + 8 = 16 : le triangle existe (il est équilatéral).
3Exercice 3
Construis le triangle RST tel que RS = 6 cm, R = 35° et S = 65°. Calcule ensuite la mesure de T.
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Je trace [RS] de 6 cm. En R, je trace une demi-droite faisant 35° avec [RS). En S, du même côté, une demi-droite faisant 65° avec [SR). T est leur intersection.
T = 180° - (35° + 65°) = 180° - 100° = 80°.
4Exercice 4
Kadiatou dit : « J'ai tracé un triangle avec deux angles de 95° et 90° sur un côté de 5 cm. » Est-ce possible ? Explique.
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Non. Les deux angles adjacents au côté de 5 cm ont pour somme 95° + 90° = 185°, ce qui dépasse 180°. Or la somme des trois angles d'un triangle vaut 180°. Les deux demi-droites ne se couperont jamais du bon côté : le triangle n'existe pas.
5Exercice 5
Trois points E, F et G vérifient EF = 4,5 cm, FG = 2,8 cm et EG = 7,3 cm.
a) Calcule EF + FG.
b) Que peux-tu dire des points E, F et G ? Précise la position de F.
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a) EF + FG = 4,5 + 2,8 = 7,3 cm.
b) EF + FG = EG : c'est le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire. Les points E, F et G sont alignés et F appartient au segment [EG].
6Exercice 6
(Problème) Un triangle isocèle a deux côtés de 4 cm. Son troisième côté mesure c cm.
a) Écris les conditions que doit vérifier c.
b) Donne toutes les valeurs entières possibles de c.
c) Le périmètre peut-il être égal à 16 cm ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Si c est le plus grand côté : c < 4 + 4 = 8. Si 4 est le plus grand : 4 < 4 + c, ce qui est vrai dès que c > 0. Donc 0 < c < 8.
b) Valeurs entières : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
c) Périmètre = 4 + 4 + c = 16 donne c = 8. Or c doit être strictement inférieur à 8 : impossible (les trois points seraient alignés).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
