Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 28
La division des nombres relatifs
Je sais calculer le quotient de deux nombres relatifs, placer correctement le signe et utiliser l'inverse d'un nombre.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer la règle des signes pour un quotient
- Savoir que la division par zéro est impossible
- Écrire un quotient sous forme de fraction et placer le signe correctement
- Trouver l'inverse d'un nombre relatif et diviser en multipliant par l'inverse
- Calculer une expression avec un trait de fraction et des priorités
Avant de commencer : La somme algébrique et la multiplication des nombres relatifs (leçons précédentes).
1Je découvre
Pendant une semaine d'harmattan, Ousmane, élève à Labé, relève chaque matin l'écart entre la température du jour et la moyenne habituelle du mois. Un écart négatif signifie qu'il a fait plus froid que d'habitude.
Sur 4 jours, il additionne ses écarts et trouve -10 °C. Pour connaître l'écart moyen par jour, il doit partager ce total en 4 : il faut calculer (-10) ÷ 4.
Il sait que 10 ÷ 4 = 2,5. Mais le résultat est-il 2,5 ou -2,5 ? Et si un jour il doit calculer (-12) ÷ (-3), quel signe mettre ?
Son amie Hawa lui rappelle : « La division, c'est l'opération qui défait la multiplication. Si tu connais la règle des signes de la multiplication, tu connais celle de la division. »
Comment diviser deux nombres relatifs et trouver le bon signe du quotient ?
2Je comprends
1. Définition du quotient
Soient a et b deux nombres relatifs, avec b ≠ 0. Le quotient de a par b est le nombre q tel que :
b × q = a.
On le note a ÷ b ou ab. Le nombre a est le dividende (numérateur), b est le diviseur (dénominateur).
Par exemple, (-12) ÷ 3 = -4, car 3 × (-4) = -12.
La division par zéro est impossible. Si l'on cherchait 5 ÷ 0, il faudrait un nombre q tel que 0 × q = 5. Or 0 × q = 0 pour tout q : un tel nombre n'existe pas. En revanche, 0 ÷ 5 = 0, car 5 × 0 = 0.
2. Règle des signes pour le quotient
La division suit la même règle des signes que la multiplication. On divise les distances à zéro, et :
- même signe → quotient positif ;
- signes contraires → quotient négatif.
| Calcul | Signe | Distance à zéro | Résultat |
|---|---|---|---|
| (-12) ÷ (-3) | même signe : + | 12 ÷ 3 = 4 | 4 |
| (-10) ÷ 4 | contraires : − | 10 ÷ 4 = 2,5 | -2,5 |
| 35 ÷ (-7) | contraires : − | 35 ÷ 7 = 5 | -5 |
| (-1,8) ÷ (-0,6) | même signe : + | 1,8 ÷ 0,6 = 3 | 3 |
Ousmane a donc un écart moyen de -2,5 °C par jour : il a fait en moyenne 2,5 °C plus froid que d'habitude.
3. Écriture fractionnaire et place du signe
Un quotient peut s'écrire sous forme de fraction. Le signe « − » peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction, sans changer la valeur :
-ab = a-b = -ab et -a-b = ab.
Par habitude, on écrit toujours le résultat avec un dénominateur positif. Par exemple :
7-3 = -73 ; -5-8 = 58.
Quand la division « ne tombe pas juste », on garde la fraction simplifiée comme valeur exacte : (-14) ÷ 6 = -146 = -73 (on divise 14 et 6 par 2). Une valeur approchée est -2,33 au centième près.
4. L'inverse d'un nombre relatif
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.
L'inverse d'un nombre a non nul est 1a. Il a le même signe que a (car leur produit, 1, est positif).
| Nombre | 4 | -5 | 0,5 | -23 | -1 |
|---|---|---|---|---|---|
| Inverse | 14 | -15 | 2 | -32 | -1 |
Attention : zéro n'a pas d'inverse, et il ne faut pas confondre inverse et opposé : l'opposé de -5 est 5, son inverse est -15.
Propriété. Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse :
a ÷ b = a × 1b.
Exemple : (-6) ÷ 0,5 = (-6) × 2 = -12.
- Somme égale à 0 : a + (−a) = 0
- Signe contraire de a
- Opposé de −4 : 4
- 0 a un opposé : 0
- Produit égal à 1 : a × (1/a) = 1
- Même signe que a
- Inverse de −4 : −1/4
- 0 n'a pas d'inverse
5. Calculs avec un trait de fraction
Un trait de fraction se comporte comme des parenthèses : on calcule d'abord le numérateur, puis le dénominateur, et enfin le quotient.
Méthode
Pour calculer une expression avec un trait de fraction :
- Je calcule le numérateur en respectant les priorités.
- Je calcule le dénominateur en respectant les priorités. S'il vaut 0, le calcul est impossible.
- Je trouve le signe du quotient avec la règle des signes.
- Je divise, ou je simplifie la fraction si la division ne tombe pas juste.
Exemple
Calculer A = (−18 + 3) / (4 − 9).
Numérateur : −18 + 3 = −15.
Dénominateur : 4 − 9 = −5.
Même signe, donc quotient positif : A = 15 ÷ 5 = 3.
Exemple
Calculer B = (2 × (−9)) / (−3 − 1) + 7.
Numérateur : 2 × (−9) = −18.
Dénominateur : −3 − 1 = −4.
Quotient : (−18) ÷ (−4) = 18/4 = 9/2 = 4,5 (même signe, donc positif).
B = 4,5 + 7 = 11,5.
Exemple
Moyenne de relatifs. Pendant cinq jours de saison sèche, Lansana note la variation du niveau de la citerne familiale (en cm) : −3 ; 2 ; −6 ; 0 ; −8. Calculer la variation moyenne.
Somme : −3 + 2 − 6 + 0 − 8 = 2 − 17 = −15.
Moyenne : (−15) ÷ 5 = −3.
En moyenne, le niveau a baissé de 3 cm par jour.
6. Produits et quotients mélangés
Dans une suite de multiplications et de divisions sans parenthèses, on calcule de gauche à droite. Le signe du résultat se trouve encore en comptant les nombres négatifs (pair → +, impair → −).
Exemple : (-24) ÷ 4 × (-3) = (-6) × (-3) = 18. Deux nombres négatifs : résultat positif.
3Je retiens
Je retiens
Le quotient de a par b (b ≠ 0) est le nombre q tel que b × q = a.
On ne divise jamais par zéro ; mais 0 ÷ b = 0.
Règle des signes : même signe → quotient positif ; signes contraires → quotient négatif.
−a/b = a/(−b) = −(a/b) et (−a)/(−b) = a/b ; on écrit le résultat avec un dénominateur positif.
L'inverse de a (a ≠ 0) est 1/a : a × (1/a) = 1. Il a le même signe que a. Zéro n'a pas d'inverse.
Diviser par b, c'est multiplier par 1/b.
Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses.
4Erreurs fréquentes
- Confondre inverse et opposé : l'inverse de −2 est −1/2, pas 2.
- Écrire que 7 ÷ 0 = 0 ou 7 ÷ 0 = 7 : la division par zéro est impossible.
- Ne calculer qu'une partie du numérateur : dans (−6 + 2)/2, on calcule d'abord −6 + 2 = −4, puis −4 ÷ 2 = −2. Ce n'est pas −6 + 1.
- Laisser un dénominateur négatif dans un résultat final : on écrit −3/4 plutôt que 3/(−4).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) (-42) ÷ 6 b) (-56) ÷ (-8) c) 81 ÷ (-9) d) 0 ÷ (-13) e) (-4,5) ÷ (-1,5)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Signes contraires : -7. b) Même signe : 7. c) -9. d) 0. e) Même signe : 4,5 ÷ 1,5 = 3.
2Exercice 2
Écris sous forme d'une fraction simplifiée avec un dénominateur positif.
a) 9-12 b) -20-35 c) (-16) ÷ 24
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 9-12 = -912 = -34 (on divise par 3).
b) -20-35 = 2035 = 47 (on divise par 5).
c) (-16) ÷ 24 = -1624 = -23 (on divise par 8).
3Exercice 3
Donne l'opposé et l'inverse de chaque nombre : 6 ; -0,25 ; -57.
Voir le corrigéCacher le corrigé
6 : opposé -6 ; inverse 16.
-0,25 : opposé 0,25 ; inverse 1-0,25 = -4 (car -0,25 × (-4) = 1).
-57 : opposé 57 ; inverse -75.
4Exercice 4
Calcule.
a) C = -7 - 13-2 × 5
b) D = 15-3 - -82
c) E = (-36) ÷ (-4) × (-2)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Numérateur : -7 - 13 = -20. Dénominateur : -2 × 5 = -10. C = -20-10 = 2.
b) 15-3 = -5 et -82 = -4. D = -5 - (-4) = -5 + 4 = -1.
c) De gauche à droite : (-36) ÷ (-4) = 9, puis 9 × (-2) = -18. E = -18.
5Exercice 5
(Problème) Pendant 6 jours, Aïssatou note la variation de son stock de sacs de riz dans sa boutique de Kindia : +14 ; -9 ; -20 ; +5 ; -12 ; -8.
a) Calcule la variation totale sur les 6 jours.
b) Calcule la variation moyenne par jour. Le stock a-t-il en moyenne augmenté ou diminué ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Positifs : 14 + 5 = 19. Négatifs : -9 - 20 - 12 - 8 = -49. Total : 19 - 49 = -30.
b) Moyenne : (-30) ÷ 6 = -5. Le stock a diminué en moyenne de 5 sacs par jour.
6Exercice 6
(Type examen) On donne a = -6, b = 4 et c = -2.
a) Calcule ac, a + bc et a × bb + c.
b) Peut-on calculer ab + 2c ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ac = -6-2 = 3.
a + b = -6 + 4 = -2, donc a + bc = -2-2 = 1.
a × b = (-6) × 4 = -24 et b + c = 4 + (-2) = 2, donc a × bb + c = -242 = -12.
b) b + 2c = 4 + 2 × (-2) = 4 - 4 = 0. Le dénominateur est nul : le calcul est impossible, car on ne divise pas par zéro.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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