Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 28
Comparer, ranger et encadrer des nombres
Je sais comparer et ranger des nombres relatifs, décimaux et fractions, et encadrer un nombre ou une expression.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comparer deux nombres relatifs, décimaux ou fractions
- Ranger une liste de nombres dans l'ordre croissant ou décroissant
- Encadrer un nombre à l'unité, au dixième, au centième et donner l'amplitude
- Donner des valeurs approchées par défaut, par excès et l'arrondi
- Déduire un encadrement de a + b, de a − b ou de ka à partir d'encadrements connus
Avant de commencer : Les nombres relatifs (somme, produit, quotient), les nombres décimaux et les fractions simples.
1Je découvre
Au marché de Kankan, Fanta compare les prix du kilogramme de riz local chez trois vendeuses. Elle s'intéresse surtout à l'écart par rapport au prix de la semaine passée, noté en centaines de GNF : -2,5 chez la première, -3 chez la deuxième et +1,5 chez la troisième.
Elle veut savoir chez qui le prix a le plus baissé : faut-il choisir -2,5 ou -3 ? Son camarade Alpha affirme que -2,5 est plus petit que -3, « parce que 2,5 est plus petit que 3 ». Fanta n'est pas d'accord.
Plus tard, sa calculatrice affiche 23 = 0,666666… : le nombre ne s'arrête jamais. Fanta se demande comment écrire ce nombre avec précision sans écrire une infinité de chiffres.
Comment comparer et ranger des nombres de toutes sortes, et comment « enfermer » un nombre entre deux valeurs proches ?
2Je comprends
1. Les symboles de comparaison
| Symbole | Se lit | Exemple |
|---|---|---|
| < | est strictement inférieur à | -3 < -2,5 |
| > | est strictement supérieur à | 1,5 > -3 |
| ≤ | est inférieur ou égal à | x ≤ 4 |
| ≥ | est supérieur ou égal à | x ≥ 0 |
La « pointe » du symbole est toujours tournée vers le plus petit nombre.
2. Comparer deux nombres relatifs
Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus petit nombre est toujours le plus à gauche.
Règles.
- Un nombre négatif est plus petit qu'un nombre positif : -100 < 0,1.
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : 3,7 > 3,07.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : -2,5 > -3.
Fanta avait raison : -3 < -2,5. C'est chez la deuxième vendeuse que le prix a le plus baissé.
3. Comparer des décimaux et des fractions
Décimaux. On compare d'abord les parties entières, puis les chiffres des dixièmes, des centièmes… Par exemple 4,28 < 4,3, car 2 < 3 au rang des dixièmes (on peut écrire 4,30 pour bien voir).
Fractions.
- Même dénominateur (positif) : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur : 59 > 49.
- Dénominateurs différents : on les réduit au même dénominateur. Pour comparer 34 et 56 : 34 = 912 et 56 = 1012, donc 34 < 56.
- On peut aussi comparer une fraction à 1 : si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1.
4. Ranger des nombres
Ranger dans l'ordre croissant, c'est écrire du plus petit au plus grand avec le symbole <. Dans l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit avec >.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : −1,2 ; 0,5 ; −1,25 ; 3/4 ; −2 ; 0.
Négatifs : −2 ; −1,25 ; −1,2. Distances à zéro 2 > 1,25 > 1,2, donc −2 < −1,25 < −1,2.
Zéro vient ensuite.
Positifs : 0,5 et 3/4 = 0,75, donc 0,5 < 3/4.
Ordre croissant : −2 < −1,25 < −1,2 < 0 < 0,5 < 3/4.
5. Encadrer un nombre
Encadrer un nombre x, c'est trouver deux nombres a et b tels que a < x < b (ou avec ≤ ). La différence b - a s'appelle l'amplitude de l'encadrement. Plus l'amplitude est petite, plus l'encadrement est précis.
| Encadrement de 23 = 0,6666… | Amplitude |
|---|---|
| 0 < 23 < 1 (à l'unité) | 1 |
| 0,6 < 23 < 0,7 (au dixième) | 0,1 |
| 0,66 < 23 < 0,67 (au centième) | 0,01 |
Dans l'encadrement 0,66 < 23 < 0,67 :
- 0,66 est la valeur approchée par défaut au centième ;
- 0,67 est la valeur approchée par excès au centième ;
- l'arrondi au centième est la valeur la plus proche : ici 0,67, car le chiffre des millièmes (6) est supérieur ou égal à 5.
Règle de l'arrondi : on regarde le chiffre juste après le rang voulu. S'il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde la valeur par défaut ; s'il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on prend la valeur par excès.
Exemple
Encadrer 17/7 au dixième puis au centième, et donner l'arrondi au centième.
À la division posée : 17 ÷ 7 = 2,428 5…
Au dixième : 2,4 < 17/7 < 2,5.
Au centième : 2,42 < 17/7 < 2,43.
Le chiffre des millièmes est 8, donc l'arrondi au centième est 2,43.
Pour un nombre négatif, fais attention au sens : -1,5 < -1,43 < -1,4. La valeur par défaut au dixième de -1,43 est -1,5 (la plus petite des deux).
6. Encadrements et opérations
Ces propriétés servent souvent à l'examen. Elles se démontrent en comparant des différences, et tu les utiliseras beaucoup en 10e avec les inéquations.
Ajouter ou soustraire un même nombre ne change pas le sens d'une inégalité : si a < b, alors a + c < b + c.
Multiplier par un nombre positif ne change pas le sens : si a < b et k > 0, alors ka < kb.
Multiplier par un nombre négatif change le sens : si a < b et k < 0, alors ka > kb. Par exemple 2 < 5, mais -2 > -5.
Additionner deux encadrements membre à membre : si a < x < b et c < y < d, alors a + c < x + y < b + d.
Pour une différence, on ne soustrait pas membre à membre : on encadre d'abord -y, puis on additionne.
Méthode
Pour encadrer une expression à partir d'encadrements connus :
- J'encadre chaque morceau : je multiplie par le coefficient (si négatif, je retourne les symboles et je réécris dans l'ordre croissant).
- J'additionne membre à membre les encadrements obtenus.
- Je calcule l'amplitude si on la demande.
Exemple
On sait que 1,41 < √2 < 1,42 et que 1,73 < √3 < 1,74. Encadrer 3√2 + 1, puis √3 − √2.
Pour 3√2 + 1 : on multiplie par 3 (positif) : 4,23 < 3√2 < 4,26 ; on ajoute 1 : 5,23 < 3√2 + 1 < 5,26.
Pour √3 − √2 : on encadre −√2 en multipliant par −1, ce qui retourne les symboles : −1,42 < −√2 < −1,41.
On additionne avec 1,73 < √3 < 1,74 :
1,73 − 1,42 < √3 − √2 < 1,74 − 1,41, soit 0,31 < √3 − √2 < 0,33.
- 1Écrire l'encadrement de chaque nombre connu
- 2Multiplier par le coefficient ; s'il est négatif, retourner les symboles
- 3Réécrire chaque encadrement dans l'ordre croissant
- 4Additionner membre à membre
- 5Calculer les bornes et, si besoin, l'amplitude
3Je retiens
Je retiens
Sur une droite graduée, le plus petit nombre est le plus à gauche.
Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro : −2 > −5.
Pour comparer des fractions, on les réduit au même dénominateur.
Encadrer x : a < x < b ; l'amplitude est b − a.
Valeur par défaut (la plus petite), par excès (la plus grande), arrondi (la plus proche : chiffre suivant ≥ 5 → excès).
Ajouter un nombre ou multiplier par un positif garde le sens ; multiplier par un négatif le change.
On additionne des encadrements membre à membre, jamais on ne les soustrait : on passe par l'opposé.
4Erreurs fréquentes
- Croire que −7 > −3 parce que 7 > 3 : c'est le contraire, −7 < −3.
- Comparer les décimaux par le nombre de chiffres : 2,15 n'est pas plus grand que 2,5 (2,15 < 2,50).
- Oublier de retourner le symbole en multipliant par un négatif : si x < 4, alors −2x > −8.
- Soustraire deux encadrements membre à membre : de 1 < x < 2 et 3 < y < 5, on ne déduit pas −2 < x − y < −3 (c'est même absurde). On écrit −5 < −y < −3, puis −4 < x − y < −1.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Compare avec <, > ou =.
a) -8 et -11 b) -0,7 et 0,2 c) 5,09 et 5,1 d) 78 et 56 e) -12 et -0,5
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a) Deux négatifs : 8 < 11, donc -8 > -11.
b) Un négatif est plus petit qu'un positif : -0,7 < 0,2.
c) 5,09 < 5,10 (au rang des dixièmes, 0 < 1) : 5,09 < 5,1.
d) Dénominateur commun 24 : 78 = 2124 et 56 = 2024, donc 78 > 56.
e) -12 = -0,5 : les deux nombres sont égaux.
2Exercice 2
Range dans l'ordre décroissant : -3,2 ; 1,8 ; -3,25 ; 32 ; -14 ; 0.
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32 = 1,5 et -14 = -0,25.
Ordre décroissant : 1,8 > 32 > 0 > -14 > -3,2 > -3,25.
3Exercice 3
Avec la division, 57 = 0,714 2…
a) Encadre 57 au dixième puis au centième. Donne l'amplitude de chaque encadrement.
b) Donne l'arrondi au dixième et au centième.
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a) Au dixième : 0,7 < 57 < 0,8, amplitude 0,1. Au centième : 0,71 < 57 < 0,72, amplitude 0,01.
b) Arrondi au dixième : le chiffre des centièmes est 1 (moins de 5), donc 0,7. Arrondi au centième : le chiffre des millièmes est 4, donc 0,71.
4Exercice 4
On sait que 2 < x < 3.
Encadre x + 4, puis 5x, puis -2x, puis 1 - 2x.
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x + 4 : 6 < x + 4 < 7.
5x : on multiplie par 5 (positif) : 10 < 5x < 15.
-2x : on multiplie par -2 (négatif), les symboles se retournent : -4 > -2x > -6, soit -6 < -2x < -4.
1 - 2x : on ajoute 1 : -5 < 1 - 2x < -3.
5Exercice 5
(Type BEPC) On donne 2,23 < √5 < 2,24 et 1,73 < √3 < 1,74.
a) Encadre 2√5 et √5 + √3.
b) Encadre √5 - √3.
c) Donne l'amplitude de l'encadrement trouvé en b).
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a) 2 × 2,23 < 2√5 < 2 × 2,24, soit 4,46 < 2√5 < 4,48.
En additionnant : 2,23 + 1,73 < √5 + √3 < 2,24 + 1,74, soit 3,96 < √5 + √3 < 3,98.
b) On encadre -√3 : -1,74 < -√3 < -1,73. On additionne avec l'encadrement de √5 :
2,23 - 1,74 < √5 - √3 < 2,24 - 1,73, soit 0,49 < √5 - √3 < 0,51.
c) Amplitude : 0,51 - 0,49 = 0,02.
6Exercice 6
(Problème) Un champ rectangulaire près de Faranah a une longueur L comprise entre 48,5 m et 49,5 m et une largeur ell comprise entre 29,5 m et 30,5 m (mesures au mètre près). Encadre son périmètre P = 2(L + ell).
Voir le corrigéCacher le corrigé
48,5 < L < 49,5 et 29,5 < ell < 30,5.
En additionnant : 78 < L + ell < 80. En multipliant par 2 (positif) : 156 < P < 160.
Le périmètre est compris entre 156 m et 160 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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