Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 28
Addition et soustraction de fractions
Je sais additionner et soustraire des fractions, positives ou négatives, et donner le résultat sous forme irréductible.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur
- Réduire au même dénominateur pour additionner des fractions de dénominateurs différents
- Additionner une fraction et un nombre entier
- Calculer une somme algébrique de fractions et simplifier le résultat
- Résoudre un problème de partage avec des fractions
Avant de commencer : Généralités sur les fractions (fractions égales, simplification, réduction au même dénominateur) et la somme algébrique de nombres relatifs.
1Je découvre
Mamadou et sa famille cultivent un champ de riz près de Kouroussa, sur les bords du Niger. Cette année, ils décident de le partager ainsi : 12 du champ pour le riz, 13 pour l'arachide et le reste pour le maïs.
Mamadou veut savoir quelle part du champ est déjà occupée par le riz et l'arachide. Il écrit : 12 + 13 = 25, en additionnant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Sa sœur Fatoumata l'arrête tout de suite : « C'est impossible ! À lui seul, le riz occupe déjà la moitié du champ, et 25 est plus petit que 12. Ton calcul voudrait dire qu'en ajoutant l'arachide, la surface cultivée diminue ! »
Comment additionner et soustraire correctement des fractions, en particulier quand leurs dénominateurs sont différents ?
2Je comprends
1. Fractions de même dénominateur
Quand deux fractions ont le même dénominateur, les parts ont la même taille : on peut les compter ensemble.
Règle. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :
ad + bd = a + bd et ad - bd = a - bd (avec d ≠ 0).
Exemples : 27 + 37 = 57 ; 1112 - 512 = 612 = 12.
On termine toujours en simplifiant le résultat quand c'est possible.
2. Fractions de dénominateurs différents
On ne peut pas additionner directement des tiers et des moitiés, pas plus qu'on ne peut additionner des mètres et des centimètres sans convertir. On commence donc par réduire les fractions au même dénominateur, en utilisant la propriété des fractions égales.
- 1Chercher un dénominateur commun (le plus petit multiple commun des dénominateurs)
- 2Transformer chaque fraction en une fraction égale ayant ce dénominateur
- 3Additionner ou soustraire les numérateurs, garder le dénominateur commun
- 4Simplifier le résultat pour obtenir une fraction irréductible
Reprenons le champ de Mamadou. Un dénominateur commun à 2 et 3 est 6 :
12 + 13 = 36 + 26 = 56.
Le riz et l'arachide occupent 56 du champ. Le maïs occupe le reste, c'est-à-dire l'unité (le champ entier, 66) moins 56 :
1 - 56 = 66 - 56 = 16.
Choisir le dénominateur commun.
- Si un dénominateur est un multiple de l'autre, on le prend : pour 34 et 512, on prend 12.
- Sinon, on cherche le plus petit multiple commun : pour 6 et 8, les multiples de 8 sont 8, 16, 24… et 24 est aussi un multiple de 6. On prend 24.
- En dernier recours, le produit des dénominateurs convient toujours, mais les nombres sont plus grands.
Méthode
Pour calculer une somme ou une différence de fractions :
- Je simplifie d'abord chaque fraction si c'est possible (les calculs seront plus faciles).
- Je cherche le plus petit dénominateur commun.
- J'écris chaque fraction avec ce dénominateur en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
- J'effectue le calcul sur les numérateurs en respectant les signes.
- Je simplifie le résultat.
Exemple
Calculer A = 5/6 + 3/8.
Plus petit multiple commun de 6 et 8 : 24.
5/6 = 20/24 (× 4) et 3/8 = 9/24 (× 3).
A = 20/24 + 9/24 = 29/24.
29 est un nombre premier qui ne divise pas 24 : A = 29/24 est irréductible.
Exemple
Calculer B = 7/10 − 4/15.
Multiples de 15 : 15, 30… 30 est aussi un multiple de 10. Dénominateur commun : 30.
7/10 = 21/30 (× 3) et 4/15 = 8/30 (× 2).
B = 21/30 − 8/30 = 13/30.
3. Fraction et nombre entier
Un nombre entier est une fraction de dénominateur 1 : 3 = 31. On peut donc l'écrire avec n'importe quel dénominateur : 3 = 124 = 217.
Exemple
Calculer C = 2 − 5/3 et D = 4 + 3/5.
C = 6/3 − 5/3 = 1/3.
D = 20/5 + 3/5 = 23/5.
4. Avec des fractions négatives
On applique les règles de la somme algébrique : on place le signe − au numérateur, puis on calcule les numérateurs comme des nombres relatifs.
Exemple
Calculer E = −3/4 + 5/6 − (−1/3).
On simplifie les signes : E = −3/4 + 5/6 + 1/3.
Dénominateur commun : 12.
E = −9/12 + 10/12 + 4/12 = (−9 + 10 + 4)/12 = 5/12.
Exemple
Calculer F = 1/2 − (3/4 − 5/8).
On calcule d'abord la parenthèse : 3/4 − 5/8 = 6/8 − 5/8 = 1/8.
F = 1/2 − 1/8 = 4/8 − 1/8 = 3/8.
Autre méthode : on supprime la parenthèse en changeant les signes : F = 1/2 − 3/4 + 5/8 = 4/8 − 6/8 + 5/8 = 3/8.
5. Tableau récapitulatif
| Situation | Ce qu'on fait | Exemple |
|---|---|---|
| Même dénominateur | on calcule les numérateurs | 49 + 29 = 69 = 23 |
| Un dénominateur multiple de l'autre | on prend le plus grand | 13 + 59 = 39 + 59 = 89 |
| Dénominateurs quelconques | plus petit multiple commun | 14 + 16 = 312 + 212 = 512 |
| Entier et fraction | l'entier devient une fraction | 1 - 27 = 77 - 27 = 57 |
3Je retiens
Je retiens
Même dénominateur : a/d + b/d = (a + b)/d et a/d − b/d = (a − b)/d.
Dénominateurs différents : on réduit d'abord au même dénominateur (de préférence le plus petit multiple commun).
On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux.
Un entier n s'écrit n/1, puis avec le dénominateur voulu : 2 = 10/5.
Signes : on applique les règles de la somme algébrique aux numérateurs.
On simplifie toujours le résultat final.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les numérateurs et les dénominateurs : 1/2 + 1/3 n'est pas 2/5, c'est 5/6.
- Ne multiplier que le dénominateur : pour écrire 3/4 avec le dénominateur 12, il faut aussi multiplier 3 par 3 : 9/12, et non 3/12.
- Oublier de changer les signes en supprimant une parenthèse précédée de − : 1 − (1/2 + 1/4) = 1 − 1/2 − 1/4 = 1/4.
- Oublier de simplifier le résultat : 6/8 doit s'écrire 3/4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et simplifie.
a) 311 + 511 b) 1315 - 415 c) -79 + 19
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3 + 511 = 811.
b) 13 - 415 = 915 = 35.
c) -7 + 19 = -69 = -23.
2Exercice 2
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
a) 25 + 310 b) 56 - 34 c) 712 + 49
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dénominateur 10 : 410 + 310 = 710.
b) Dénominateur 12 : 1012 - 912 = 112.
c) Dénominateur 36 : 2136 + 1636 = 3736 (irréductible, car 37 est premier et ne divise pas 36).
3Exercice 3
Calcule.
a) 3 - 45 b) 72 - 5 c) -1 + 38
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 155 - 45 = 115.
b) 72 - 102 = -32.
c) -88 + 38 = -58.
4Exercice 4
Calcule et simplifie.
a) G = 12 - 23 + 56
b) H = -34 - (16 - 512)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dénominateur 6 : G = 36 - 46 + 56 = 3 - 4 + 56 = 46 = 23.
b) Parenthèse : 16 - 512 = 212 - 512 = -312 = -14.
H = -34 - (-14) = -34 + 14 = -24 = -12.
5Exercice 5
(Problème) Sur un trajet en taxi-brousse de Conakry à Boké, Kadiatou dort pendant 14 du trajet, lit pendant 25 du trajet et bavarde avec ses voisins le reste du temps.
a) Quelle fraction du trajet passe-t-elle à dormir ou à lire ?
b) Quelle fraction du trajet passe-t-elle à bavarder ?
c) Le trajet dure 5 heures. Combien de minutes Kadiatou bavarde-t-elle ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 14 + 25 = 520 + 820 = 1320.
b) 1 - 1320 = 2020 - 1320 = 720.
c) 5 heures = 300 minutes. 300 ÷ 20 = 15, puis 15 × 7 = 105. Kadiatou bavarde pendant 105 minutes, soit 1 h 45 min.
6Exercice 6
(Type examen) On donne K = 53 - 13 × 2 + 34 et L = (53 - 13) × 2 + 34.
Calcule K et L en respectant les priorités, et donne les résultats sous forme irréductible.
Voir le corrigéCacher le corrigé
K : la multiplication est prioritaire : 13 × 2 = 23.
K = 53 - 23 + 34 = 33 + 34 = 1 + 34 = 74.
L : la parenthèse d'abord : 53 - 13 = 43 ; puis 43 × 2 = 83.
L = 83 + 34 = 3212 + 912 = 4112.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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