Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 28
Généralités sur les fractions
Je sais ce qu'est une fraction, je sais reconnaître des fractions égales, simplifier une fraction jusqu'à la rendre irréductible et réduire des fractions au même dénominateur.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une fraction comme un quotient et placer une fraction sur une droite graduée
- Utiliser la propriété des fractions égales
- Simplifier une fraction et obtenir une fraction irréductible
- Réduire des fractions au même dénominateur pour les comparer
- Calculer la fraction d'une quantité
Avant de commencer : La division des nombres relatifs, les tables de multiplication, les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
1Je découvre
Pour la fête de fin d'année à Mamou, Hawa prépare deux grands gâteaux de même taille. Elle coupe le premier en 4 parts égales et le second en 8 parts égales.
Son petit frère Alpha prend 3 parts du premier gâteau. Sa cousine Mariama prend 6 parts du second. Alpha proteste : « Mariama a pris 6 parts et moi seulement 3 ! Ce n'est pas juste ! »
Hawa sourit : « Regarde bien : les parts du deuxième gâteau sont deux fois plus petites. » En réalité, Alpha a pris 34 d'un gâteau et Mariama 68 de l'autre.
Ces deux fractions s'écrivent différemment. Représentent-elles pourtant la même quantité de gâteau ?
Quand deux fractions sont-elles égales, et comment écrire une fraction de la façon la plus simple possible ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'une fraction ?
Soient a et b deux nombres entiers, avec b ≠ 0. La fraction ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a : c'est le quotient de a par b.
- a est le numérateur (il « compte » les parts prises) ;
- b est le dénominateur (il « dénomme » la taille des parts : le nombre de parts égales dans l'unité).
Une fraction peut être supérieure à 1 : 74, c'est 7 quarts, soit une unité entière (44) plus 34. On écrit 74 = 1 + 34.
Une fraction a aussi une écriture décimale quand la division tombe juste : 34 = 0,75 ; 74 = 1,75. Sinon, on garde la fraction pour avoir la valeur exacte : 13 = 0,333…
Signe d'une fraction. On utilise la règle des signes de la division : -34 = 3-4 = -34 et -3-4 = 34. On écrit toujours le résultat avec un dénominateur positif.
2. Les fractions égales
Propriété fondamentale. On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :
ab = a × kb × k et ab = a ÷ kb ÷ k (avec k ≠ 0).
Ainsi 34 = 3 × 24 × 2 = 68 : Alpha et Mariama ont mangé la même quantité de gâteau.
Test des produits en croix. Deux fractions ab et cd sont égales si et seulement si a × d = b × c.
Exemple : 912 et 1520 : 9 × 20 = 180 et 12 × 15 = 180. Les fractions sont égales.
Attention : ajouter ou soustraire un même nombre au numérateur et au dénominateur change la fraction : 12 ≠ 1+12+1 = 23.
3. Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun, pour obtenir une fraction égale avec des nombres plus petits.
Une fraction est irréductible lorsqu'on ne peut plus la simplifier : son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.
Les critères de divisibilité aident beaucoup :
| Un nombre est divisible par… | si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | son dernier chiffre est pair | 346 |
| 3 | la somme de ses chiffres est divisible par 3 | 471 (4+7+1=12) |
| 5 | il se termine par 0 ou 5 | 265 |
| 9 | la somme de ses chiffres est divisible par 9 | 819 (8+1+9=18) |
| 10 | il se termine par 0 | 730 |
Méthode
Pour rendre une fraction irréductible :
- Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (2, 3, 5, 9, 10, 11…).
- Je divise le numérateur et le dénominateur par ce diviseur.
- Je recommence tant que c'est possible.
- Méthode rapide : je divise directement par le plus grand diviseur commun (le PGCD, étudié plus loin dans l'année).
Exemple
Rendre irréductible la fraction 84/126.
84 et 126 sont pairs : 84/126 = 42/63.
4 + 2 = 6 et 6 + 3 = 9 : divisibles par 3 : 42/63 = 14/21.
14 et 21 sont divisibles par 7 : 14/21 = 2/3.
2 et 3 n'ont plus de diviseur commun : 84/126 = 2/3 est irréductible.
(On aurait pu diviser directement par 42.)
Exemple
Simplifier (−45)/60.
Le signe : un seul signe −, donc la fraction est négative : −45/60.
45 et 60 se terminent par 5 et 0 : on divise par 5 : −9/12.
9 et 12 sont divisibles par 3 : −3/4.
4. Réduire au même dénominateur
Pour comparer ou additionner des fractions, on a souvent besoin qu'elles aient le même dénominateur. On cherche un dénominateur commun, de préférence le plus petit multiple commun des dénominateurs.
Exemple
Réduire au même dénominateur 5/6 et 7/9, puis les comparer.
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24… Multiples de 9 : 9, 18, 27… Le plus petit multiple commun est 18.
5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18 et 7/9 = (7 × 2)/(9 × 2) = 14/18.
15 > 14, donc 5/6 > 7/9.
5. Fraction d'une quantité
Prendre la fraction ab d'une quantité Q, c'est calculer ab × Q = a × Qb : on divise Q par b, puis on multiplie par a.
Exemple
Un cultivateur de Guéckédou récolte 1 200 kg de café. Il vend les 3/5 de sa récolte. Combien de kilogrammes a-t-il vendus ?
1 200 ÷ 5 = 240 (un cinquième de la récolte).
240 × 3 = 720.
Il a vendu 720 kg de café ; il lui reste 1 200 − 720 = 480 kg, soit les 2/5.
| Vocabulaire | Sens |
|---|---|
| Numérateur | nombre du haut, nombre de parts prises |
| Dénominateur | nombre du bas, nombre de parts égales dans l'unité |
| Fractions égales | même valeur, écritures différentes |
| Fraction irréductible | fraction qu'on ne peut plus simplifier |
3Je retiens
Je retiens
a/b (b ≠ 0) est le quotient de a par b : a est le numérateur, b le dénominateur.
a/b = (a × k)/(b × k) = (a ÷ k)/(b ÷ k) pour tout k non nul.
a/b = c/d si et seulement si a × d = b × c (produits en croix).
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus d'autre diviseur commun que 1.
−a/b = a/(−b) = −(a/b) ; on écrit le dénominateur positif.
Pour comparer des fractions, on les réduit au même dénominateur.
Les a/b d'une quantité Q : (a × Q)/b.
4Erreurs fréquentes
- Simplifier par soustraction : 7/9 n'est pas égal à 5/7 (on a enlevé 2 en haut et en bas). On ne peut que multiplier ou diviser.
- Simplifier des termes d'une somme : dans (6 + 5)/6, on ne peut pas « barrer » les 6. (6 + 5)/6 = 11/6.
- S'arrêter trop tôt : 12/18 = 6/9 n'est pas fini ; 6/9 = 2/3.
- Croire que la plus grande fraction est celle qui a le plus grand dénominateur : 1/8 < 1/4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète : a) 25 = …20 b) 73 = 35… c) 1824 = …4
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 20 = 5 × 4, donc 25 = 820.
b) 35 = 7 × 5, donc 73 = 3515.
c) 24 ÷ 6 = 4, donc 1824 = 34.
2Exercice 2
Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifie avec les produits en croix.
a) 614 et 921 b) 58 et 711
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 6 × 21 = 126 et 14 × 9 = 126 : les fractions sont égales.
b) 5 × 11 = 55 et 8 × 7 = 56 : 55 ≠ 56, les fractions ne sont pas égales.
3Exercice 3
Rends irréductibles : a) 3648 b) -75105 c) 132198
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a) 3648 = 36 ÷ 1248 ÷ 12 = 34.
b) -75105 = -75105 ; on divise par 5 : -1521 ; puis par 3 : -57.
c) On divise par 2 : 6699 ; par 3 : 2233 ; par 11 : 23.
4Exercice 4
Range dans l'ordre croissant, après réduction au même dénominateur : 23 ; 34 ; 58 ; 712.
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Le plus petit dénominateur commun est 24.
23 = 1624 ; 34 = 1824 ; 58 = 1524 ; 712 = 1424.
Ordre croissant : 712 < 58 < 23 < 34.
5Exercice 5
(Problème) Une coopérative de femmes de Kankan a produit 2 400 L de beurre de karité. Elle en vend les 58 au marché local et les 14 à un commerçant de la capitale.
a) Calcule la quantité vendue au marché local et celle vendue au commerçant.
b) Quelle quantité reste-t-il ? Quelle fraction de la production cela représente-t-il ?
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a) Marché local : 2 400 ÷ 8 = 300, puis 300 × 5 = 1 500 L. Commerçant : 2 400 ÷ 4 = 600 L.
b) Reste : 2 400 - 1 500 - 600 = 300 L. Fraction : 3002 400 = 18 de la production.
6Exercice 6
(Type examen) On donne A = 420588.
a) Montre que 420 et 588 sont divisibles par 2, par 3 et par 7.
b) Écris A sous forme irréductible.
c) Compare A et 34.
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a) 420 et 588 se terminent par un chiffre pair : ils sont divisibles par 2. 4 + 2 + 0 = 6 et 5 + 8 + 8 = 21 sont divisibles par 3 : ils sont divisibles par 3. 420 = 7 × 60 et 588 = 7 × 84 : ils sont divisibles par 7.
b) On divise par 2 × 3 × 7 = 42 : 420 ÷ 42 = 10 et 588 ÷ 42 = 14, donc A = 1014 = 57 (on divise encore par 2). A = 57, irréductible.
c) Dénominateur commun 28 : 57 = 2028 et 34 = 2128. Donc A < 34.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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