Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 28
Calcul littéral : développer un produit
Je sais transformer un produit en somme grâce à la distributivité simple, à la double distributivité et aux produits remarquables.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Développer un produit avec la distributivité simple, y compris avec un facteur négatif
- Développer un produit de deux sommes avec la double distributivité
- Connaître et utiliser les trois produits remarquables
- Réduire l'expression obtenue et vérifier un développement
Avant de commencer : Les opérations sur les nombres relatifs, les expressions littérales et leur valeur numérique (9e-maths-13 et 9e-maths-14), la réduction des termes semblables.
1Je découvre
Hawa cultive un jardin maraîcher carré près de Kankan. Chaque côté mesure x mètres. Cette saison, elle veut l'agrandir : elle ajoute 5 m d'un côté et 2 m de l'autre. Le nouveau jardin est un rectangle qui mesure (x + 5) m sur (x + 2) m.
Pour acheter la bonne quantité de semences, Hawa doit connaître l'aire du nouveau jardin. Elle peut écrire l'aire sous la forme d'un produit : (x + 5)(x + 2). Mais elle aimerait savoir de combien de mètres carrés son jardin a grandi, et pour cela il faut « ouvrir » les parenthèses.
En découpant le nouveau jardin en quatre morceaux rectangulaires, elle voit apparaître quatre aires : x × x, x × 2, 5 × x et 5 × 2.
Comment transformer un produit comme (x + 5)(x + 2) en une somme de termes, sans rien oublier et sans erreur de signe ?
2Je comprends
1. Développer, c'est transformer un produit en somme
Une expression est un produit quand la dernière opération à effectuer est une multiplication, par exemple 3(x + 4) ou (x + 5)(x + 2). Elle est une somme quand la dernière opération est une addition ou une soustraction, par exemple 3x + 12.
Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme. Réduire une somme, c'est regrouper les termes semblables (les termes en x2 ensemble, les termes en x ensemble, les nombres ensemble) pour l'écrire le plus simplement possible. On développe puis on réduit presque toujours.
2. La distributivité simple
Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb.
Le facteur k est « distribué » à chaque terme de la parenthèse. Il faut multiplier chaque terme, en respectant la règle des signes vue avec les nombres relatifs : (+) × (-) = (-) et (-) × (-) = (+).
Cas particulier très fréquent : un signe « moins » devant une parenthèse, c'est multiplier par -1. On change alors le signe de tous les termes de la parenthèse :
-(a + b) = -a - b et -(a - b) = -a + b.
Exemple
Développer A = 3(2x − 5), B = −4(x − 7) et C = −(6 − 2x).
A = 3 × 2x − 3 × 5 = 6x − 15.
B = (−4) × x + (−4) × (−7) = −4x + 28.
C = −6 + 2x, que l'on range souvent ainsi : C = 2x − 6.
3. La double distributivité
Pour développer le produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Pourquoi ? On applique deux fois la distributivité simple, en considérant d'abord (c + d) comme un seul nombre :
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.
On obtient toujours quatre produits avant de réduire. Le schéma ci-dessous reprend le jardin de Hawa : l'aire du grand rectangle est la somme des aires des quatre petits rectangles.
Exemple
Développer et réduire D = (x + 3)(2x − 5).
On multiplie chaque terme de (x + 3) par chaque terme de (2x − 5) :
D = x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5)
D = 2x² − 5x + 6x − 15
D = 2x² + x − 15.
Exemple
Développer et réduire E = (2x − 1)(3x − 4).
E = 2x × 3x + 2x × (−4) + (−1) × 3x + (−1) × (−4)
E = 6x² − 8x − 3x + 4
E = 6x² − 11x + 4.
Attention au dernier produit : (−1) × (−4) = +4.
4. Les trois produits remarquables
Trois produits reviennent si souvent qu'on apprend leur développement par cœur. On les retrouve avec la double distributivité, par exemple :
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.
| Produit | Développement |
|---|---|
| (a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
| (a - b)2 | a2 - 2ab + b2 |
| (a + b)(a - b) | a2 - b2 |
Dans (a + b)2, le terme 2ab s'appelle le double produit. C'est lui que les élèves oublient le plus souvent.
Exemple
Développer F = (x + 5)², G = (3x − 2)² et H = (x + 7)(x − 7).
F : a = x et b = 5. F = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25.
G : a = 3x et b = 2. G = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4.
H : a = x et b = 7. H = x² − 7² = x² − 49.
Ces produits servent aussi au calcul mental :
1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 et 99 × 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 10 000 - 1 = 9 999.
5. Des expressions plus longues
Quand une expression contient plusieurs produits, on développe chaque produit séparément, en gardant des parenthèses si un signe « moins » le précède, puis on réduit.
Exemple
Développer et réduire K = 2(x + 1) − (x − 3)(x + 4).
On développe d'abord le produit : (x − 3)(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12.
On le garde entre parenthèses, car il est précédé d'un signe moins :
K = 2x + 2 − (x² + x − 12)
K = 2x + 2 − x² − x + 12
K = −x² + x + 14.
6. Vérifier un développement
Un développement juste donne la même valeur que le produit de départ pour n'importe quelle valeur de x. Pour vérifier, on remplace x par un nombre simple (1 ou 2, mais évite 0 qui cache des erreurs).
Avec D = (x + 3)(2x - 5) et x = 2 : (2 + 3)(4 - 5) = 5 × (-1) = -5. Avec la forme développée : 2 × 4 + 2 - 15 = -5. Les deux résultats sont égaux : le développement est probablement juste.
Méthode
Pour développer et réduire une expression :
- Je repère chaque produit à développer.
- Je choisis l'outil : distributivité simple, double distributivité ou produit remarquable.
- J'écris tous les produits, en faisant attention aux signes (règle des signes).
- Si un produit est précédé d'un signe moins, je garde son développement entre parenthèses, puis je change tous les signes en les supprimant.
- Je réduis : termes en x², puis termes en x, puis nombres.
- Je vérifie avec une valeur simple de x.
3Je retiens
Je retiens
Développer, c'est transformer un produit en somme ; réduire, c'est regrouper les termes semblables.
Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Signe moins devant une parenthèse : −(a + b) = −a − b ; −(a − b) = −a + b.
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (quatre produits).
(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
On vérifie un développement en remplaçant x par une valeur simple dans les deux écritures.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le double produit : (x + 5)² n'est pas x² + 25, c'est x² + 10x + 25.
- Ne distribuer qu'au premier terme : 3(2x − 5) n'est pas 6x − 5, c'est 6x − 15.
- Oublier de changer tous les signes après un moins : −(x² + x − 12) donne −x² − x + 12, pas −x² + x − 12.
- Se tromper de signe dans un produit : (−1) × (−4) = +4 et non −4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Développe et réduis.
a) 5(x + 4) ; b) -3(2x - 1) ; c) x(x - 6) ; d) -(4 - x).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5(x + 4) = 5x + 20.
b) -3(2x - 1) = -6x + 3.
c) x(x - 6) = x2 - 6x.
d) -(4 - x) = -4 + x = x - 4.
2Exercice 2
Développe et réduis.
a) (x + 2)(x + 6) ; b) (x - 3)(x + 5) ; c) (2x + 1)(x - 4) ; d) (3 - x)(2x - 5).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (x + 2)(x + 6) = x2 + 6x + 2x + 12 = x2 + 8x + 12.
b) (x - 3)(x + 5) = x2 + 5x - 3x - 15 = x2 + 2x - 15.
c) (2x + 1)(x - 4) = 2x2 - 8x + x - 4 = 2x2 - 7x - 4.
d) (3 - x)(2x - 5) = 6x - 15 - 2x2 + 5x = -2x2 + 11x - 15.
3Exercice 3
Utilise les produits remarquables.
a) (x + 6)2 ; b) (2x - 3)2 ; c) (5x + 1)(5x - 1) ; d) calcule mentalement 492.
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a) (x + 6)2 = x2 + 2 × x × 6 + 36 = x2 + 12x + 36.
b) (2x - 3)2 = (2x)2 - 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 - 12x + 9.
c) (5x + 1)(5x - 1) = (5x)2 - 12 = 25x2 - 1.
d) 492 = (50 - 1)2 = 2 500 - 100 + 1 = 2 401.
4Exercice 4
(Type examen) On donne E = (2x + 3)2 - (x - 1)(x + 5).
a) Développe et réduis E.
b) Calcule E pour x = -2, avec la forme de départ puis avec la forme développée. Que constates-tu ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 et (x - 1)(x + 5) = x2 + 5x - x - 5 = x2 + 4x - 5.
E = 4x2 + 12x + 9 - (x2 + 4x - 5) = 4x2 + 12x + 9 - x2 - 4x + 5 = 3x2 + 8x + 14.
b) Forme de départ : (2 × (-2) + 3)2 - (-2 - 1)(-2 + 5) = (-1)2 - (-3) × 3 = 1 + 9 = 10.
Forme développée : 3 × (-2)2 + 8 × (-2) + 14 = 12 - 16 + 14 = 10.
On trouve la même valeur, ce qui confirme le développement.
5Exercice 5
(Problème) Sékou possède un champ carré de côté x mètres, en Guinée forestière. Il propose à son voisin de l'échanger contre un champ rectangulaire dont la longueur mesure 3 m de plus et la largeur 3 m de moins.
a) Exprime l'aire du champ rectangulaire en fonction de x, puis développe-la.
b) L'échange est-il avantageux pour Sékou ? Justifie.
c) Vérifie avec x = 20.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Aire du rectangle : (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 (produit remarquable (a + b)(a - b) = a2 - b2).
b) L'aire du champ carré est x2. Le champ rectangulaire a une aire de x2 - 9, donc 9 m² de moins. L'échange n'est pas avantageux pour Sékou : il perdrait 9 m², quelle que soit la valeur de x.
c) Avec x = 20 : carré 202 = 400 m² ; rectangle 23 × 17 = 391 m² ; et 400 - 391 = 9 m². C'est bien cohérent.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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