Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 28
Calcul littéral : factoriser une somme
Je sais transformer une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun ou en reconnaissant un produit remarquable.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un facteur commun (nombre, lettre ou parenthèse) et factoriser avec ka + kb = k(a + b)
- Factoriser en reconnaissant a² + 2ab + b², a² − 2ab + b² ou a² − b²
- Vérifier une factorisation en développant
- Utiliser la factorisation pour calculer astucieusement
Avant de commencer : Développer un produit : distributivité simple, double distributivité et produits remarquables (9e-maths-15).
1Je découvre
Aïssatou tient la caisse de la boutique de son oncle, à Labé. Un client achète 37 paquets de savon à 13 000 GNF le paquet, puis 37 paquets de sucre à 87 000 GNF le paquet. Son cousin Ibrahima sort sa calculatrice pour faire 37 × 13 000 + 37 × 87 000.
Aïssatou répond en deux secondes : « 3 700 000 GNF ». Surpris, Ibrahima vérifie : c'est juste. Elle explique : « Dans les deux achats, il y a 37 paquets. Le client paie donc 37 fois (13 000 + 87 000), c'est-à-dire 37 fois 100 000. »
Aïssatou a transformé une somme de deux produits en un seul produit, beaucoup plus simple à calculer. En calcul littéral, on fait la même chose avec des expressions comme 5x2 + 15x ou (x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 4). Cette transformation est très utile : en 10e, elle servira à résoudre des équations et à étudier des signes.
Comment écrire une somme sous la forme d'un produit, et comment être sûr de ne pas s'être trompé ?
2Je comprends
1. Factoriser, c'est le contraire de développer
Factoriser une somme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement.
- produit → somme
- 3(2x + 5) devient 6x + 15
- (x + 3)² devient x² + 6x + 9
- on lit k(a + b) = ka + kb de gauche à droite
- somme → produit
- 6x + 15 devient 3(2x + 5)
- x² + 6x + 9 devient (x + 3)²
- on lit ka + kb = k(a + b) de droite à gauche
Une conséquence importante : pour vérifier une factorisation, il suffit de développer le résultat. On doit retrouver l'expression de départ.
2. Factoriser avec un facteur commun
La distributivité lue « à l'envers » donne :
ka + kb = k(a + b) et ka - kb = k(a - b).
Le nombre ou l'expression k qui apparaît dans chaque terme s'appelle le facteur commun. Il peut être :
- un nombre : 6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5 = 3(2x + 5) ;
- une lettre : x2 - 7x = x × x - 7 × x = x(x - 7) ;
- un nombre et une lettre : 4x2 + 10x = 2x × 2x + 2x × 5 = 2x(2x + 5) ;
- une expression entre parenthèses : (x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 4) a pour facteur commun (x + 2).
Pour bien factoriser, on cherche le plus grand facteur commun possible. Par exemple 12x + 18 = 2(6x + 9) est juste, mais incomplet : 6x + 9 contient encore le facteur 3. La factorisation complète est 12x + 18 = 6(2x + 3).
Exemple
Factoriser A = (x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 4).
Le facteur commun est (x + 2). On l'écrit devant, puis on met entre crochets ce qui reste de chaque terme :
A = (x + 2)[(3x − 1) + (x + 4)]
A = (x + 2)(3x − 1 + x + 4)
A = (x + 2)(4x + 3).
Exemple
Factoriser B = (2x − 1)(x + 3) − (2x − 1)(5 − x).
Facteur commun : (2x − 1). Attention au signe moins devant le second terme.
B = (2x − 1)[(x + 3) − (5 − x)]
B = (2x − 1)(x + 3 − 5 + x)
B = (2x − 1)(2x − 2).
On peut encore factoriser 2x − 2 = 2(x − 1), donc B = 2(2x − 1)(x − 1).
3. Le facteur commun caché
Parfois, le facteur commun ne se voit pas tout de suite.
- Le facteur 1 invisible : dans (x + 5) + (x + 5)(2x - 1), le premier terme s'écrit (x + 5) × 1. Donc :
(x + 5) × 1 + (x + 5)(2x - 1) = (x + 5)(1 + 2x - 1) = (x + 5) × 2x = 2x(x + 5).
- Le carré : dans (x - 4)2 + 3(x - 4), on écrit (x - 4)2 = (x - 4)(x - 4). Donc :
(x - 4)(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x - 4 + 3) = (x - 4)(x - 1).
4. Factoriser avec les produits remarquables
Quand il n'y a pas de facteur commun, on regarde si l'expression ressemble à un développement remarquable. On lit alors les égalités de droite à gauche :
| Forme développée | Forme factorisée |
|---|---|
| a2 + 2ab + b2 | (a + b)2 |
| a2 - 2ab + b2 | (a - b)2 |
| a2 - b2 | (a - b)(a + b) |
La plus facile à reconnaître est la différence de deux carrés a2 - b2 : deux termes, deux carrés, un signe moins entre eux.
Pour a2 + 2ab + b2, il faut trois termes : deux carrés et un double produit. On vérifie toujours le double produit.
Exemple
Factoriser C = x² − 36, D = 9x² − 25, E = x² + 10x + 25 et F = 4x² − 12x + 9.
C = x² − 6² = (x − 6)(x + 6).
D = (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5).
E : x² est le carré de x, 25 est le carré de 5, et 2 × x × 5 = 10x. Donc E = (x + 5)².
F : 4x² = (2x)², 9 = 3², et 2 × 2x × 3 = 12x, précédé du signe moins. Donc F = (2x − 3)².
Exemple
Factoriser G = (x + 1)² − 16.
G est une différence de deux carrés avec a = x + 1 et b = 4 :
G = [(x + 1) − 4][(x + 1) + 4] = (x − 3)(x + 5).
Vérification en développant : (x − 3)(x + 5) = x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15, et (x + 1)² − 16 = x² + 2x + 1 − 16 = x² + 2x − 15. C'est juste.
Remarque : une somme de deux carrés comme x2 + 9 ne se factorise pas avec ces outils. Ne confonds pas avec x2 - 9.
5. La factorisation pour calculer vite
Comme Aïssatou, on peut utiliser la factorisation pour le calcul mental :
- 58 × 47 + 58 × 53 = 58 × (47 + 53) = 58 × 100 = 5 800 ;
- 1032 - 972 = (103 - 97)(103 + 97) = 6 × 200 = 1 200.
Méthode
Pour factoriser une somme :
- Je cherche d'abord un facteur commun (nombre, lettre, parenthèse), en pensant au facteur 1 invisible et aux carrés.
- S'il y en a un, je l'écris devant et je mets entre crochets ce qui reste de chaque terme, en gardant les signes.
- Sinon, je cherche un produit remarquable : a² − b² (deux carrés séparés par un moins), ou a² ± 2ab + b² (je vérifie le double produit).
- Je réduis l'intérieur des crochets et je regarde si un facteur peut encore être factorisé.
- Je vérifie en développant mon résultat.
3Je retiens
Je retiens
Factoriser, c'est transformer une somme en produit ; c'est l'inverse de développer.
Facteur commun : ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b). Le facteur peut être un nombre, une lettre ou une parenthèse.
Penser au facteur 1 invisible : A + A × B = A(1 + B).
a² + 2ab + b² = (a + b)² ; a² − 2ab + b² = (a − b)² ; a² − b² = (a − b)(a + b).
Ordre de recherche : d'abord le facteur commun, ensuite les produits remarquables.
On vérifie toujours une factorisation en la développant.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins devant la seconde parenthèse : (2x − 1)(x + 3) − (2x − 1)(5 − x) donne (2x − 1)(x + 3 − 5 + x), pas (2x − 1)(x + 3 + 5 − x).
- Oublier le facteur 1 : (x + 5) + (x + 5)(2x − 1) n'est pas (x + 5)(2x − 1), c'est (x + 5)(1 + 2x − 1).
- Confondre x² + 9 et x² − 9 : seule la différence de deux carrés se factorise en (x − 3)(x + 3).
- Ne pas vérifier le double produit : x² + 6x + 16 n'est pas (x + 4)², car 2 × x × 4 = 8x et non 6x.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Factorise le plus possible.
a) 7x - 21 ; b) 12x2 + 8x ; c) -5x - 10 ; d) a2b + ab2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 7x - 21 = 7(x - 3).
b) 12x2 + 8x = 4x × 3x + 4x × 2 = 4x(3x + 2).
c) -5x - 10 = -5(x + 2) (on vérifie : -5 × x = -5x et -5 × 2 = -10).
d) a2b + ab2 = ab × a + ab × b = ab(a + b).
2Exercice 2
Factorise, puis réduis chaque facteur.
a) (x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x - 5)
b) (3x - 2)(x + 4) - (3x - 2)(2x - 1)
c) (x - 7)2 + (x - 7)(2x + 1)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Facteur commun (x + 1) : (x + 1)[(2x + 3) + (x - 5)] = (x + 1)(3x - 2).
b) Facteur commun (3x - 2) : (3x - 2)[(x + 4) - (2x - 1)] = (3x - 2)(x + 4 - 2x + 1) = (3x - 2)(-x + 5), que l'on peut écrire (3x - 2)(5 - x).
c) Facteur commun (x - 7) : (x - 7)[(x - 7) + (2x + 1)] = (x - 7)(3x - 6). Comme 3x - 6 = 3(x - 2), on obtient 3(x - 7)(x - 2).
3Exercice 3
Factorise à l'aide des produits remarquables.
a) x2 - 81 ; b) 16x2 - 1 ; c) x2 - 14x + 49 ; d) 9x2 + 6x + 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x2 - 81 = x2 - 92 = (x - 9)(x + 9).
b) 16x2 - 1 = (4x)2 - 12 = (4x - 1)(4x + 1).
c) x2 - 14x + 49 : 49 = 72 et 2 × x × 7 = 14x, donc (x - 7)2.
d) 9x2 + 6x + 1 : 9x2 = (3x)2, 1 = 12 et 2 × 3x × 1 = 6x, donc (3x + 1)2.
4Exercice 4
(Type examen) On donne F = (2x + 1)2 - 9.
a) Développe et réduis F.
b) Factorise F.
c) Choisis la forme la plus pratique pour calculer F lorsque x = 1, puis lorsque x = 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) F = 4x2 + 4x + 1 - 9 = 4x2 + 4x - 8.
b) F = (2x + 1)2 - 32 = [(2x + 1) - 3][(2x + 1) + 3] = (2x - 2)(2x + 4).
Chaque facteur contient 2 : 2x - 2 = 2(x - 1) et 2x + 4 = 2(x + 2), donc F = 4(x - 1)(x + 2).
Vérification : 4(x - 1)(x + 2) = 4(x2 + 2x - x - 2) = 4(x2 + x - 2) = 4x2 + 4x - 8. C'est juste.
c) Pour x = 1, la forme factorisée est la plus rapide : F = 4 × 0 × 3 = 0.
Pour x = 0, la forme développée est la plus rapide : F = 0 + 0 - 8 = -8.
5Exercice 5
Calcule astucieusement, sans calculatrice.
a) 58 × 47 + 58 × 53 ; b) 1032 - 972 ; c) 25 × 17 - 25 × 13.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 58 × (47 + 53) = 58 × 100 = 5 800.
b) (103 - 97)(103 + 97) = 6 × 200 = 1 200.
c) 25 × (17 - 13) = 25 × 4 = 100.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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