Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 28
Résoudre des problèmes à l'aide d'équations
Je sais traduire un problème de la vie courante par une équation, la résoudre et rédiger une réponse vérifiée.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Choisir et définir clairement l'inconnue d'un problème
- Traduire les phrases de l'énoncé en expressions littérales puis en équation
- Résoudre l'équation et vérifier la solution dans l'énoncé
- Rédiger une phrase de conclusion avec les bonnes unités
Avant de commencer : Résoudre une équation du premier degré (9e-maths-17), développer une expression (9e-maths-15).
1Je découvre
Alpha, Sékou et Ousmane sont trois frères de Kissidougou. Leur oncle leur donne 1 200 000 GNF à partager pour les fêtes, avec une règle : Sékou, l'aîné, reçoit le double de la part d'Alpha, et Ousmane reçoit 150 000 GNF de plus qu'Alpha.
Les trois garçons discutent longtemps. Ousmane propose de donner 300 000 GNF à Alpha : Sékou aurait alors 600 000 GNF et Ousmane 450 000 GNF, ce qui fait 1 350 000 GNF. C'est trop ! Ils essaient 250 000 GNF : cela fait 250 000 + 500 000 + 400 000 = 1 150 000 GNF. Pas assez...
Leur cousine Mariama, en 9e année, sourit : « Au lieu de chercher au hasard, appelons x la part d'Alpha et écrivons une équation. »
Comment transformer un problème écrit en phrases en une équation, la résoudre, et donner une réponse sûre ?
2Je comprends
1. Les cinq étapes d'un problème
Tous les problèmes de ce chapitre se résolvent avec la même démarche.
- 1Choisir l'inconnue : écrire « Soit x ... » en précisant ce que représente x et son unité.
- 2Exprimer les autres grandeurs du problème en fonction de x.
- 3Mettre en équation : traduire la phrase qui donne une égalité.
- 4Résoudre l'équation.
- 5Vérifier que la solution convient à l'énoncé (et pas seulement à l'équation).
- 6Conclure par une phrase qui répond exactement à la question, avec l'unité.
Le plus souvent, on choisit comme inconnue la plus petite quantité, ou celle dont les autres dépendent. Dans le problème des trois frères, tout dépend de la part d'Alpha : c'est elle qu'on appelle x.
2. Le petit dictionnaire de la mise en équation
Il faut savoir traduire les expressions françaises en langage mathématique.
| En français | En calcul littéral |
|---|---|
| le double de x | 2x |
| le triple de x | 3x |
| la moitié de x | x2 |
| le tiers de x | x3 |
| 5 de plus que x | x + 5 |
| 5 de moins que x | x - 5 |
| le triple de x diminué de 4 | 3x - 4 |
| le triple de (x diminué de 4) | 3(x - 4) |
| deux nombres entiers consécutifs | x et x + 1 |
| l'âge de quelqu'un dans 6 ans | x + 6 |
| l'âge de quelqu'un il y a 6 ans | x - 6 |
Attention à la place des parenthèses : « le triple de x diminué de 4 » et « le triple de la différence entre x et 4 » ne donnent pas la même expression.
3. Des exemples complets
Exemple
Le partage des trois frères.
Choix de l'inconnue : soit x la part d'Alpha, en GNF.
Autres grandeurs : la part de Sékou est 2x ; celle d'Ousmane est x + 150 000.
Mise en équation : la somme des trois parts est 1 200 000 GNF :
x + 2x + (x + 150 000) = 1 200 000.
Résolution : 4x + 150 000 = 1 200 000, donc 4x = 1 050 000 et x = 262 500.
Vérification : Sékou reçoit 525 000 GNF, Ousmane 412 500 GNF, et 262 500 + 525 000 + 412 500 = 1 200 000.
Conclusion : Alpha reçoit 262 500 GNF, Sékou 525 000 GNF et Ousmane 412 500 GNF.
Exemple
Un problème d'âges.
Mamadou a 12 ans et son père a 42 ans. Dans combien d'années le père aura-t-il exactement le double de l'âge de son fils ?
Soit x le nombre d'années cherché.
Dans x ans, Mamadou aura 12 + x ans et son père 42 + x ans.
Mise en équation : 42 + x = 2(12 + x).
Résolution : 42 + x = 24 + 2x, donc x − 2x = 24 − 42, soit −x = −18, et x = 18.
Vérification : dans 18 ans, Mamadou aura 30 ans et son père 60 ans ; 60 = 2 × 30.
Conclusion : dans 18 ans, le père aura le double de l'âge de son fils.
Exemple
Un problème de géométrie.
Un terrain rectangulaire a une longueur égale au triple de sa largeur et un périmètre de 96 m. Quelles sont ses dimensions ?
Soit x la largeur, en mètres. La longueur est 3x.
Périmètre : 2(x + 3x) = 96, soit 8x = 96, donc x = 12.
Vérification : largeur 12 m, longueur 36 m, périmètre 2 × (12 + 36) = 96 m.
Conclusion : le terrain mesure 36 m de long et 12 m de large.
Exemple
Trois nombres consécutifs.
La somme de trois nombres entiers consécutifs est 156. Quels sont ces nombres ?
Soit x le plus petit. Les suivants sont x + 1 et x + 2.
x + (x + 1) + (x + 2) = 156, soit 3x + 3 = 156, donc 3x = 153 et x = 51.
Vérification : 51 + 52 + 53 = 156.
Conclusion : les nombres sont 51, 52 et 53.
4. Pourquoi vérifier dans l'énoncé ?
Une solution de l'équation n'est pas toujours une réponse acceptable au problème. Il faut se demander si elle a du sens :
- un nombre de personnes ou d'objets doit être un entier positif ;
- une longueur, un prix ou une masse doit être positif ;
- un âge doit être raisonnable.
Si tu trouves qu'un car transporte 12,5 passagers, c'est qu'il y a une erreur dans la mise en équation ou dans le calcul. La vérification dans l'énoncé (et pas seulement dans l'équation) permet aussi de repérer une mauvaise traduction.
Méthode
Pour rédiger la solution d'un problème :
- « Soit x ... » : je définis l'inconnue avec son unité.
- J'écris les autres quantités en fonction de x, une par ligne.
- J'écris l'équation en expliquant d'où elle vient (« la somme des parts est ... »).
- Je résous proprement, étape par étape.
- Je vérifie avec les données de l'énoncé.
- Je conclus par une phrase complète qui répond à la question posée, avec l'unité.
3Je retiens
Je retiens
Démarche : choisir l'inconnue, exprimer les autres grandeurs, mettre en équation, résoudre, vérifier, conclure.
On définit toujours l'inconnue par une phrase : « Soit x la largeur du terrain, en mètres ».
Le double : 2x ; la moitié : x/2 ; 5 de plus : x + 5 ; consécutifs : x et x + 1 ; dans n ans : x + n.
On vérifie la solution dans l'énoncé, pas seulement dans l'équation.
La solution doit avoir un sens (entier, positif, réaliste).
La conclusion est une phrase qui répond à la question, avec l'unité.
4Erreurs fréquentes
- Ne pas dire ce que représente x : on se perd ensuite dans les calculs et la conclusion devient fausse.
- Oublier d'ajouter le nombre d'années aux deux personnes dans un problème d'âges : dans x ans, le père ET le fils ont vieilli de x ans.
- Répondre seulement « x = 12 » : il faut répondre à la question posée (« la largeur est 12 m et la longueur 36 m »).
- Mal placer les parenthèses : « le double de la somme de x et 3 » s'écrit 2(x + 3), pas 2x + 3.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Traduis chaque phrase par une expression littérale, en appelant x le nombre.
a) Le quadruple d'un nombre. b) Un nombre augmenté de 7. c) La moitié d'un nombre, diminuée de 3. d) Le double de la somme d'un nombre et de 5.
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a) 4x ; b) x + 7 ; c) x2 - 3 ; d) 2(x + 5).
2Exercice 2
Si j'ajoute 17 au triple d'un nombre, j'obtiens 62. Quel est ce nombre ?
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Soit x le nombre. Le triple augmenté de 17 s'écrit 3x + 17.
Équation : 3x + 17 = 62, donc 3x = 45 et x = 15.
Vérification : 3 × 15 + 17 = 45 + 17 = 62.
Le nombre cherché est 15.
3Exercice 3
Un car part de Mamou. Au premier arrêt, le tiers des passagers descend et 5 personnes montent. Il y a alors 25 passagers dans le car. Combien y en avait-il au départ ?
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Soit x le nombre de passagers au départ. Il en descend x3, puis 5 montent.
Équation : x - x3 + 5 = 25.
On multiplie par 3 : 3x - x + 15 = 75, soit 2x = 60, donc x = 30.
Vérification : le tiers de 30 est 10 ; 30 - 10 + 5 = 25. C'est juste, et 30 est bien un entier.
Il y avait 30 passagers au départ.
4Exercice 4
Hawa a quatre fois l'âge de sa fille. Dans 5 ans, elle n'aura plus que le triple de l'âge de sa fille. Quel est l'âge de chacune aujourd'hui ?
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Soit x l'âge de la fille aujourd'hui, en années. Hawa a 4x ans.
Dans 5 ans : la fille aura x + 5 ans et Hawa 4x + 5 ans.
Équation : 4x + 5 = 3(x + 5), soit 4x + 5 = 3x + 15, donc x = 10.
Vérification : aujourd'hui 10 ans et 40 ans ; dans 5 ans, 15 ans et 45 ans, et 45 = 3 × 15.
La fille a 10 ans et Hawa a 40 ans.
5Exercice 5
(Type examen) Un triangle isocèle a un périmètre de 50 cm. Sa base mesure 7 cm de moins que chacun des deux côtés égaux. Calcule la longueur de chaque côté.
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Soit x la longueur de chacun des deux côtés égaux, en cm. La base mesure x - 7.
Équation : x + x + (x - 7) = 50, soit 3x - 7 = 50, donc 3x = 57 et x = 19.
Vérification : 19 + 19 + 12 = 50 et 12 = 19 - 7.
Les deux côtés égaux mesurent 19 cm et la base mesure 12 cm.
6Exercice 6
Lansana a 20 billets dans son portefeuille : des billets de 1 000 GNF et des billets de 5 000 GNF. Il possède en tout 60 000 GNF. Combien a-t-il de billets de chaque sorte ?
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Soit x le nombre de billets de 5 000 GNF. Il y a alors 20 - x billets de 1 000 GNF.
Équation : 5 000x + 1 000(20 - x) = 60 000.
5 000x + 20 000 - 1 000x = 60 000, soit 4 000x = 40 000, donc x = 10.
Vérification : 10 billets de 5 000 GNF font 50 000 GNF, 10 billets de 1 000 GNF font 10 000 GNF, total 60 000 GNF pour 20 billets.
Lansana a 10 billets de 5 000 GNF et 10 billets de 1 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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