Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 28
Les équations
Je sais vérifier si un nombre est solution d'une équation et résoudre une équation du premier degré à une inconnue, même avec des parenthèses ou des fractions.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître le vocabulaire : équation, inconnue, membres, solution
- Tester si un nombre est solution d'une équation
- Utiliser les règles d'équivalence pour résoudre une équation du premier degré
- Traiter les équations avec parenthèses, avec fractions, et les cas sans solution ou avec une infinité de solutions
Avant de commencer : Les opérations sur les nombres relatifs et les fractions, développer et réduire une expression (9e-maths-15).
1Je découvre
Ibrahima prépare la rentrée scolaire à Faranah. À la librairie, il achète 3 cahiers identiques et un stylo à 2 000 GNF. Il paie en tout 17 000 GNF, mais il a perdu le ticket et ne se souvient plus du prix d'un cahier.
Sa sœur Kadiatou lui propose d'appeler x le prix d'un cahier, en francs guinéens. Trois cahiers coûtent 3x, et avec le stylo on obtient 3x + 2 000. Comme il a payé 17 000 GNF, elle écrit :
3x + 2 000 = 17 000.
Ibrahima essaie des valeurs au hasard : 4 000 GNF donne 12 000 + 2 000 = 14 000, trop peu ; 6 000 GNF donne 20 000, trop. Il finit par trouver 5 000 GNF. Mais cette méthode par essais est longue, et elle ne marche plus si la réponse est un nombre comme -53.
Comment trouver, de façon sûre et rapide, la valeur de l'inconnue qui rend une égalité vraie ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent x) appelée inconnue.
Dans 3x + 2 000 = 17 000 :
- 3x + 2 000 est le premier membre (à gauche du signe =) ;
- 17 000 est le second membre (à droite).
Un nombre est solution de l'équation si, en remplaçant x par ce nombre, l'égalité est vraie. Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Dans cette leçon, on étudie les équations du premier degré : l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1 (pas de x2).
2. Tester si un nombre est solution
On calcule séparément chaque membre en remplaçant x par le nombre, puis on compare.
Exemple
Le nombre −3 est-il solution de 7x + 3 = 2x − 12 ?
Premier membre : 7 × (−3) + 3 = −21 + 3 = −18.
Second membre : 2 × (−3) − 12 = −6 − 12 = −18.
Les deux membres sont égaux : −3 est solution de l'équation.
3. Les règles pour résoudre
Une équation fonctionne comme une balance en équilibre. Si l'on fait la même chose des deux côtés, l'équilibre est conservé.
Règle 1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression) aux deux membres.
Règle 2. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Conséquence pratique de la règle 1 : un terme qui change de membre change de signe. Par exemple, dans 4x - 7 = 13, on ajoute 7 aux deux membres : 4x = 13 + 7. On dit souvent qu'on « fait passer -7 de l'autre côté » : il devient +7.
Conséquence pratique de la règle 2 : dans 4x = 20, on divise les deux membres par 4 : x = 204 = 5. Le coefficient 4 ne change pas de signe : il devient un diviseur.
- 1Développer les parenthèses s'il y en a, puis réduire chaque membre.
- 2Regrouper les termes en x dans le premier membre (ils changent de signe s'ils changent de membre).
- 3Regrouper les nombres dans le second membre (même règle des signes).
- 4Réduire : on obtient ax = b.
- 5Diviser les deux membres par a (si a n'est pas nul) : x = b/a.
- 6Vérifier en remplaçant x dans l'équation de départ, puis conclure.
4. Des équations de plus en plus complètes
Exemple
Résoudre 5x = −35, puis 4x − 7 = 13.
5x = −35, donc x = −35 ÷ 5 = −7. La solution est −7.
4x − 7 = 13
4x = 13 + 7
4x = 20
x = 20 ÷ 4 = 5. La solution est 5.
Retour au problème d'Ibrahima : 3x + 2 000 = 17 000 donne 3x = 15 000, donc x = 5 000. Un cahier coûte 5 000 GNF.
Exemple
Résoudre 7x + 3 = 2x − 12.
On regroupe les x à gauche et les nombres à droite :
7x − 2x = −12 − 3
5x = −15
x = −15 ÷ 5 = −3.
La solution est −3 (on l'a vérifié au paragraphe 2).
Exemple
Résoudre 3(x − 2) − (x + 4) = 5x + 2.
On développe et on réduit le premier membre :
3x − 6 − x − 4 = 5x + 2
2x − 10 = 5x + 2
2x − 5x = 2 + 10
−3x = 12
x = 12 ÷ (−3) = −4.
Vérification : 3(−4 − 2) − (−4 + 4) = 3 × (−6) − 0 = −18 et 5 × (−4) + 2 = −18. La solution est −4.
5. Les équations avec des fractions
Quand l'équation contient des fractions, on multiplie les deux membres par un dénominateur commun (le plus petit possible). Les fractions disparaissent.
Exemple
Résoudre x/2 + x/3 = 10.
Le plus petit dénominateur commun de 2 et 3 est 6. On multiplie chaque terme par 6 :
6 × x/2 + 6 × x/3 = 6 × 10
3x + 2x = 60
5x = 60
x = 12.
Vérification : 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10. La solution est 12.
6. Deux cas particuliers
Il arrive que les x disparaissent complètement.
- 2(x + 3) = 2x + 1 donne 2x + 6 = 2x + 1, puis 0x = -5, soit 0 = -5 : c'est impossible. L'équation n'a aucune solution.
- 3(x - 1) = 3x - 3 donne 3x - 3 = 3x - 3 : l'égalité est vraie pour tous les nombres. Tout nombre est solution.
On écrit l'ensemble des solutions S entre accolades : S = {-4} pour une seule solution ; S = ∅ (ensemble vide) s'il n'y en a aucune.
3Je retiens
Je retiens
Une équation est une égalité contenant une inconnue ; une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie.
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres : un terme qui change de membre change de signe.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : ax = b donne x = b/a.
Ordre : développer, regrouper les x d'un côté et les nombres de l'autre, réduire, diviser, vérifier.
Avec des fractions : on multiplie tous les termes par un dénominateur commun.
0x = b avec b non nul : aucune solution ; 0x = 0 : tout nombre est solution.
4Erreurs fréquentes
- Changer le signe du coefficient en divisant : −3x = 12 donne x = 12 ÷ (−3) = −4, et non x = 12 ÷ 3.
- Oublier de changer le signe d'un terme qui change de membre : 7x + 3 = 2x − 12 donne 7x − 2x = −12 − 3.
- Oublier de multiplier un terme par le dénominateur commun : dans x/2 + x/3 = 10, il faut aussi multiplier 10 par 6.
- Mal développer après un signe moins : −(x + 4) = −x − 4, pas −x + 4.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Le nombre -2 est-il solution de 3x + 8 = x + 4 ? Et le nombre 1 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour x = -2 : premier membre 3 × (-2) + 8 = 2 ; second membre -2 + 4 = 2. Les membres sont égaux : -2 est solution.
Pour x = 1 : premier membre 3 + 8 = 11 ; second membre 1 + 4 = 5. 11 ≠ 5 : 1 n'est pas solution.
2Exercice 2
Résous les équations.
a) x + 9 = 4 ; b) -6x = 42 ; c) 3x - 5 = 16 ; d) x4 = -3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x = 4 - 9 = -5. S = {-5}.
b) x = 42-6 = -7. S = {-7}.
c) 3x = 16 + 5 = 21, donc x = 7. S = {7}.
d) On multiplie par 4 : x = -3 × 4 = -12. S = {-12}.
3Exercice 3
Résous les équations.
a) 8x - 3 = 5x + 12 ; b) 2 - 4x = 7 - x ; c) 5(x - 1) = 2(x + 8).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 8x - 5x = 12 + 3, soit 3x = 15, donc x = 5. S = {5}.
b) -4x + x = 7 - 2, soit -3x = 5, donc x = -53.
Vérification : 2 - 4 × (-53) = 2 + 203 = 263 et 7 - (-53) = 7 + 53 = 263. S = {-53}.
c) 5x - 5 = 2x + 16, donc 3x = 21 et x = 7. S = {7}.
4Exercice 4
Résous les équations.
a) x3 - 1 = x5 + 1 ; b) 2x + 14 = x - 12.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le dénominateur commun de 3 et 5 est 15. On multiplie chaque terme par 15 :
5x - 15 = 3x + 15, donc 2x = 30 et x = 15.
Vérification : 153 - 1 = 4 et 155 + 1 = 4. S = {15}.
b) Le dénominateur commun est 4. On multiplie les deux membres par 4 : 2x + 1 = 2(x - 1), soit 2x + 1 = 2x - 2, puis 0x = -3. C'est impossible : l'équation n'a aucune solution. S = ∅.
5Exercice 5
(Type examen) Résous l'équation 4(2x - 3) - 3(x - 5) = 2(x + 6) et vérifie ta solution.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On développe : 8x - 12 - 3x + 15 = 2x + 12.
On réduit : 5x + 3 = 2x + 12.
On regroupe : 5x - 2x = 12 - 3, soit 3x = 9, donc x = 3.
Vérification : premier membre 4(6 - 3) - 3(3 - 5) = 4 × 3 - 3 × (-2) = 12 + 6 = 18 ; second membre 2(3 + 6) = 18. Les membres sont égaux.
La solution est 3 : S = {3}.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
