Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 28
Le théorème de Pythagore
Je sais utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand je connais les deux autres.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer le théorème de Pythagore et repérer l'hypoténuse
- Calculer la longueur de l'hypoténuse
- Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
- Rédiger correctement et donner une valeur exacte ou approchée
Avant de commencer : La racine carrée d'un nombre positif (9e-maths-21), le triangle rectangle et son hypoténuse (9e-maths-22), les carrés et le développement de (a + b)² (9e-maths-15).
1Je découvre
Sur un chantier de Kindia, Mamadou doit monter sur le mur d'une maison en construction pour poser des tôles. Le sommet du mur est à 3,6 m du sol. Pour que l'échelle ne glisse pas, son chef lui dit de placer le pied de l'échelle à 1,5 m du mur.
Le mur est vertical et le sol est horizontal : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. Mamadou a trois échelles à sa disposition : une de 3,5 m, une de 3,9 m et une de 4,5 m. La première semble trop courte, la dernière trop longue. Mais comment en être sûr sans essayer, et sans risquer une chute ?
Dans un triangle rectangle, il existe une relation très célèbre entre les longueurs des trois côtés. Elle porte le nom de Pythagore, un savant grec de l'Antiquité, mais elle était déjà utilisée bien avant lui par des bâtisseurs de plusieurs civilisations.
Dans un triangle rectangle, comment calculer la longueur d'un côté quand on connaît les deux autres ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Dans un triangle ABC rectangle en A :
- [BC], le côté opposé à l'angle droit, est l'hypoténuse ; c'est le plus long côté ;
- [AB] et [AC] sont les côtés de l'angle droit.
Pour repérer l'hypoténuse sans se tromper : c'est le côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit.
2. L'énoncé du théorème
Théorème de Pythagore. Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2.
On dit souvent : « le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ».
3. Pourquoi c'est vrai : une preuve par les aires
Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent a et b, et l'hypoténuse c. On place quatre copies de ce triangle dans un grand carré de côté a + b, comme sur la figure (ici avec a = 3 et b = 4). Au milieu, il reste un carré de côté c.
On calcule l'aire du grand carré de deux façons :
- directement : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
- en additionnant les morceaux : quatre triangles d'aire ab2 et le carré central d'aire c2, soit 4 × ab2 + c2 = 2ab + c2.
Les deux résultats sont égaux : a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2. On enlève 2ab de chaque côté : c2 = a2 + b2.
Sur la figure : 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. L'hypoténuse mesure 5.
4. Calculer la longueur de l'hypoténuse
Exemple
ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 6² + 8²
BC² = 36 + 64
BC² = 100
BC = √100 = 10 cm (une longueur est positive).
Exemple
Retour à l'échelle de Mamadou.
Le triangle formé par le mur (3,6 m), le sol (1,5 m) et l'échelle est rectangle au pied du mur. L'échelle est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore :
L² = 3,6² + 1,5² = 12,96 + 2,25 = 15,21, donc L = √15,21 = 3,9 m.
L'échelle de 3,9 m convient exactement. Celle de 3,5 m est trop courte ; celle de 4,5 m dépasserait du mur.
Quand le résultat n'est pas un carré parfait, on donne la valeur exacte avec une racine carrée, puis une valeur approchée.
Exemple
EFG est rectangle en E, avec EF = 3 cm et EG = 5 cm. Calculer FG.
D'après le théorème de Pythagore dans EFG rectangle en E :
FG² = EF² + EG² = 9 + 25 = 34.
FG = √34 cm (valeur exacte) ; FG ≈ 5,83 cm (valeur approchée au centième).
5. Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Si l'on connaît l'hypoténuse et un côté, on isole le carré cherché par une soustraction :
si BC2 = AB2 + AC2, alors AB2 = BC2 - AC2.
Exemple
RST est rectangle en S, avec RT = 13 cm et RS = 5 cm. Calculer ST.
L'hypoténuse est [RT]. D'après le théorème de Pythagore :
RT² = RS² + ST²
13² = 5² + ST²
169 = 25 + ST²
ST² = 169 − 25 = 144
ST = √144 = 12 cm.
6. Une application : la diagonale d'un rectangle
La diagonale d'un rectangle le partage en deux triangles rectangles. Pour un rectangle de 12 m sur 5 m, la diagonale d vérifie d2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169, donc d = 13 m.
Quelques « triplets » de nombres entiers qui marchent sont bons à connaître : (3 ; 4 ; 5), (6 ; 8 ; 10), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17).
Méthode
Pour calculer une longueur avec le théorème de Pythagore :
- Je vérifie que le triangle est rectangle et je repère l'hypoténuse (opposée à l'angle droit).
- J'écris : « Le triangle ... est rectangle en ..., donc d'après le théorème de Pythagore : »
- J'écris l'égalité : (hypoténuse)² = (côté 1)² + (côté 2)².
- Je remplace les longueurs connues et je calcule les carrés.
- Si je cherche l'hypoténuse, j'additionne ; si je cherche un autre côté, je soustrais.
- Je prends la racine carrée : valeur exacte, puis valeur approchée si besoin, avec l'unité.
3Je retiens
Je retiens
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long.
Théorème de Pythagore : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Pour trouver l'hypoténuse : on additionne les carrés, puis on prend la racine carrée.
Pour trouver un côté de l'angle droit : AB² = BC² − AC², puis la racine carrée.
On donne la valeur exacte (√34) puis, si besoin, une valeur approchée (5,83).
Triplets utiles : (3 ; 4 ; 5), (6 ; 8 ; 10), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17).
4Erreurs fréquentes
- Additionner les longueurs au lieu des carrés : avec 6 et 8, l'hypoténuse n'est pas 6 + 8 = 14, c'est √(36 + 64) = 10.
- Se tromper d'hypoténuse : dans RST rectangle en S, l'hypoténuse est [RT], pas [RS].
- Additionner quand il faut soustraire : pour un côté de l'angle droit, on calcule (hypoténuse)² − (autre côté)².
- Oublier la racine carrée à la fin : si BC² = 100, alors BC = 10, et non 100.
5Je m’exerce
1Exercice 1
EFG est un triangle rectangle en E avec EF = 9 cm et EG = 12 cm. Calcule FG.
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Le triangle EFG est rectangle en E, donc d'après le théorème de Pythagore :
FG2 = EF2 + EG2 = 81 + 144 = 225, donc FG = √225 = 15 cm.
2Exercice 2
RST est un triangle rectangle en S avec RT = 17 cm et RS = 8 cm. Calcule ST.
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Le triangle RST est rectangle en S ; son hypoténuse est [RT]. D'après le théorème de Pythagore :
RT2 = RS2 + ST2, donc ST2 = RT2 - RS2 = 289 - 64 = 225 et ST = 15 cm.
3Exercice 3
KLM est un triangle rectangle en L avec KL = 4 cm et LM = 7 cm. Calcule la valeur exacte de KM, puis sa valeur arrondie au centième.
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Le triangle KLM est rectangle en L, donc d'après le théorème de Pythagore :
KM2 = KL2 + LM2 = 16 + 49 = 65.
Valeur exacte : KM = √65 cm. Valeur arrondie au centième : KM ≈ 8,06 cm.
4Exercice 4
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ?
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Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle au pied du mur ; l'échelle (5 m) est l'hypoténuse. Soit h la hauteur cherchée. D'après le théorème de Pythagore :
52 = 1,42 + h2, donc h2 = 25 - 1,96 = 23,04 et h = √23,04 = 4,8 m.
Le haut de l'échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur.
5Exercice 5
(Type examen) ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 10 cm et BC = 12 cm. H est le pied de la hauteur issue de A ; dans un triangle isocèle, c'est aussi le milieu de [BC].
a) Calcule BH.
b) Calcule la hauteur AH.
c) Calcule l'aire du triangle ABC.
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a) H est le milieu de [BC], donc BH = 122 = 6 cm.
b) [AH] est une hauteur, donc le triangle ABH est rectangle en H, d'hypoténuse [AB]. D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AH2 + BH2, donc AH2 = 100 - 36 = 64 et AH = 8 cm.
c) Aire de ABC = base × hauteur2 = BC × AH2 = 12 × 82 = 48 cm².
6Exercice 6
Le terrain de football du stade d'une préfecture est un rectangle de 100 m sur 60 m. Ibrahima traverse le terrain en diagonale, d'un coin à l'autre. Quelle distance parcourt-il (arrondie au dixième de mètre) ? Combien de mètres gagne-t-il par rapport au trajet qui longe deux côtés ?
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La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles. D'après le théorème de Pythagore :
d2 = 1002 + 602 = 10 000 + 3 600 = 13 600, donc d = √13 600 ≈ 116,6 m.
En longeant deux côtés, Ibrahima parcourrait 100 + 60 = 160 m. Il gagne environ 160 - 116,6 = 43,4 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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