Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 28
La réciproque du théorème de Pythagore
Je sais démontrer, à partir des longueurs de ses trois côtés, qu'un triangle est rectangle ou qu'il ne l'est pas.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore
- Démontrer qu'un triangle est rectangle en comparant le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres
- Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
- Rédiger correctement en distinguant le théorème et sa réciproque
Avant de commencer : Le théorème de Pythagore (9e-maths-23), les carrés des nombres entiers et décimaux.
1Je découvre
Aïssatou accompagne son oncle Lansana, maçon à Mamou, qui trace au sol l'emplacement d'une nouvelle boutique. Il n'a pas d'équerre assez grande pour les fondations. Il prend alors une ficelle, y mesure 3 m, puis 4 m, et plante deux piquets de façon que la ficelle tendue forme un triangle dont les côtés mesurent 3 m, 4 m et 5 m. « Maintenant, j'ai mon angle droit », dit-il.
Aïssatou connaît le théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Elle remarque que 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Mais son oncle fait le raisonnement dans l'autre sens : il part des longueurs et en déduit l'angle droit.
A-t-il le droit ? Et que se passerait-il avec un triangle de côtés 6 m, 7 m et 9 m ?
Comment savoir, uniquement à partir des longueurs de ses côtés, si un triangle est rectangle ?
2Je comprends
1. Une propriété et sa réciproque
Une propriété s'écrit souvent « si (condition), alors (conclusion) ». Sa réciproque échange la condition et la conclusion : « si (conclusion), alors (condition) ».
Une réciproque n'est pas toujours vraie. Par exemple, « si un quadrilatère est un carré, alors ses quatre côtés sont égaux » est vrai ; mais la réciproque « si un quadrilatère a quatre côtés égaux, alors c'est un carré » est fausse (le losange). Il faut donc démontrer une réciproque avant de l'utiliser.
Pour le théorème de Pythagore, la réciproque est vraie. Les mathématiciens l'ont démontrée depuis l'Antiquité ; nous l'admettons cette année.
2. L'énoncé de la réciproque
Réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
Si BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A.
| Ce que l'on sait | Ce que l'on démontre | |
|---|---|---|
| Théorème de Pythagore | le triangle est rectangle | une égalité entre les carrés (pour calculer une longueur) |
| Réciproque | l'égalité entre les carrés | le triangle est rectangle |
3. Et si l'égalité n'est pas vérifiée ?
Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
Pourquoi ? Si le triangle était rectangle, le théorème de Pythagore imposerait l'égalité. Comme l'égalité est fausse, le triangle ne peut pas être rectangle. (On appelle ce raisonnement la contraposée du théorème de Pythagore.)
4. La méthode de calcul
Le point essentiel est de calculer séparément les deux nombres à comparer, sans écrire d'égalité avant de savoir si elle est vraie.
- 1Repérer le plus grand côté du triangle.
- 2Calculer séparément le carré du plus grand côté.
- 3Calculer séparément la somme des carrés des deux autres côtés.
- 4Comparer les deux résultats.
- 5S'ils sont égaux : réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté.
- 6S'ils sont différents : le triangle n'est pas rectangle.
Exemple
Le triangle ABC a pour côtés AB = 9 cm, AC = 12 cm et BC = 15 cm. Est-il rectangle ?
Le plus grand côté est [BC].
D'une part : BC² = 15² = 225.
D'autre part : AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
On constate que BC² = AB² + AC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Exemple
Le triangle DEF a pour côtés DE = 6 m, EF = 7 m et DF = 9 m. Est-il rectangle ?
Le plus grand côté est [DF].
D'une part : DF² = 9² = 81.
D'autre part : DE² + EF² = 6² + 7² = 36 + 49 = 85.
On constate que DF² ≠ DE² + EF² (81 ≠ 85).
Si le triangle était rectangle, le théorème de Pythagore donnerait l'égalité. Donc DEF n'est pas rectangle.
Exemple
Le triangle RST a pour côtés RS = 2,5 cm, ST = 6 cm et RT = 6,5 cm. Est-il rectangle ?
Plus grand côté : [RT]. RT² = 6,5² = 42,25.
RS² + ST² = 2,5² + 6² = 6,25 + 36 = 42,25.
RT² = RS² + ST² : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, RST est rectangle en S.
Le sommet S est bien le sommet opposé à [RT], car il n'appartient pas à ce côté.
5. Les triplets pythagoriciens
Des nombres entiers a, b, c tels que a2 + b2 = c2 forment un triplet pythagoricien. Tout triangle dont les côtés sont proportionnels à un tel triplet est rectangle.
| Triplet | Vérification |
|---|---|
| (3 ; 4 ; 5) | 9 + 16 = 25 |
| (5 ; 12 ; 13) | 25 + 144 = 169 |
| (8 ; 15 ; 17) | 64 + 225 = 289 |
| (7 ; 24 ; 25) | 49 + 576 = 625 |
En multipliant un triplet par un même nombre, on obtient un autre triplet : (6 ; 8 ; 10), (30 ; 40 ; 50), (1,5 ; 2 ; 2,5)... C'est pourquoi la corde « 3 m, 4 m, 5 m » des maçons donne toujours un angle droit, et on peut aussi utiliser 60 cm, 80 cm et 1 m.
Méthode
Pour rédiger la réponse à « Le triangle est-il rectangle ? » :
- « Le plus grand côté est [...]. »
- « D'une part : ... ² = ... »
- « D'autre part : ... ² + ... ² = ... + ... = ... »
- « On constate que ... » (égalité ou non).
- Conclusion : « D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en ... » ou « Donc le triangle n'est pas rectangle. »
3Je retiens
Je retiens
Réciproque de Pythagore : si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.
L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
Si le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres, le triangle n'est pas rectangle.
On calcule toujours séparément « d'une part » et « d'autre part » avant de comparer.
Théorème : on sait que le triangle est rectangle et on calcule une longueur. Réciproque : on connaît les longueurs et on démontre que le triangle est rectangle.
Triplets : (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17), (7 ; 24 ; 25) et leurs multiples.
4Erreurs fréquentes
- Écrire l'égalité avant de l'avoir vérifiée : on n'écrit pas « BC² = AB² + AC² » au début, on calcule les deux membres séparément.
- Ne pas prendre le plus grand côté : avec 9, 12 et 15, on compare 15² à 9² + 12², pas 9² à 12² + 15².
- Citer le théorème au lieu de la réciproque : pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque.
- Se tromper de sommet : l'angle droit est au sommet qui n'appartient pas au plus grand côté.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Les triangles dont les côtés ont les longueurs suivantes sont-ils rectangles ?
a) 5 cm, 12 cm, 13 cm. b) 7 cm, 8 cm, 11 cm. c) 1,2 m, 1,6 m, 2 m.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Plus grand côté : 13. D'une part 132 = 169 ; d'autre part 52 + 122 = 25 + 144 = 169. Égalité : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
b) Plus grand côté : 11. D'une part 112 = 121 ; d'autre part 72 + 82 = 49 + 64 = 113. 121 ≠ 113 : le triangle n'est pas rectangle.
c) Plus grand côté : 2. D'une part 22 = 4 ; d'autre part 1,22 + 1,62 = 1,44 + 2,56 = 4. Égalité : le triangle est rectangle.
2Exercice 2
Le triangle EFG a pour côtés EF = 20 cm, FG = 21 cm et EG = 29 cm. Démontre qu'il est rectangle et précise le sommet de l'angle droit.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Le plus grand côté est [EG].
D'une part : EG2 = 292 = 841. D'autre part : EF2 + FG2 = 400 + 441 = 841.
On constate que EG2 = EF2 + FG2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, EFG est rectangle en F (le sommet opposé à [EG]).
3Exercice 3
Pour vérifier le coin d'un mur, Ousmane mesure 60 cm sur un côté, 80 cm sur l'autre, puis la distance entre les deux marques : il trouve 1,02 m. Le coin est-il droit ? Quelle mesure aurait-il dû trouver ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
On travaille en centimètres. Le plus grand côté mesure 102 cm.
D'une part : 1022 = 10 404. D'autre part : 602 + 802 = 3 600 + 6 400 = 10 000.
10 404 ≠ 10 000 : le triangle n'est pas rectangle, donc le coin n'est pas droit (il est un peu trop ouvert).
Il aurait fallu trouver √10 000 = 100 cm, soit 1 m.
4Exercice 4
(Type examen) ABC est un triangle tel que AB = 8 cm, BC = 17 cm et AC = 15 cm.
a) Démontre que le triangle ABC est rectangle.
b) Calcule son aire.
c) Soit H le pied de la hauteur issue de A. En calculant l'aire d'une autre façon, calcule AH (valeur exacte, puis arrondie au centième).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le plus grand côté est [BC]. D'une part BC2 = 289 ; d'autre part AB2 + AC2 = 64 + 225 = 289. On constate que BC2 = AB2 + AC2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
b) Les côtés de l'angle droit sont [AB] et [AC] : aire = 8 × 152 = 60 cm².
c) On peut aussi prendre [BC] comme base et [AH] comme hauteur : aire = BC × AH2 = 17 × AH2.
Donc 17 × AH2 = 60, soit AH = 12017 cm ≈ 7,06 cm.
5Exercice 5
ABCD est un quadrilatère tel que AB = 3 cm, AD = 4 cm, BD = 5 cm, BC = 12 cm et DC = 13 cm.
a) Démontre que le triangle ABD est rectangle.
b) Démontre que le triangle BDC est rectangle.
c) Calcule l'aire du quadrilatère ABCD.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dans ABD, le plus grand côté est [BD]. BD2 = 25 et AB2 + AD2 = 9 + 16 = 25. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABD est rectangle en A.
b) Dans BDC, le plus grand côté est [DC]. DC2 = 169 et BD2 + BC2 = 25 + 144 = 169. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, BDC est rectangle en B.
c) Aire de ABD = 3 × 42 = 6 cm². Aire de BDC = 5 × 122 = 30 cm².
Aire de ABCD = 6 + 30 = 36 cm².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · 9e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
