Karamö, le prof virtuelLeçon 26 sur 28
La projection orthogonale sur une droite
Je sais construire le projeté orthogonal d'un point et d'un segment sur une droite, et utiliser le fait que la projection conserve le milieu.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite
- Construire la projection orthogonale d'un segment et connaître les cas particuliers
- Savoir et démontrer que la projection orthogonale conserve le milieu
- Reconnaître les projections dans un triangle rectangle et calculer des longueurs
Avant de commencer : Les droites perpendiculaires et parallèles, les hauteurs d'un triangle, le rectangle (8e), le théorème de Pythagore (9e-maths-23), la droite des milieux (9e-maths-25).
1Je découvre
Il est presque midi dans la cour de l'école de Siguiri. Le soleil est haut dans le ciel, et Fanta remarque que l'ombre des poteaux du préau est toute petite : les rayons arrivent presque verticalement sur le sol.
Son camarade Lansana tient une longue règle inclinée au-dessus du sol. Son ombre apparaît par terre : chaque point de la règle envoie son ombre juste « en dessous » de lui, à la verticale. Fanta remarque deux choses. Quand la règle est tenue horizontalement, son ombre a exactement la même longueur qu'elle. Quand la règle est tenue verticalement, son ombre n'est plus qu'un point.
Elle fait une marque au milieu de la règle et regarde l'ombre de cette marque : elle semble tomber pile au milieu de l'ombre de la règle.
En géométrie, cette « ombre à la verticale » s'appelle une projection orthogonale.
Comment construire précisément la projection d'un point ou d'un segment sur une droite, et quelles propriétés conserve-t-elle ?
2Je comprends
1. Le projeté orthogonal d'un point
Soit une droite (d) et un point A.
Définition. Le projeté orthogonal de A sur (d) est le point H d'intersection de la droite (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A.
- Si A n'est pas sur (d), alors H est le point de (d) tel que (AH) ⊥ (d).
- Si A est sur (d), alors son projeté est lui-même : H = A.
On dit aussi que H est le pied de la perpendiculaire menée de A à (d).
Construction. On place l'équerre le long de (d), on la fait glisser jusqu'à ce que son autre côté passe par A, puis on trace la perpendiculaire. Le point où elle coupe (d) est H. On code l'angle droit.
2. La projection orthogonale d'un segment
La projection orthogonale d'un segment [AB] sur (d) est le segment [HK], où H et K sont les projetés orthogonaux de A et de B.
Trois cas à connaître :
- si (AB) est parallèle à (d), alors ABKH est un rectangle et HK = AB : la projection a la même longueur (la règle horizontale de Lansana) ;
- si (AB) est perpendiculaire à (d), alors H = K : la projection est réduite à un point (la règle verticale) ;
- dans les autres cas, la projection est plus courte que le segment : HK < AB.
Pourquoi HK < AB dans le dernier cas ? Menons par B la parallèle à (d) ; elle coupe (AH) en un point E. Le quadrilatère EHKB est un rectangle, donc EB = HK. Le triangle AEB est rectangle en E, d'hypoténuse [AB] : d'après le théorème de Pythagore, AB2 = AE2 + EB2, donc AB2 > EB2 et AB > EB = HK.
Exemple
Sur la figure, A est à 4 unités de (d), B à 1 unité, et HK = 7 unités. Calculer AB.
On mène par B la parallèle à (d), qui coupe (AH) en E. EHKB est un rectangle : EB = HK = 7 et EH = BK = 1.
Donc AE = AH − EH = 4 − 1 = 3.
Dans le triangle AEB rectangle en E, d'après le théorème de Pythagore :
AB² = AE² + EB² = 9 + 49 = 58, donc AB = √58 ≈ 7,62 unités.
On vérifie que la projection est plus courte : HK = 7 < 7,62.
3. La projection conserve le milieu
Propriété. Si M est le milieu de [AB], alors son projeté orthogonal N est le milieu de la projection [HK].
Démonstration (dans le cas où A et B sont du même côté de (d), avec A plus loin de (d) que B, comme sur la figure).
Les droites (AH), (MN) et (BK) sont toutes perpendiculaires à (d), donc elles sont parallèles entre elles.
On mène par B la parallèle à (d) : elle coupe (AH) en E et (MN) en F.
- Dans le triangle ABE, M est le milieu de [AB] et (MF) est parallèle à (AE). D'après la propriété 3 de la droite des milieux, F est le milieu de [BE].
- Les quadrilatères EHNF et FNKB sont des rectangles, donc HN = EF et NK = FB.
- Comme EF = FB, on obtient HN = NK : N est le milieu de [HK].
Cette propriété sera prolongée en 10e : la projection conserve aussi les rapports de longueurs sur une même droite. C'est l'idée de la propriété de Thalès.
Exemple
A et B se projettent sur (d) en H et K, avec HK = 9 cm. M est le milieu de [AB]. Où se trouve le projeté N de M ?
La projection orthogonale conserve le milieu : N est le milieu de [HK].
Donc HN = NK = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
4. Les projections dans un triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle en A, et H le pied de la hauteur issue de A.
- H est le projeté orthogonal de A sur (BC) ;
- B et C sont sur (BC) : ce sont leurs propres projetés ;
- la projection de [AB] sur (BC) est [BH] ; celle de [AC] sur (BC) est [CH].
Ce vocabulaire sera très utilisé en 10e pour les relations métriques dans le triangle rectangle.
| Situation | Projection de [AB] sur (d) | Longueur |
|---|---|---|
| (AB) ∥ (d) | un segment [HK] | HK = AB |
| (AB) ⊥ (d) | un point | 0 |
| autre cas | un segment [HK] | HK < AB |
Méthode
Pour construire la projection orthogonale d'un segment [AB] sur une droite (d) :
- Avec l'équerre, je trace la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en H.
- Je fais de même pour B ; j'obtiens K.
- Je code les angles droits en H et en K.
- Le segment [HK] est la projection de [AB] ; le milieu de [AB] se projette au milieu de [HK].
3Je retiens
Je retiens
Le projeté orthogonal de A sur (d) est le point H de (d) tel que (AH) ⊥ (d) ; si A est sur (d), H = A.
La projection de [AB] sur (d) est [HK], où H et K sont les projetés de A et de B.
Si (AB) // (d) : HK = AB. Si (AB) ⊥ (d) : la projection est un point. Sinon : HK < AB.
La projection orthogonale conserve le milieu : le milieu de [AB] se projette au milieu de [HK].
Dans ABC rectangle en A de hauteur [AH] : la projection de [AB] sur (BC) est [BH], celle de [AC] est [CH].
4Erreurs fréquentes
- Projeter « à l'œil » sans équerre : le projeté doit être le pied de la PERPENDICULAIRE, pas un point quelconque de (d) proche de A.
- Croire que la projection a toujours la même longueur que le segment : c'est vrai seulement si le segment est parallèle à (d).
- Oublier qu'un point de (d) est son propre projeté : dans le triangle ABC, le projeté de B sur (BC) est B.
- Confondre projection sur une droite et symétrie par rapport à cette droite : le symétrique est de l'autre côté, le projeté est SUR la droite.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trace une droite (d) et trois points : A au-dessus de (d), B au-dessous, et C sur (d). Construis leurs projetés orthogonaux A', B' et C'. Que peux-tu dire de C' ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour A et B, on trace à l'équerre la perpendiculaire à (d) passant par le point ; A' et B' sont les points où ces perpendiculaires coupent (d), et on code les angles droits.
Le point C est déjà sur (d) : son projeté est lui-même, C' = C.
2Exercice 2
ABC est un triangle et H est le pied de la hauteur issue de A.
a) Quel est le projeté orthogonal de A sur (BC) ? Celui de B sur (BC) ?
b) Quelle est la projection de [AB] sur (BC) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) [AH] est la hauteur issue de A, donc (AH) ⊥ (BC) et H ∈ (BC) : le projeté de A sur (BC) est H. Le point B est sur (BC) : son projeté est B.
b) La projection de [AB] sur (BC) est le segment [HB].
3Exercice 3
Un segment [EF] mesure 6 cm. On le projette orthogonalement sur une droite (d). Quelle est la longueur de la projection :
a) si (EF) est parallèle à (d) ? b) si (EF) est perpendiculaire à (d) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Si (EF) ∥ (d), la projection a la même longueur : 6 cm.
b) Si (EF) ⊥ (d), les deux extrémités ont le même projeté : la projection est un point, de longueur 0.
4Exercice 4
Les points A et B ont pour projetés A' et B' sur une droite (d), avec A'B' = 9 cm. M est le milieu de [AB] et M' son projeté sur (d). Calcule A'M'.
Voir le corrigéCacher le corrigé
La projection orthogonale conserve le milieu : M' est le milieu de [A'B']. Donc A'M' = 92 = 4,5 cm.
5Exercice 5
(Type examen) Deux points A et B sont du même côté d'une droite (d). Leurs projetés sont A' et B', avec AA' = 5 cm, BB' = 2 cm et A'B' = 4 cm. La parallèle à (d) passant par B coupe (AA') en E.
a) Justifie que EA'B'B est un rectangle, puis calcule AE et EB.
b) Calcule AB.
c) M est le milieu de [AB] et M' son projeté sur (d) ; (MM') coupe [EB] en F. Justifie que F est le milieu de [EB] et calcule MF, puis MM'.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (BE) est parallèle à (d) ; (AA') et (BB') sont perpendiculaires à (d), donc aussi à (BE). Le quadrilatère EA'B'B a quatre angles droits : c'est un rectangle.
Donc EA' = BB' = 2 cm et EB = A'B' = 4 cm. Ainsi AE = AA' - EA' = 5 - 2 = 3 cm.
b) Le triangle AEB est rectangle en E. D'après le théorème de Pythagore : AB2 = AE2 + EB2 = 9 + 16 = 25, donc AB = 5 cm.
c) (MM') et (AE) sont perpendiculaires à (d), donc parallèles. Dans le triangle ABE, la droite (MF) passe par le milieu M de [AB] et elle est parallèle à (AE) : d'après la propriété de la droite des milieux, F est le milieu de [EB].
M et F sont alors les milieux de [AB] et [BE] : MF = AE2 = 32 = 1,5 cm.
Enfin FM' est égal à BB' = 2 cm (rectangle FM'B'B), donc MM' = MF + FM' = 1,5 + 2 = 3,5 cm.
Remarque : 3,5 = 5 + 22, la moyenne de AA' et BB'.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · 9e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
