Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 28
La droite des milieux dans un triangle
Je sais utiliser les propriétés de la droite des milieux pour démontrer que deux droites sont parallèles, calculer une longueur ou prouver qu'un point est un milieu.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer et utiliser la propriété : la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième
- Énoncer et utiliser la propriété : le segment qui joint ces milieux mesure la moitié du troisième côté
- Énoncer et utiliser la propriété réciproque : la parallèle menée par un milieu coupe le troisième côté en son milieu
- Rédiger une démonstration courte avec ces propriétés
Avant de commencer : Le milieu d'un segment, le parallélogramme et ses propriétés caractéristiques, la symétrie centrale (8e).
1Je découvre
Alpha, menuisier à Dalaba, fabrique la charpente d'un toit à deux pentes. Chaque ferme a la forme d'un triangle : une poutre horizontale en bas, longue de 4,8 m, et deux chevrons inclinés qui se rejoignent au sommet.
Pour rendre la charpente plus solide, il veut fixer une traverse horizontale entre les milieux des deux chevrons. Son apprenti Ibrahima se demande quelle longueur couper. « Il faut monter sur l'échelle et mesurer », dit-il. Alpha sourit : « Pas besoin. Cette traverse sera parallèle à la poutre du bas, et elle mesurera exactement la moitié : 2,4 m. »
Alpha a-t-il raison ? Cela marche-t-il pour n'importe quel triangle, même quand les deux chevrons n'ont pas la même longueur ?
Que peut-on dire du segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle ?
2Je comprends
1. La figure de base
Dans toute cette leçon, ABC est un triangle quelconque, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. La droite (IJ) est appelée droite des milieux.
2. Les deux premières propriétés
Propriété 1. Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Avec la figure : si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors (IJ) ∥ (BC).
Propriété 2. Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié de la longueur du troisième côté.
Avec la figure : IJ = BC2.
3. Pourquoi c'est vrai
On construit le point K, symétrique de I par rapport à J. Ainsi J est le milieu de [IK] et IK = 2 × IJ.
- Dans le quadrilatère AICK, les diagonales [AC] et [IK] ont le même milieu J. Donc AICK est un parallélogramme. Par conséquent, (CK) ∥ (AI) et CK = AI.
- Comme I est le milieu de [AB], on a AI = IB, et la droite (AI) est la droite (IB). Donc (CK) ∥ (IB) et CK = IB.
- Le quadrilatère IBCK a deux côtés opposés [IB] et [KC] parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.
- Donc (IK) ∥ (BC), c'est-à-dire (IJ) ∥ (BC) ; et IK = BC, donc IJ = IK2 = BC2.
Ce raisonnement n'utilise aucune mesure particulière : les propriétés sont vraies dans tous les triangles. Alpha avait raison : la traverse mesure 4,82 = 2,4 m.
Exemple
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB], J le milieu de [AC], et BC = 9 cm. Que peut-on dire de (IJ) et de IJ ?
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].
Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle au troisième côté : donc (IJ) // (BC).
De plus, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième : IJ = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
4. La troisième propriété : trouver un milieu
Propriété 3. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Avec la figure : si I est le milieu de [AB] et si la parallèle à (BC) passant par I coupe [AC] en J, alors J est le milieu de [AC].
On peut le justifier ainsi : notons J' le milieu de [AC]. D'après la propriété 1, (IJ') est parallèle à (BC). Or, par le point I, il ne passe qu'une seule parallèle à (BC). Donc les droites (IJ) et (IJ') sont confondues, et J = J' : J est le milieu de [AC].
Exemple
Dans le triangle RST, M est le milieu de [RS]. La parallèle à (ST) passant par M coupe [RT] en N. On sait que RT = 11 cm et ST = 7 cm. Calculer RN et MN.
Dans le triangle RST, la droite (MN) passe par le milieu M de [RS] et elle est parallèle à (ST).
D'après la propriété 3, N est le milieu de [RT] : RN = 11 ÷ 2 = 5,5 cm.
Maintenant, M et N sont les milieux de [RS] et [RT] ; d'après la propriété 2 : MN = ST ÷ 2 = 3,5 cm.
5. Le triangle des milieux
Si l'on joint les milieux des trois côtés d'un triangle, on obtient un petit triangle dont chaque côté mesure la moitié d'un côté du grand (propriété 2). Son périmètre est donc la moitié du périmètre du grand triangle.
Exemple
Un triangle a des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm. Quel est le périmètre du triangle formé par les milieux de ses côtés ?
Chaque côté du triangle des milieux mesure la moitié d'un côté du grand : 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Son périmètre est 3 + 4 + 5 = 12 cm, c'est-à-dire la moitié de 6 + 8 + 10 = 24 cm.
| On sait que... | On utilise... | On conclut que... |
|---|---|---|
| I et J sont les milieux de deux côtés | la propriété 1 | (IJ) est parallèle au troisième côté |
| I et J sont les milieux de deux côtés | la propriété 2 | IJ = moitié du troisième côté |
| I est un milieu et (IJ) est parallèle à un deuxième côté | la propriété 3 | J est le milieu du troisième côté |
Méthode
Pour rédiger une démonstration avec la droite des milieux :
- Je nomme le triangle dans lequel je travaille : « Dans le triangle ABC, ... ».
- J'écris les données : quels points sont des milieux, quelles droites sont parallèles.
- Je cite la propriété adaptée, en entier, en commençant par « Or, ... ».
- J'écris la conclusion : « Donc ... ».
- Si je dois calculer une longueur, je le fais après avoir justifié, avec l'unité.
3Je retiens
Je retiens
Propriété 1 : si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle au troisième côté.
Propriété 2 : le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle mesure la moitié du troisième côté.
Propriété 3 : si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, elle coupe le troisième côté en son milieu.
Avec I milieu de [AB] et J milieu de [AC] : (IJ) // (BC) et IJ = BC/2.
Le triangle des milieux a un périmètre égal à la moitié de celui du grand triangle.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la propriété 2 sans savoir que les deux points sont des milieux : il faut les DEUX milieux pour affirmer IJ = BC/2.
- Diviser le mauvais côté par 2 : IJ est la moitié du troisième côté, celui qui ne contient ni I ni J.
- Utiliser la propriété 3 sans le parallélisme : un point de [AC] n'est pas le milieu simplement parce qu'il « a l'air » au milieu.
- Oublier de nommer le triangle : la même figure contient souvent plusieurs triangles, il faut préciser lequel on utilise.
5Je m’exerce
1Exercice 1
ABC est un triangle, I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. On sait que BC = 14 cm. Que peux-tu dire des droites (IJ) et (BC) ? Calcule IJ.
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Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].
Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle au troisième côté. Donc (IJ) ∥ (BC).
De plus, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième : IJ = 142 = 7 cm.
2Exercice 2
RST est un triangle. M est le milieu de [RS]. La parallèle à (ST) passant par M coupe [RT] en N. On donne RT = 11 cm. Calcule RN en justifiant.
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Dans le triangle RST, la droite (MN) passe par le milieu M de [RS] et elle est parallèle à (ST).
Or, si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté, elle coupe le troisième côté en son milieu. Donc N est le milieu de [RT] et RN = 112 = 5,5 cm.
3Exercice 3
Un triangle EFG a pour côtés EF = 6 cm, FG = 8 cm et EG = 10 cm. On appelle P, Q et R les milieux respectifs de [EF], [FG] et [GE].
a) Calcule les longueurs des côtés du triangle PQR.
b) Compare les périmètres des deux triangles.
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a) P et Q sont les milieux de [EF] et [FG] dans le triangle EFG, donc PQ = EG2 = 5 cm.
De même, QR = EF2 = 3 cm et PR = FG2 = 4 cm.
b) Périmètre de EFG : 6 + 8 + 10 = 24 cm. Périmètre de PQR : 3 + 4 + 5 = 12 cm. Le périmètre de PQR est la moitié de celui de EFG.
4Exercice 4
(Type examen) ABCD est un quadrilatère quelconque. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
a) Dans le triangle ABC, que peux-tu dire de la droite (IJ) et de la longueur IJ ?
b) Dans le triangle ACD, que peux-tu dire de la droite (LK) et de la longueur LK ?
c) Déduis-en la nature du quadrilatère IJKL.
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a) Dans le triangle ABC, I et J sont les milieux de [AB] et [BC]. D'après les propriétés de la droite des milieux : (IJ) ∥ (AC) et IJ = AC2.
b) Dans le triangle ACD, L et K sont les milieux de [AD] et [DC]. De même : (LK) ∥ (AC) et LK = AC2.
c) Les droites (IJ) et (LK) sont toutes deux parallèles à (AC), donc parallèles entre elles, et IJ = LK = AC2.
Le quadrilatère IJKL a deux côtés opposés [IJ] et [LK] parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.
5Exercice 5
(Problème) Dans la charpente d'Alpha, une nouvelle ferme a une poutre du bas de 5,6 m. La traverse relie le milieu du chevron gauche à un point du chevron droit et elle est parallèle à la poutre du bas. Le chevron droit mesure 3,4 m.
a) À quelle distance du bas du chevron droit la traverse est-elle fixée ?
b) Quelle est la longueur de la traverse ?
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a) Dans le triangle formé par la ferme, la traverse passe par le milieu du chevron gauche et elle est parallèle à la poutre du bas. D'après la propriété 3, elle coupe le chevron droit en son milieu. Elle est fixée à 3,42 = 1,7 m du bas du chevron droit.
b) La traverse joint maintenant les milieux des deux chevrons. D'après la propriété 2, elle mesure la moitié de la poutre du bas : 5,62 = 2,8 m.
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6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 9e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
