Karamö, le prof virtuelLeçon 41 sur 41
L'ellipse et l'hyperbole : équations réduites, éléments caractéristiques, tracé
Je sais lire sur une équation réduite d'ellipse ou d'hyperbole ses sommets, ses foyers, son excentricité, ses directrices (et ses asymptotes), puis la tracer.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et utiliser les équations réduites x²/a² + y²/b² = 1 et x²/a² − y²/b² = 1
- Calculer c, l'excentricité, les foyers et les directrices ; donner les asymptotes d'une hyperbole
- Utiliser la définition bifocale MF + MF' = 2a et
- MF − MF'
- = 2a
- Réduire une équation par translation, tracer la courbe et écrire une tangente
Avant de commencer : La définition d'une conique par foyer, directrice et excentricité ; la parabole et la réduction par translation (leçons précédentes) ; la forme canonique.
1Je découvre
Dans la cour du lycée de Mamou, Hawa et Alpha doivent tracer un grand massif de fleurs de forme ovale. Le jardinier, Ousmane, plante deux piquets à 8 m l'un de l'autre et y attache les deux bouts d'une corde de 10 m. Puis il tend la corde avec un bâton et fait le tour en gardant la corde bien tendue. Le bâton dessine au sol une belle courbe fermée.
« Pourquoi ça marche ? » demande Alpha. Hawa remarque qu'en tout point du tracé, la somme des distances du bâton aux deux piquets reste égale à la longueur de la corde, 10 m. Les deux piquets sont les foyers de la courbe, qui est une ellipse.
Le professeur ajoute une question : que se passe-t-il si c'est la différence des distances aux deux points qui reste constante ? On obtient alors une hyperbole, la forme par exemple de l'ombre portée sur un mur par l'abat-jour d'une lampe.
Quelles sont les équations de l'ellipse et de l'hyperbole, et comment en lire les sommets, les foyers, l'excentricité et les directrices pour les tracer ?
2Je comprends
1. L'ellipse : équation réduite
Soit une ellipse de foyer F, de directrice D et d'excentricité 0 < e < 1. On montre (comme dans l'exemple 2 de la première leçon) qu'on peut choisir un repère orthonormé centré sur le centre de symétrie de l'ellipse dans lequel elle a pour équation réduite :
x2a2 + y2b2 = 1 avec a > b > 0.
On pose c = √a2 - b2, c'est-à-dire a2 = b2 + c2.
| Élément | Ellipse x2a2 + y2b2 = 1, a > b > 0 |
|---|---|
| Centre | O(0 ; 0) |
| Sommets | A(a ; 0), A'(-a ; 0), B(0 ; b), B'(0 ; -b) |
| Grand axe, petit axe | [AA'] de longueur 2a ; [BB'] de longueur 2b |
| Foyers | F(c ; 0) et F'(-c ; 0) |
| Excentricité | e = ca (et 0 < e < 1) |
| Directrices | D : x = a2c (associée à F) et D' : x = -a2c |
L'ellipse a deux axes de symétrie (les axes du repère) et un centre de symétrie O ; elle a donc deux couples foyer-directrice.
Définition bifocale. Pour tout point M de l'ellipse : MF + MF' = 2a. C'est exactement la méthode du jardinier : la corde mesure 2a et les piquets sont les foyers.
Si b > a : l'équation x2a2 + y2b2 = 1 représente une ellipse dont le grand axe est vertical ; on pose alors c = √b2 - a2, les foyers sont (0 ; ± c), e = cb et les directrices y = ± b2c. Si a = b, c'est le cercle de centre O et de rayon a.
Exemple
Exemple 1. Éléments de l'ellipse 9x² + 25y² = 225.
On divise par 225 : x²/25 + y²/9 = 1, donc a = 5 et b = 3 (a > b : grand axe horizontal).
c² = a² − b² = 25 − 9 = 16, donc c = 4.
Sommets : (5 ; 0), (−5 ; 0), (0 ; 3), (0 ; −3).
Foyers : F(4 ; 0) et F'(−4 ; 0). Excentricité : e = c/a = 4/5.
Directrices : x = a²/c = 25/4 et x = −25/4.
Contrôle bifocal avec B(0 ; 3) : BF = √(16 + 9) = 5 et BF' = 5, donc BF + BF' = 10 = 2a.
Contrôle foyer-directrice avec A(5 ; 0) : AF = 1 ; d(A, D) = 25/4 − 5 = 5/4 ; e × d(A, D) = (4/5) × (5/4) = 1. Juste.
C'est le massif d'Ousmane : piquets distants de 2c = 8 m, corde de 2a = 10 m, largeur 2b = 6 m.
2. L'hyperbole : équation réduite
Pour une excentricité e > 1, on obtient, dans un repère bien choisi centré sur le centre de symétrie, l'équation réduite :
x2a2 - y2b2 = 1 avec a > 0, b > 0.
Cette fois, on pose c = √a2 + b2, c'est-à-dire c2 = a2 + b2 (attention au signe « plus »).
| Élément | Hyperbole x2a2 - y2b2 = 1 |
|---|---|
| Centre | O(0 ; 0) |
| Sommets | A(a ; 0) et A'(-a ; 0) (seulement deux) |
| Axe focal | l'axe des abscisses |
| Foyers | F(c ; 0) et F'(-c ; 0) |
| Excentricité | e = ca (et e > 1) |
| Directrices | x = a2c et x = -a2c |
| Asymptotes | y = bax et y = -bax |
Comme x2a2 = 1 + y2b2 ≥ 1, on a x ≤ -a ou x ≥ a : l'hyperbole a deux branches et ne coupe pas l'axe des ordonnées.
Asymptotes. Pour x ≥ a, la branche supérieure est la courbe de y = ba√x2 - a2, et bax - ba√x2 - a2 = ba × a2x + √x2 - a2, qui tend vers 0 quand x tend vers +∞. La droite y = bax est donc asymptote ; par symétrie, y = -bax l'est aussi. Astuce : les asymptotes s'obtiennent en remplaçant le « 1 » par « 0 » : x2a2 - y2b2 = 0.
Définition bifocale. Pour tout point M de l'hyperbole : |MF - MF'| = 2a.
Si a = b, les asymptotes y = x et y = -x sont perpendiculaires : l'hyperbole est dite équilatère, et e = √2.
L'équation y2b2 - x2a2 = 1 est celle d'une hyperbole d'axe focal vertical : sommets (0 ; ± b), foyers (0 ; ± c) avec c2 = a2 + b2, mêmes asymptotes y = ± bax.
Exemple
Exemple 2. Éléments de l'hyperbole 9x² − 16y² = 144.
On divise par 144 : x²/16 − y²/9 = 1, donc a = 4 et b = 3.
c² = a² + b² = 16 + 9 = 25, donc c = 5.
Sommets : (4 ; 0) et (−4 ; 0). Foyers : F(5 ; 0) et F'(−5 ; 0).
Excentricité : e = 5/4. Directrices : x = 16/5 et x = −16/5.
Asymptotes : y = (3/4)x et y = −(3/4)x.
Contrôle avec A(4 ; 0) : AF = 1 et AF' = 9, donc |AF − AF'| = 8 = 2a. Juste.
- x²/a² + y²/b² = 1
- a² = b² + c²
- e = c/a < 1
- 4 sommets
- MF + MF' = 2a
- pas d'asymptote
- x²/a² − y²/b² = 1
- c² = a² + b²
- e = c/a > 1
- 2 sommets
- |MF − MF'| = 2a
- asymptotes y = ± (b/a)x
3. Réduire une équation et tracer
Méthode
Pour étudier une conique d'équation Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 (A et B non nuls) :
- Je mets sous forme canonique en x et en y : A(x − α)² + B(y − β)² = k.
- Je divise par k pour obtenir la forme (x − α)²/a² ± (y − β)²/b² = 1 (même signe : ellipse ; signes contraires : hyperbole).
- Je pose X = x − α, Y = y − β : le centre est Ω(α ; β) et l'équation est réduite.
- Je calcule c (c² = a² − b² ou c² = a² + b²), puis e, les sommets, les foyers, les directrices, les asymptotes.
- Je reviens aux coordonnées x = X + α, y = Y + β.
- Tracé : je place le centre, les sommets, les foyers ; pour l'hyperbole je trace d'abord le rectangle de côtés 2a et 2b centré en Ω et ses diagonales (les asymptotes), puis les branches.
Exemple
Exemple 3. Étudier la courbe x² + 4y² − 2x + 16y + 13 = 0.
x² − 2x = (x − 1)² − 1 et 4y² + 16y = 4(y² + 4y) = 4(y + 2)² − 16.
L'équation devient (x − 1)² − 1 + 4(y + 2)² − 16 + 13 = 0, soit (x − 1)² + 4(y + 2)² = 4.
On divise par 4 : (x − 1)²/4 + (y + 2)²/1 = 1.
Avec X = x − 1 et Y = y + 2 : X²/4 + Y² = 1, ellipse avec a = 2, b = 1.
c² = 4 − 1 = 3, c = √3 ; e = √3/2.
Centre Ω(1 ; −2) ; sommets (3 ; −2), (−1 ; −2), (1 ; −1), (1 ; −3) ;
foyers (1 + √3 ; −2) et (1 − √3 ; −2) ; directrices X = ± 4/√3, soit x = 1 ± 4√3/3.
4. Tangentes
Par la même règle de dédoublement que pour la parabole (x2 devient x x0, y2 devient y y0), la tangente au point M0(x0 ; y0) de la courbe a pour équation :
- ellipse : x x0a2 + y y0b2 = 1 ;
- hyperbole : x x0a2 - y y0b2 = 1.
Par exemple, la tangente à l'ellipse x225 + y29 = 1 au sommet B(0 ; 3) est 3y9 = 1, soit y = 3 : une droite horizontale, comme prévu.
En plus pour la SM. Au BAC, on démontre parfois une de ces équations de tangente en dérivant la relation ou la fonction qui décrit une moitié de la courbe : garde cette vérification en réserve.
3Je retiens
Je retiens
Ellipse : x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) ; c² = a² − b² ; foyers (± c ; 0) ; e = c/a < 1 ; directrices x = ± a²/c ; MF + MF' = 2a.
Hyperbole : x²/a² − y²/b² = 1 ; c² = a² + b² ; foyers (± c ; 0) ; e = c/a > 1 ; directrices x = ± a²/c ; |MF − MF'| = 2a.
Asymptotes de l'hyperbole : y = ± (b/a)x (remplacer 1 par 0 dans l'équation).
Hyperbole équilatère : a = b, asymptotes perpendiculaires, e = √2.
Ellipse avec b > a : grand axe vertical, c² = b² − a², foyers (0 ; ± c).
Tangente en M₀ : x x₀/a² ± y y₀/b² = 1 (dédoublement).
Équation non réduite : forme canonique en x et en y, puis translation vers le centre Ω.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper de relation : pour l'ellipse c² = a² − b², pour l'hyperbole c² = a² + b². Écrire c² = a² − b² pour une hyperbole donne des foyers faux (voire impossibles).
- Lire a² comme a : dans x²/25 + y²/9 = 1, a = 5 et b = 3, pas 25 et 9.
- Oublier de diviser pour obtenir « = 1 » : 4x² + 9y² = 36 n'est réduite qu'après division par 36.
- Placer le grand axe de l'ellipse sur (Ox) alors que b > a : c'est le plus grand dénominateur qui indique la direction du grand axe.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne a, b, c, l'excentricité, les sommets, les foyers et les directrices de :
a) l'ellipse x236 + y220 = 1 ;
b) l'hyperbole x29 - y216 = 1 (donne aussi ses asymptotes).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) a = 6, b = √20 = 2√5 ; c2 = 36 - 20 = 16, c = 4 ; e = 46 = 23.
Sommets : ( ± 6 ; 0) et (0 ; ± 2√5) ; foyers : ( ± 4 ; 0) ; directrices : x = ± 364 = ± 9.
b) a = 3, b = 4 ; c2 = 9 + 16 = 25, c = 5 ; e = 53.
Sommets : ( ± 3 ; 0) ; foyers : ( ± 5 ; 0) ; directrices : x = ± 95 ; asymptotes : y = ± 43x.
2Exercice 2
Écris l'équation 4x2 + 9y2 = 36 sous forme réduite, puis donne les foyers et l'excentricité de l'ellipse.
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On divise par 36 : x29 + y24 = 1, donc a = 3, b = 2 (grand axe horizontal).
c2 = 9 - 4 = 5, c = √5. Foyers (√5 ; 0) et (-√5 ; 0) ; e = √53.
3Exercice 3
Détermine l'équation réduite de l'hyperbole de centre O, de foyers F(4 ; 0) et F'(-4 ; 0), d'excentricité e = 2. Donne ses asymptotes.
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Les foyers sont sur l'axe des abscisses, symétriques par rapport à O : l'équation est de la forme x2a2 - y2b2 = 1 avec c = 4.
e = ca = 2 donne a = 2. Puis b2 = c2 - a2 = 16 - 4 = 12.
Équation : x24 - y212 = 1. Asymptotes : y = ± √122x = ± √3 x.
(On retrouve l'hyperbole de l'exemple 3 de la leçon sur la définition des coniques, de directrice x = a2c = 1.)
4Exercice 4
Étudie la courbe mathcalE : 9x2 + 4y2 - 36x + 8y + 4 = 0 : centre, nature, sommets, foyers, excentricité.
Voir le corrigéCacher le corrigé
9x2 - 36x = 9(x - 2)2 - 36 et 4y2 + 8y = 4(y + 1)2 - 4.
L'équation devient 9(x - 2)2 - 36 + 4(y + 1)2 - 4 + 4 = 0, soit 9(x - 2)2 + 4(y + 1)2 = 36, puis (x - 2)24 + (y + 1)29 = 1.
Avec X = x - 2 et Y = y + 1 : X24 + Y29 = 1. C'est une ellipse de centre Ω(2 ; -1), de grand axe vertical (le plus grand dénominateur, 9, est sous Y2) : demi-axes 2 et 3.
c2 = 9 - 4 = 5, c = √5 ; e = √53.
Sommets : (2 ; 2), (2 ; -4), (0 ; -1), (4 ; -1). Foyers : (2 ; -1 + √5) et (2 ; -1 - √5).
5Exercice 5
(Type BAC) Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i,j). On considère la courbe mathcalH d'équation x2 - 4y2 - 2x - 16y - 19 = 0.
a) Montre que mathcalH est une hyperbole dont on donnera le centre Ω, les sommets, les foyers et l'excentricité.
b) Détermine les équations de ses asymptotes et de ses directrices dans le repère (O ; i,j).
c) Vérifie que le point M(1 + 2√2 ; -1) appartient à mathcalH et détermine l'équation de la tangente à mathcalH en M.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x2 - 2x = (x - 1)2 - 1 et -4y2 - 16y = -4(y2 + 4y) = -4(y + 2)2 + 16.
L'équation devient (x - 1)2 - 1 - 4(y + 2)2 + 16 - 19 = 0, soit (x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 4, puis (x - 1)24 - (y + 2)2 = 1.
Avec X = x - 1, Y = y + 2 : X24 - Y21 = 1. C'est une hyperbole avec a = 2 et b = 1.
c2 = 4 + 1 = 5, c = √5 ; e = √52.
Centre Ω(1 ; -2) ; sommets (3 ; -2) et (-1 ; -2) ; foyers (1 + √5 ; -2) et (1 - √5 ; -2).
b) Asymptotes : Y = ± 12X, soit y + 2 = ± 12(x - 1) :
y = 12x - 52 et y = -12x - 32.
Directrices : X = ± a2c = ± 4√5 = ± 4√55, soit x = 1 + 4√55 et x = 1 - 4√55.
c) Pour M : X0 = 2√2 et Y0 = 1. X024 - Y02 = 84 - 1 = 1 : M ∈ mathcalH.
Tangente (dans le repère d'origine Ω) : X X04 - Y Y0 = 1, soit 2√24X - Y = 1, donc Y = √22X - 1.
Retour : y + 2 = √22(x - 1) - 1, soit y = √22x - √22 - 3.
Contrôle : en dérivant X24 - Y2 = 1, on obtient X2 - 2YY' = 0, donc Y' = X4Y = 2√24 = √22 au point M. La pente est bien √22.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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