Karamö, le prof virtuelLeçon 40 sur 41
La parabole : équation réduite, éléments caractéristiques, tracé
Je sais passer de l'équation d'une parabole à son sommet, son foyer, sa directrice et son axe, puis la tracer avec soin.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Établir et utiliser l'équation réduite y² = 2px d'une parabole
- Déterminer le sommet, le foyer, la directrice, l'axe et le paramètre à partir d'une équation
- Réduire une équation par changement de repère (translation)
- Tracer une parabole et écrire l'équation d'une tangente
Avant de commencer : La définition d'une conique par foyer, directrice et excentricité (leçon précédente) ; la forme canonique d'un trinôme ; le changement de repère par translation.
1Je découvre
Mariama, élève de Terminale SM à Kankan, visite avec sa classe un atelier de soudure. Le soudeur, Sékou, fabrique un four solaire : une grande coupe métallique brillante qui concentre les rayons du soleil sur une marmite placée au bon endroit. « Si je mets la marmite trop haut ou trop bas, l'eau ne chauffe presque pas, explique-t-il. Il y a un seul point où toute la chaleur se concentre. »
Mariama reconnaît la forme : la coupe du four est une parabole, et le point chaud est son foyer. Tous les rayons qui arrivent parallèlement à l'axe de la parabole sont réfléchis vers ce point. C'est aussi le principe des antennes paraboliques et des phares.
Pour fabriquer le four, Sékou a besoin de chiffres : si la coupe mesure 80 cm de large et 20 cm de profondeur, à quelle hauteur placer la marmite ?
Comment lire, sur l'équation d'une parabole, la position de son foyer, de sa directrice et de son sommet, et comment la tracer ?
2Je comprends
1. L'équation réduite
Une parabole est une conique d'excentricité e = 1 : c'est l'ensemble des points M équidistants d'un point F (le foyer) et d'une droite D (la directrice) : MF = d(M, D).
On note p = d(F, D) > 0 : c'est le paramètre de la parabole (ici p = e × d(F, D) avec e = 1).
On choisit un repère orthonormé bien placé : l'origine O au milieu de [FK], où K est le projeté orthogonal de F sur D, et l'axe des abscisses le long de (FK), orienté de K vers F. Alors :
F(p2 ; 0) et D : x = -p2.
Pour M(x ; y) : MF2 = (x - p2)2 + y2 et d(M, D)2 = (x + p2)2.
M ∈ mathcalP ⇔ x2 - px + p24 + y2 = x2 + px + p24 ⇔ y2 = 2px.
Théorème. Dans ce repère, la parabole a pour équation réduite y2 = 2px avec p > 0.
2. Les éléments caractéristiques
Pour la parabole y2 = 2px :
| Élément | Valeur |
|---|---|
| Sommet | S = O(0 ; 0) |
| Axe de symétrie (axe focal) | l'axe des abscisses, y = 0 |
| Foyer | F(p2 ; 0) |
| Directrice | D : x = -p2 |
| Paramètre | p = distance du foyer à la directrice |
Le sommet est le seul point de la parabole situé sur l'axe ; il est à égale distance p2 du foyer et de la directrice. Comme y2 ≥ 0, on a x ≥ 0 : la parabole est tout entière du côté du foyer.
La corde focale. La droite x = p2 (perpendiculaire à l'axe passant par F) coupe la parabole quand y2 = p2, c'est-à-dire en (p2 ; p) et (p2 ; -p). Cette corde a pour longueur 2p : elle donne très vite deux points du tracé.
3. Les quatre positions possibles
Selon l'orientation de l'axe, on rencontre quatre équations réduites (p > 0) :
| Équation | Ouverture | Foyer | Directrice |
|---|---|---|---|
| y2 = 2px | vers la droite | (p2 ; 0) | x = -p2 |
| y2 = -2px | vers la gauche | (-p2 ; 0) | x = p2 |
| x2 = 2py | vers le haut | (0 ; p2) | y = -p2 |
| x2 = -2py | vers le bas | (0 ; -p2) | y = p2 |
Lien avec la classe de Seconde : la courbe de y = ax2 (a > 0) s'écrit x2 = 1ay ; c'est une parabole de paramètre p = 12a et de foyer (0 ; 14a).
Exemple
Exemple 1. Éléments de la parabole y² = 8x.
On identifie 2p = 8, donc p = 4.
Sommet O(0 ; 0) ; axe : l'axe des abscisses ; ouverture vers la droite.
Foyer F(p/2 ; 0) = F(2 ; 0) ; directrice D : x = −2.
Corde focale : pour x = 2, y² = 16, donc y = 4 ou y = −4 : points (2 ; 4) et (2 ; −4).
Autres points : x = 1/2 donne y = ±2 ; x = 8 donne y² = 64, y = ±8.
4. Réduire une équation par translation
Une équation comme y2 - 4y - 4x = 0 n'est pas réduite. On met sous forme canonique la variable qui est au carré, puis on fait un changement de repère par translation.
Méthode
Pour trouver les éléments d'une parabole d'équation non réduite :
- Je regroupe les termes de la variable au carré et je mets sous forme canonique : y² + by = (y + b/2)² − b²/4.
- J'isole l'autre variable pour obtenir (y − β)² = 2p(x − α) (ou une des quatre formes).
- Je pose X = x − α et Y = y − β : dans le repère d'origine S(α ; β), l'équation est réduite, Y² = 2pX.
- Je lis p, puis le foyer et la directrice dans le nouveau repère (X, Y).
- Je reviens aux anciennes coordonnées avec x = X + α et y = Y + β.
Exemple
Exemple 2. Éléments de la parabole y² − 4y − 4x = 0.
y² − 4y = (y − 2)² − 4. L'équation devient (y − 2)² − 4 − 4x = 0, soit (y − 2)² = 4x + 4 = 4(x + 1).
On pose X = x + 1 et Y = y − 2 : Y² = 4X, avec 2p = 4, donc p = 2.
Dans le repère (S ; i, j) avec S(−1 ; 2) : foyer (X = 1 ; Y = 0), directrice X = −1, axe Y = 0.
Retour à x = X − 1 et y = Y + 2 :
sommet S(−1 ; 2) ; foyer F(0 ; 2) ; directrice D : x = −2 ; axe : y = 2.
Vérification avec le point (0 ; 0), qui est sur la courbe (0 − 0 − 0 = 0) : sa distance à F vaut 2, sa distance à D vaut |0 + 2| = 2. Juste.
5. La tangente en un point
Propriété (admise ou démontrée par dérivation). La tangente à la parabole y2 = 2px au point M0(x0 ; y0) a pour équation :
y y0 = p (x + x0).
On l'obtient par la règle du « dédoublement » : y2 devient y y0 et 2x devient x + x0. Au sommet (x0 = y0 = 0), on trouve x = 0 : la tangente au sommet est perpendiculaire à l'axe.
Exemple
Exemple 3. Tangente à y² = 8x au point A(2 ; 4).
A est bien sur la parabole : 4² = 16 = 8 × 2. Ici p = 4.
Tangente : 4y = 4(x + 2), soit y = x + 2.
Contrôle par dérivation : sur la branche supérieure, y = √(8x), donc y' = 8/(2√(8x)) = 4/√(8x). En x = 2 : y' = 4/4 = 1. La tangente a pour pente 1 et passe par (2 ; 4) : y = x + 2. Juste.
6. Retour au four de Sékou
On place le sommet de la coupe à l'origine, l'axe vertical, ouverture vers le haut : x2 = 2py. Le bord de la coupe est à 40 cm de l'axe (la moitié de 80 cm) et à 20 cm de hauteur : le point (40 ; 20) est sur la parabole, donc 1600 = 2p × 20, soit p = 40. Le foyer est en (0 ; p2) = (0 ; 20) : la marmite doit être placée à 20 cm au-dessus du fond, exactement à la hauteur du bord.
3Je retiens
Je retiens
Parabole : ensemble des points M tels que MF = d(M, D) (e = 1) ; p = d(F, D) est le paramètre.
Équation réduite : y² = 2px ; sommet O ; axe (Ox) ; foyer F(p/2 ; 0) ; directrice x = −p/2.
x² = 2py : axe (Oy), foyer (0 ; p/2), directrice y = −p/2 ; les signes « moins » retournent l'ouverture.
Le sommet est le milieu de [FK], K projeté de F sur D.
Corde focale : longueur 2p, points (p/2 ; ± p) pour y² = 2px.
Tangente à y² = 2px en M₀(x₀ ; y₀) : y y₀ = p(x + x₀).
Équation non réduite : forme canonique puis translation X = x − α, Y = y − β.
4Erreurs fréquentes
- Confondre 2p et p : dans y² = 12x, 2p = 12 donc p = 6 et le foyer est en (3 ; 0), pas en (12 ; 0) ni en (6 ; 0).
- Oublier de revenir à l'ancien repère : le foyer calculé en (X ; Y) doit être traduit en (x ; y).
- Se tromper d'axe : dans x² = 2py, c'est x qui est au carré, donc l'axe est (Oy) et la parabole s'ouvre vers le haut.
- Placer la directrice du même côté que le foyer : la directrice et le foyer sont toujours de part et d'autre du sommet.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque parabole, donne le paramètre, le foyer, la directrice et le sens d'ouverture.
a) y2 = 6x ; b) x2 = 10y ; c) y2 = -4x ; d) x2 = -y.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2p = 6, p = 3 ; foyer (32 ; 0) ; directrice x = -32 ; ouverture vers la droite.
b) 2p = 10, p = 5 ; foyer (0 ; 52) ; directrice y = -52 ; ouverture vers le haut.
c) y2 = -2 × 2x, p = 2 ; foyer (-1 ; 0) ; directrice x = 1 ; ouverture vers la gauche.
d) x2 = -2 × 12y, p = 12 ; foyer (0 ; -14) ; directrice y = 14 ; ouverture vers le bas.
2Exercice 2
Détermine l'équation réduite de la parabole de sommet O, d'axe (Ox), qui passe par le point A(3 ; 6). Donne son foyer et sa directrice.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Sommet O et axe (Ox) : l'équation est de la forme y2 = 2px (ouverture vers la droite, car A a une abscisse positive). A ∈ mathcalP : 36 = 2p × 3, donc p = 6. Équation : y2 = 12x. Foyer (3 ; 0), directrice x = -3.
Contrôle : AF = √02 + 62 = 6 et d(A, D) = |3 + 3| = 6.
3Exercice 3
On considère la parabole mathcalP : x2 - 2x - 8y - 15 = 0.
a) Mets l'équation sous la forme (x - α)2 = 2p(y - β).
b) Déduis-en le sommet, le foyer, la directrice et l'axe de mathcalP.
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a) x2 - 2x = (x - 1)2 - 1. L'équation devient (x - 1)2 - 1 - 8y - 15 = 0, soit (x - 1)2 = 8y + 16 = 8(y + 2).
b) On pose X = x - 1, Y = y + 2 : X2 = 8Y, avec 2p = 8, p = 4. Ouverture vers le haut.
Dans le nouveau repère : sommet (0 ; 0), foyer (0 ; 2), directrice Y = -2, axe X = 0.
Retour (x = X + 1, y = Y - 2) : sommet S(1 ; -2), foyer F(1 ; 0), directrice y = -4, axe x = 1.
4Exercice 4
Écris l'équation de la tangente à la parabole y2 = 4x au point B(4 ; -4), puis vérifie ton résultat par dérivation.
Voir le corrigéCacher le corrigé
B est sur la parabole : (-4)2 = 16 = 4 × 4. Ici 2p = 4, p = 2.
Tangente : y × (-4) = 2(x + 4), soit -4y = 2x + 8, soit y = -12x - 2.
Vérification : sur la branche inférieure, y = -√4x = -2√x, donc y' = -1√x. En x = 4 : y' = -12. La tangente passe par (4 ; -4) avec la pente -12 : y = -12(x - 4) - 4 = -12x - 2. Juste.
5Exercice 5
(Type BAC) Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i,j) (unité : 1 cm). On considère la courbe mathcalP d'équation y2 + 2y - 6x + 13 = 0.
a) Montre que mathcalP est une parabole dont on précisera le sommet S, le paramètre, le foyer F et la directrice D.
b) Détermine les points de mathcalP d'abscisse x = 5.
c) Vérifie que le point N(5 ; -1 + 3√2) est équidistant de F et de D.
d) Trace mathcalP, en plaçant S, F, D et les extrémités de la corde focale.
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a) y2 + 2y = (y + 1)2 - 1. L'équation devient (y + 1)2 - 1 - 6x + 13 = 0, soit (y + 1)2 = 6x - 12 = 6(x - 2).
On pose X = x - 2, Y = y + 1 : Y2 = 6X. C'est l'équation réduite d'une parabole, avec 2p = 6, donc p = 3.
Dans le repère d'origine S : foyer (32 ; 0), directrice X = -32.
Retour aux coordonnées (x ; y) : S(2 ; -1), F(72 ; -1), D : x = 12, axe : y = -1.
b) Pour x = 5 : (y + 1)2 = 6 × 3 = 18, donc y + 1 = 3√2 ou y + 1 = -3√2. Points : (5 ; -1 + 3√2) et (5 ; -1 - 3√2).
c) NF2 = (5 - 72)2 + (3√2)2 = 94 + 18 = 814, donc NF = 92. Et d(N, D) = |5 - 12| = 92. Les distances sont égales.
d) Tracé : placer S(2 ; -1), F(3,5 ; -1), la droite verticale x = 0,5. Corde focale : pour x = 72, (y + 1)2 = 9, donc y = 2 ou y = -4 ; points (3,5 ; 2) et (3,5 ; -4) (longueur 2p = 6). Ajouter les points de la question b), environ (5 ; 3,24) et (5 ; -5,24), puis tracer une courbe régulière symétrique par rapport à la droite y = -1, avec une tangente verticale en S.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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