Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 38
Étude de fonctions
Je sais mener l'étude complète d'une fonction (domaine, limites, dérivée, variations, asymptotes, symétries) et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour localiser une solution.
- 2 h
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Suivre le plan d'étude d'une fonction et dresser son tableau de variation
- Utiliser la parité, la périodicité, un centre ou un axe de symétrie pour réduire l'étude
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et le corollaire de la bijection pour montrer qu'une équation a une unique solution et l'encadrer
- Rédiger une étude de fonction de type BAC et tracer la courbe
Avant de commencer : Les limites et les asymptotes ; la dérivée d'une fonction (leçons précédentes) ; le signe d'un trinôme du second degré.
1Je découvre
Kadiatou, élève de Terminale SM à Kankan, prépare le BAC. En feuilletant les sujets des années précédentes, elle remarque que presque chaque sujet contient un « problème » d'analyse qui commence par : « Soit f la fonction définie par… Étudier les variations de f, préciser les asymptotes, tracer la courbe. » Ce problème rapporte souvent le plus de points de l'épreuve.
Elle connaît déjà les limites et les dérivées, mais elle se perd dans l'ordre des questions : faut-il commencer par la dérivée ou par les limites ? Comment savoir si la courbe a un centre de symétrie ? Et comment prouver qu'une équation comme x3 + x - 1 = 0, qu'on ne sait pas résoudre, possède pourtant une solution et une seule ?
Une étude de fonction, c'est un peu comme le relevé d'un terrain avant de construire : on repère les limites du terrain, les montées, les descentes, les points les plus hauts et les plus bas, puis on dessine le plan.
Quel plan suivre pour étudier complètement une fonction, et comment en tirer des informations sur ses équations ?
2Je comprends
1. Le plan d'étude
- 1Ensemble de définition D_f (dénominateur non nul, expression sous la racine positive…).
- 2Réduction du domaine d'étude : parité, périodicité, centre ou axe de symétrie.
- 3Limites aux bornes de D_f et asymptotes éventuelles (horizontale, verticale, oblique).
- 4Dérivée f'(x), factorisée, puis étude de son signe.
- 5Tableau de variation complet avec les limites et les extremums.
- 6Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes demandées, position par rapport à une asymptote.
- 7Tracé : asymptotes d'abord, puis points remarquables, puis la courbe.
2. Réduire le domaine d'étude
Parité. Df doit être symétrique par rapport à 0.
- f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x ∈ Df : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- f est impaire si f(-x) = -f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
On étudie alors f seulement sur Df ∩ [0 ; +∞[, puis on complète par symétrie.
Périodicité. f est périodique de période T si f(x + T) = f(x) pour tout x. Par exemple, x mapsto sin(2x) est périodique de période π, car sin(2(x + π)) = sin(2x + 2π) = sin(2x). On étudie f sur un intervalle de longueur T.
Centre de symétrie. Le point Ω(a ; b) est centre de symétrie de mathcalCf si, pour tout x tel que 2a - x ∈ Df :
f(2a - x) + f(x) = 2b.
Axe de symétrie. La droite d'équation x = a est axe de symétrie de mathcalCf si, pour tout x ∈ Df : f(2a - x) = f(x).
3. Dérivée et sens de variation
Théorème. Soit f dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) > 0 sur I (sauf éventuellement en des points isolés où f' = 0), f est strictement croissante sur I.
- Si f'(x) < 0 sur I (sauf en des points isolés), f est strictement décroissante sur I.
- Si f' = 0 sur I, f est constante sur I.
Extremum. Si f' s'annule en x0 en changeant de signe, f admet un extremum local en x0 : un maximum si f' passe de + à -, un minimum si f' passe de - à +.
4. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Les polynômes, les fractions rationnelles, la racine carrée, sin et cos sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition ; les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b].
Corollaire (théorème de la bijection). Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors pour tout k compris entre les limites (ou valeurs) de f aux bornes de I, l'équation f(x) = k a une unique solution dans I.
Méthode
Pour montrer que f(x) = 0 a une unique solution α dans I, puis l'encadrer :
- Je justifie que f est continue sur I.
- Je justifie que f est strictement monotone sur I (signe de f').
- Je montre que 0 est compris entre les limites (ou valeurs) de f aux bornes de I.
- Je conclus avec le corollaire du TVI : il existe un unique α dans I tel que f(α) = 0.
- Pour encadrer α, je calcule f en des valeurs de plus en plus proches (balayage) jusqu'à trouver deux valeurs de signes contraires.
Exemple
Montrer que g(x) = x³ + x − 1 = 0 a une unique solution α sur ℝ, et l'encadrer à 10⁻¹ près.
g est un polynôme, donc continue sur ℝ.
g'(x) = 3x² + 1 > 0 : g est strictement croissante sur ℝ.
En −∞, g(x) → −∞ ; en +∞, g(x) → +∞. Donc 0 est compris entre ces limites.
D'après le corollaire du TVI, l'équation g(x) = 0 a une unique solution α.
g(0) = −1 < 0 et g(1) = 1 > 0, donc 0 < α < 1.
g(0,6) = 0,216 + 0,6 − 1 = −0,184 < 0 et g(0,7) = 0,343 + 0,7 − 1 = 0,043 > 0.
Donc 0,6 < α < 0,7.
5. Une étude complète
Exemple
Étudier f(x) = x²/(x − 1).
- Domaine : x − 1 ≠ 0, donc D_f = ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
- Écriture utile : x + 1 + 1/(x − 1) = [(x + 1)(x − 1) + 1]/(x − 1) = x²/(x − 1). Donc f(x) = x + 1 + 1/(x − 1).
- Limites : en ±∞, f a la limite de x²/x = x, donc −∞ en −∞ et +∞ en +∞.
En 1, le numérateur tend vers 1 > 0 : f(x) → −∞ si x → 1⁻, f(x) → +∞ si x → 1⁺.
Asymptote verticale x = 1. Comme f(x) − (x + 1) = 1/(x − 1) → 0, la droite y = x + 1 est asymptote oblique.
- Dérivée : f'(x) = [2x(x − 1) − x²]/(x − 1)² = (x² − 2x)/(x − 1)² = x(x − 2)/(x − 1)².
Le dénominateur est positif : f' a le signe de x(x − 2), positif à l'extérieur des racines 0 et 2.
- Extremums : maximum local f(0) = 0 ; minimum local f(2) = 4/1 = 4.
- Centre de symétrie Ω(1 ; 2) : f(2 − x) = (2 − x)²/(1 − x) = −(2 − x)²/(x − 1),
donc f(x) + f(2 − x) = [x² − (2 − x)²]/(x − 1) = (4x − 4)/(x − 1) = 4 = 2 × 2.
Le tableau de variation se lit de gauche à droite :
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | ‖ | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | croît | 0 | décroît | -∞ ‖ +∞ | décroît | 4 | croît | +∞ |
3Je retiens
Je retiens
Plan : domaine, symétries, limites et asymptotes, dérivée et signe, tableau de variation, points particuliers, tracé.
Paire : f(−x) = f(x) (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Impaire : f(−x) = −f(x) (symétrie par rapport à O).
Centre Ω(a ; b) : f(2a − x) + f(x) = 2b. Axe x = a : f(2a − x) = f(x).
f' > 0 sur I : f strictement croissante ; f' < 0 : strictement décroissante ; f' s'annule en changeant de signe : extremum local.
TVI : f continue sur [a ; b], k entre f(a) et f(b), alors f(x) = k a au moins une solution.
Continue + strictement monotone : une unique solution ; on l'encadre par balayage.
4Erreurs fréquentes
- Déduire un extremum de f'(x₀) = 0 sans vérifier le changement de signe : x³ a une dérivée nulle en 0 mais pas d'extremum.
- Oublier la continuité ou la stricte monotonie en appliquant le corollaire du TVI : les deux sont indispensables pour l'unicité.
- Écrire un tableau de variation qui traverse une valeur interdite : on met une double barre et les limites à gauche et à droite.
- Étudier le signe de f' sans l'avoir factorisée : on factorise toujours le numérateur avant de faire le tableau de signes.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Étudie la parité des fonctions suivantes, définies sur ℝ.
a) f(x) = x4 - 3x2 + 1
b) g(x) = x3 + 2x
c) h(x) = x2 + x
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ℝ est symétrique par rapport à 0.
a) f(-x) = (-x)4 - 3(-x)2 + 1 = x4 - 3x2 + 1 = f(x) : f est paire.
b) g(-x) = -x3 - 2x = -g(x) : g est impaire.
c) h(1) = 2 et h(-1) = 1 - 1 = 0. On a h(-1) ≠ h(1) et h(-1) ≠ -h(1) : h n'est ni paire ni impaire.
2Exercice 2
Dresse le tableau de variation de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 5 sur ℝ.
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f'(x) = 3x2 - 6x - 9 = 3(x2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1). Elle s'annule en -1 et en 3, positive à l'extérieur des racines.
f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 ; f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22. En ± ∞, f a la limite de x3.
| x | -∞ | -1 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | croît | 10 | décroît | -22 | croît | +∞ |
Maximum local 10 en -1, minimum local -22 en 3.
3Exercice 3
Montre que le point Ω(-1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe de f(x) = 2x + 3x + 1.
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Ici a = -1 et b = 2 ; Df = ℝ setminus {-1} est symétrique par rapport à -1. On calcule f(-2 - x) :
f(-2 - x) = 2(-2 - x) + 3-2 - x + 1 = -1 - 2x-1 - x = 2x + 1x + 1.
f(-2 - x) + f(x) = 2x + 1 + 2x + 3x + 1 = 4(x + 1)x + 1 = 4 = 2 × 2. Donc Ω est centre de symétrie.
4Exercice 4
Montre que la droite x = 1 est axe de symétrie de la courbe de g(x) = 1x2 - 2x + 2 (on admet que x2 - 2x + 2 > 0 pour tout réel x).
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Ici a = 1, on calcule g(2 - x) :
(2 - x)2 - 2(2 - x) + 2 = 4 - 4x + x2 - 4 + 2x + 2 = x2 - 2x + 2.
Donc g(2 - x) = 1x2 - 2x + 2 = g(x) : la droite x = 1 est axe de symétrie.
5Exercice 5
Soit h(x) = x3 + 3x - 5. Montre que l'équation h(x) = 0 a une unique solution α dans ℝ, puis donne un encadrement de α d'amplitude 10-1.
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h est un polynôme, donc continue sur ℝ. h'(x) = 3x2 + 3 > 0 : h est strictement croissante. Ses limites sont -∞ en -∞ et +∞ en +∞. D'après le corollaire du TVI, h(x) = 0 a une unique solution α.
h(1) = -1 < 0 et h(2) = 9 > 0, donc 1 < α < 2.
h(1,1) = 1,331 + 3,3 - 5 = -0,369 < 0 et h(1,2) = 1,728 + 3,6 - 5 = 0,328 > 0.
Donc 1,1 < α < 1,2.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f définie sur ℝ setminus {2} par f(x) = x2 - 3x + 6x - 2.
a) Montre que f(x) = x - 1 + 4x - 2.
b) Calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Précise les asymptotes.
c) Calcule f'(x) et dresse le tableau de variation de f.
d) Montre que Ω(2 ; 1) est centre de symétrie de la courbe.
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a) x - 1 + 4x - 2 = (x - 1)(x - 2) + 4x - 2 = x2 - 3x + 2 + 4x - 2 = x2 - 3x + 6x - 2 = f(x).
b) En ± ∞, f a la limite de x2x = x : -∞ en -∞, +∞ en +∞. En 2, le numérateur tend vers 4 - 6 + 6 = 4 > 0 : f(x) → -∞ si x → 2^- et f(x) → +∞ si x → 2^+.
La droite x = 2 est asymptote verticale. Comme f(x) - (x - 1) = 4x - 2 → 0 en ± ∞, la droite y = x - 1 est asymptote oblique.
c) f'(x) = 1 - 4(x - 2)2 = (x - 2)2 - 4(x - 2)2 = (x - 2 - 2)(x - 2 + 2)(x - 2)2 = x(x - 4)(x - 2)2.
f(0) = 6-2 = -3 et f(4) = 16 - 12 + 62 = 5.
| x | -∞ | 0 | 2 | 4 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | ‖ | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | croît | -3 | décroît | -∞ ‖ +∞ | décroît | 5 | croît | +∞ |
d) f(4 - x) = (4 - x) - 1 + 4(4 - x) - 2 = 3 - x + 42 - x = 3 - x - 4x - 2.
f(4 - x) + f(x) = 3 - x - 4x - 2 + x - 1 + 4x - 2 = 2 = 2 × 1. Donc Ω(2 ; 1) est centre de symétrie.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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