Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 38
Les suites
Je sais définir une suite (formule explicite ou récurrence), calculer ses termes, étudier son sens de variation, montrer qu'elle est bornée et utiliser le raisonnement par récurrence.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Distinguer une suite définie explicitement d'une suite définie par récurrence et calculer ses termes
- Étudier le sens de variation d'une suite par trois méthodes
- Montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée
- Rédiger correctement une démonstration par récurrence
Avant de commencer : Les fonctions et leurs variations (leçons d'analyse précédentes) ; calcul littéral et inégalités ; notion de suite vue en Première.
1Je découvre
Sékou élève des poulets dans une ferme près de Kindia. Au début, il a 50 poulets. Chaque mois, il vend une partie de ses poulets et en fait éclore de nouveaux. Il note le nombre de poulets à la fin de chaque mois : u0 = 50, u1, u2, u3… Cette liste de nombres, rangés dans l'ordre et numérotés, s'appelle une suite.
Sékou observe que le nombre du mois suivant dépend du nombre du mois présent : il garde la moitié de ses poulets et en ajoute 40 nouveaux. Il écrit donc un+1 = 12un + 40. Avec cette règle, il peut calculer son effectif mois après mois, mais il se pose des questions : le nombre de poulets va-t-il toujours augmenter ? Va-t-il dépasser 100 ? Peut-on le démontrer sans calculer tous les termes un par un ?
Pour répondre, il faut des outils : le sens de variation, les majorants, et surtout une méthode de démonstration très puissante, le raisonnement par récurrence.
Comment définir une suite, étudier son comportement et démontrer une propriété vraie pour tous les entiers n ?
2Je comprends
1. Définition et notations
Une suite numérique u est une fonction qui, à chaque entier naturel n (à partir d'un certain rang n0), associe un réel noté un. On la note (un)n ∈ ℕ ou simplement (un).
- un est le terme de rang n (ou terme général).
- u0 est le premier terme si la suite commence au rang 0.
Attention à ne pas confondre un+1 (le terme qui suit un) et un + 1 (le terme un augmenté de 1).
2. Deux façons de définir une suite
Forme explicite : un = f(n). On calcule directement n'importe quel terme.
Exemple : un = n2 - 3n donne u0 = 0, u1 = -2, u2 = -2, u3 = 0, u10 = 70.
Par récurrence : on donne le premier terme et une relation un+1 = f(un). Pour calculer un terme, il faut connaître le précédent.
Exemple : u0 = 1 et un+1 = 2un + 3 donnent u1 = 5, u2 = 13, u3 = 29.
Pour représenter une suite récurrente un+1 = f(un), on trace la courbe de f et la droite y = x, puis on construit les termes « en escalier » ou « en escargot » : on part de u0 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe (on lit u1), on se reporte horizontalement sur la droite y = x, on redescend sur l'axe, et ainsi de suite.
3. Sens de variation
La suite (un) est croissante si un+1 ≥ un pour tout n, décroissante si un+1 ≤ un pour tout n (on dit « strictement » avec des inégalités strictes). Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d'une suite :
- Méthode de la différence (la plus utilisée) : je calcule u(n+1) − u(n), je simplifie et j'étudie son signe.
- Méthode du quotient (si tous les termes sont strictement positifs) : je compare u(n+1)/u(n) à 1.
- Méthode de la fonction (forme explicite u(n) = f(n)) : si f est croissante sur [0 ; +∞[, la suite est croissante ; si f est décroissante, la suite est décroissante.
- Pour une suite récurrente, j'utilise souvent un raisonnement par récurrence (paragraphe 5).
Exemple
Sens de variation de u(n) = n² − 3n.
u(n+1) − u(n) = (n + 1)² − 3(n + 1) − n² + 3n = n² + 2n + 1 − 3n − 3 − n² + 3n = 2n − 2.
Pour n ≥ 1, 2n − 2 ≥ 0 : la suite est croissante à partir du rang 1.
(Entre u(0) = 0 et u(1) = −2, elle décroît : le rang compte.)
Exemple
Sens de variation de v(n) = 3n/(n + 1).
v(n) = f(n) avec f(x) = 3x/(x + 1) sur [0 ; +∞[.
f'(x) = [3(x + 1) − 3x]/(x + 1)² = 3/(x + 1)² > 0 : f est strictement croissante.
Donc la suite (v(n)) est strictement croissante.
Attention : cette troisième méthode ne marche pas pour une suite récurrente. Si un+1 = f(un) avec f croissante, cela ne dit pas que (un) est croissante.
4. Suites majorées, minorées, bornées
- (un) est majorée s'il existe un réel M tel que un ≤ M pour tout n (M est un majorant).
- (un) est minorée s'il existe un réel m tel que un ≥ m pour tout n (m est un minorant).
- (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Une suite croissante est minorée par son premier terme ; une suite décroissante est majorée par son premier terme.
Exemple
Montrer que v(n) = 3n/(n + 1) est bornée.
Pour tout n : n ≥ 0 et n + 1 > 0, donc v(n) ≥ 0.
De plus, 3 − v(n) = [3(n + 1) − 3n]/(n + 1) = 3/(n + 1) > 0, donc v(n) < 3.
Ainsi 0 ≤ v(n) < 3 : la suite est bornée.
5. Le raisonnement par récurrence
Imagine une longue file de dominos. Si tu fais tomber le premier, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous les dominos tombent. C'est le principe de la récurrence.
Principe. Soit P(n) une propriété qui dépend de l'entier n. Si :
- Initialisation : P(n0) est vraie ;
- Hérédité : pour tout n ≥ n0, si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie ;
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.
Méthode
Pour rédiger une récurrence :
- J'énonce clairement la propriété P(n) à démontrer.
- Initialisation : je vérifie P(n₀) par un calcul.
- Hérédité : je suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ fixé (hypothèse de récurrence) et je démontre P(n + 1), en utilisant cette hypothèse.
- Conclusion : « P(n₀) est vraie et P est héréditaire ; donc, par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀. »
Exemple
Soit u(0) = 1 et u(n+1) = 2u(n) + 3. Montrer que u(n) = 2^(n+2) − 3 pour tout n.
P(n) : « u(n) = 2^(n+2) − 3 ».
Initialisation : 2^(0+2) − 3 = 4 − 3 = 1 = u(0). P(0) est vraie.
Hérédité : supposons u(n) = 2^(n+2) − 3 pour un entier n.
Alors u(n+1) = 2u(n) + 3 = 2(2^(n+2) − 3) + 3 = 2^(n+3) − 6 + 3 = 2^(n+3) − 3.
C'est exactement P(n + 1).
Conclusion : par récurrence, u(n) = 2^(n+2) − 3 pour tout entier naturel n.
Vérification : u(3) = 2⁵ − 3 = 29, comme calculé plus haut.
Exemple
Soit u(0) = 0 et u(n+1) = √(u(n) + 2). Montrer que 0 ≤ u(n) ≤ u(n+1) ≤ 2 pour tout n.
P(n) : « 0 ≤ u(n) ≤ u(n+1) ≤ 2 ».
Initialisation : u(0) = 0 et u(1) = √2 ≈ 1,41. On a bien 0 ≤ 0 ≤ √2 ≤ 2.
Hérédité : supposons 0 ≤ u(n) ≤ u(n+1) ≤ 2. En ajoutant 2 : 2 ≤ u(n) + 2 ≤ u(n+1) + 2 ≤ 4.
La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[, donc √2 ≤ u(n+1) ≤ u(n+2) ≤ 2, et a fortiori 0 ≤ u(n+1) ≤ u(n+2) ≤ 2.
Conclusion : P(n) est vraie pour tout n. La suite est croissante et bornée entre 0 et 2.
3Je retiens
Je retiens
Forme explicite : u(n) = f(n). Forme récurrente : u(0) donné et u(n+1) = f(u(n)).
Croissante : u(n+1) ≥ u(n) pour tout n ; décroissante : u(n+1) ≤ u(n).
Méthodes : signe de u(n+1) − u(n) ; comparer u(n+1)/u(n) à 1 (termes positifs) ; variations de f si u(n) = f(n).
Majorée : u(n) ≤ M ; minorée : u(n) ≥ m ; bornée : les deux.
Récurrence : initialisation (P(n₀) vraie) + hérédité (P(n) vraie entraîne P(n + 1) vraie) donne P(n) vraie pour tout n ≥ n₀.
4Erreurs fréquentes
- Confondre u(n+1) et u(n) + 1 : pour u(n) = n², u(n+1) = (n + 1)² = n² + 2n + 1, alors que u(n) + 1 = n² + 1.
- Oublier l'initialisation : une propriété héréditaire peut être fausse partout (« n = n + 1 » est héréditaire mais jamais vraie).
- Dans l'hérédité, supposer ce qu'on veut démontrer (P(n + 1)) au lieu de partir de P(n).
- Dire que u(n+1) = f(u(n)) est croissante parce que f est croissante : c'est faux en général.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit un = 2n2 - 1. Calcule u0, u1, u2, u3, puis exprime un+1 en fonction de n.
Voir le corrigéCacher le corrigé
u0 = -1 ; u1 = 2 - 1 = 1 ; u2 = 8 - 1 = 7 ; u3 = 18 - 1 = 17.
un+1 = 2(n + 1)2 - 1 = 2(n2 + 2n + 1) - 1 = 2n2 + 4n + 1.
2Exercice 2
Soit v0 = 2 et vn+1 = 12vn + 3. Calcule v1, v2 et v3.
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v1 = 12 × 2 + 3 = 4 ; v2 = 12 × 4 + 3 = 5 ; v3 = 12 × 5 + 3 = 5,5.
3Exercice 3
Étudie le sens de variation des suites suivantes.
a) an = 5 - 2n + 1 pour n ≥ 0.
b) wn = n2n pour n ≥ 1 (utilise le quotient).
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a) an+1 - an = -2n + 2 + 2n + 1 = -2(n + 1) + 2(n + 2)(n + 1)(n + 2) = 2(n + 1)(n + 2) > 0. La suite est strictement croissante.
b) Pour n ≥ 1, wn > 0 et wn+1wn = n + 12n+1 × 2nn = n + 12n.
Or n + 12n ≤ 1 ⇔ n + 1 ≤ 2n ⇔ n ≥ 1. Donc wn+1 ≤ wn : la suite est décroissante (on a w1 = w2 = 12, puis elle décroît strictement à partir du rang 2).
4Exercice 4
Soit un = 2n + 1n + 1 pour n ≥ 0. Montre que un = 2 - 1n + 1, puis que 1 ≤ un < 2 pour tout n.
Voir le corrigéCacher le corrigé
2 - 1n + 1 = 2(n + 1) - 1n + 1 = 2n + 1n + 1 = un.
Pour n ≥ 0 : n + 1 ≥ 1 donc 0 < 1n + 1 ≤ 1. Ainsi 2 - 1 ≤ un < 2, c'est-à-dire 1 ≤ un < 2.
5Exercice 5
Démontre par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1 :
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
P(n) : « 1 + 3 + … + (2n - 1) = n2 ».
Initialisation : pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et 12 = 1. P(1) est vraie.
Hérédité : supposons P(n) vraie pour un entier n ≥ 1. Alors
1 + 3 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.
Le dernier terme ajouté est bien 2(n + 1) - 1 = 2n + 1 : c'est P(n + 1).
Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 1.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit (un) définie par u0 = 1 et un+1 = √2un + 3.
a) Calcule u1 et u2 (valeurs approchées à 10-2).
b) Démontre par récurrence que 0 < un < 3 pour tout n.
c) Montre que un+12 - un2 = -(un - 3)(un + 1), puis déduis-en que (un) est strictement croissante.
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a) u1 = √2 + 3 = √5 ≈ 2,24 ; u2 = √2√5 + 3 ≈ √7,47 ≈ 2,73.
b) P(n) : « 0 < un < 3 ». Initialisation : u0 = 1 et 0 < 1 < 3.
Hérédité : si 0 < un < 3, alors 3 < 2un + 3 < 9, et comme la racine carrée est strictement croissante, √3 < un+1 < 3, donc 0 < un+1 < 3.
Conclusion : pour tout n, 0 < un < 3.
c) un+12 - un2 = 2un + 3 - un2. Et -(un - 3)(un + 1) = -(un2 + un - 3un - 3) = -un2 + 2un + 3. L'égalité est vraie.
Comme 0 < un < 3 : un - 3 < 0 et un + 1 > 0, donc un+12 - un2 > 0.
Or un+12 - un2 = (un+1 - un)(un+1 + un) avec un+1 + un > 0. Donc un+1 - un > 0 : la suite est strictement croissante. (Dans la leçon « Limite d'une suite », tu verras qu'une suite croissante et majorée converge.)
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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