Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 38
Fonction logarithme népérien
Je sais utiliser les propriétés algébriques du logarithme népérien, résoudre des équations et inéquations avec ln, calculer des limites et des dérivées, et étudier une fonction qui contient ln.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition de ln comme primitive de 1/x et ses propriétés algébriques
- Résoudre des équations et des inéquations contenant ln en tenant compte du domaine
- Connaître les limites de référence et les utiliser pour lever une indétermination
- Dériver ln(u) et étudier une fonction contenant ln (exercice type BAC)
Avant de commencer : Limites, dérivation et étude de fonctions ; primitives d'une fonction continue (chapitre Primitives et intégrales) ; résolution d'équations du second degré.
1Je découvre
Au chapitre précédent, tu as appris à trouver des primitives : une primitive de x2 est x33, une primitive de x-2 est -x-1… En général, une primitive de xn est xn+1n+1.
Sékou, en Terminale SM à Conakry, essaie d'appliquer cette formule à x-1 = 1x. Il obtient x00 : une division par zéro ! La formule échoue exactement pour cette fonction.
Pourtant, la fonction x mapsto 1x est continue sur ]0 ; +∞[, donc, d'après le cours, elle admet des primitives sur cet intervalle. Aucune des fonctions que Sékou connaît (polynômes, fractions rationnelles, racines, fonctions trigonométriques) n'a pour dérivée 1x. Il faut donc une fonction nouvelle.
Cette fonction a une propriété étonnante : elle transforme les produits en sommes. C'est elle qui, avant les calculatrices, permettait aux navigateurs et aux astronomes de faire de longues multiplications à l'aide de tables. On la retrouve aujourd'hui dans l'échelle du pH en chimie, les décibels, la croissance des populations ou le calcul des intérêts.
Quelle est cette fonction, quelles sont ses propriétés, et comment l'utiliser pour résoudre des équations et étudier des fonctions ?
2Je comprends
1. Définition
La fonction x mapsto 1x est continue sur ]0 ; +∞[ ; elle y admet donc une unique primitive qui s'annule en 1.
Définition. La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive de x mapsto 1x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1.
Conséquences immédiates :
- ln est définie sur ]0 ; +∞[ : ln x n'existe que si x > 0 ;
- ln 1 = 0 ;
- ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et (ln x)' = 1x.
Comme 1x > 0 pour x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. On en déduit, pour a > 0 et b > 0 :
ln a = ln b ⇔ a = b et ln a < ln b ⇔ a < b.
En particulier : ln x > 0 ⇔ x > 1 et ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1.
On admet que ln prend toutes les valeurs réelles (voir les limites plus bas). Il existe donc un unique réel, noté e, tel que ln e = 1 ; on a e ≈ 2,718.
2. Propriétés algébriques
Propriété fondamentale. Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b.
Démonstration. Fixons b > 0 et posons f(x) = ln(bx) - ln x pour x > 0. Alors f'(x) = bbx - 1x = 0 : f est constante sur ]0 ; +∞[. Or f(1) = ln b - ln 1 = ln b. Donc pour tout x > 0, ln(bx) - ln x = ln b, c'est-à-dire ln(bx) = ln b + ln x.
On en déduit, pour a > 0, b > 0 et n entier relatif :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Inverse | ln(1b) = -ln b |
| Quotient | ln(ab) = ln a - ln b |
| Puissance | ln(an) = n ln a |
| Racine carrée | ln√a = 12ln a |
Attention : il n'existe aucune formule pour ln(a + b).
Avec la propriété de la puissance, pour tout entier relatif n : ln(en) = nln e = n. Ainsi ln(e2) = 2 et ln(1e) = ln(e-1) = -1. Plus généralement, pour tout réel k, l'équation ln x = k a une unique solution, que l'on note ek ; cette notation sera étudiée en détail dans la leçon sur la fonction exponentielle. Retiens dès maintenant : ln x = k ⇔ x = ek.
3. Limites de référence
limx → +∞ ln x = +∞ et limx → 0^+ ln x = -∞.
La droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est donc asymptote verticale à la courbe de ln.
Croissances comparées (la puissance l'emporte sur le logarithme) :
limx → +∞ ln xx = 0 ; limx → 0^+ x ln x = 0.
Plus généralement, pour tout entier n ≥ 1 : limx → +∞ ln xxn = 0 et limx → 0^+ xn ln x = 0.
Nombre dérivé en 1 : limx → 0 ln(1 + x)x = 1 (c'est le nombre dérivé de ln en 1, égal à 11 = 1).
4. Tableau de variation et courbe
| x | 0 | 1 | e | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (ln x)' = 1x | ‖ | + | + | + | |||
| ln x | -∞ | nearrow | 0 | nearrow | 1 | nearrow | +∞ |
La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation y = ln 1 + 11(x - 1), soit y = x - 1. La courbe est toujours en dessous de cette tangente : pour tout x > 0, ln x ≤ x - 1.
5. Dérivée de ln(u)
Théorème. Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors ln(u) est dérivable sur I et :
(ln u)' = u'u.
Conséquence pour les primitives : une primitive de u'u (avec u > 0) est ln u. Par exemple, une primitive de 2xx2 + 1 sur ℝ est ln(x2 + 1).
Méthode
Pour résoudre une équation ou une inéquation contenant ln :
- Je détermine le domaine D : chaque expression sous un ln doit être strictement positive.
- Je regroupe les ln avec les propriétés algébriques pour obtenir ln A = ln B (ou ln A < ln B), ou bien ln A = k.
- J'utilise ln A = ln B ⟺ A = B, ln A < ln B ⟺ A < B (ln est strictement croissante), et ln A = k ⟺ A = eᵏ.
- Je résous l'équation ou l'inéquation obtenue sans ln.
- Je ne garde que les solutions qui appartiennent au domaine D et j'écris l'ensemble S.
Exemple
Simplifier A = ln 12 − ln 3 + 2 ln 2.
A = ln(12/3) + ln(2²) = ln 4 + ln 4 = ln(4 × 4) = ln 16.
Comme 16 = 2⁴ : A = 4 ln 2.
Exemple
Résoudre dans ℝ : ln x + ln(x − 2) = ln 3.
Domaine : x > 0 et x − 2 > 0, donc D = ]2 ; +∞[.
Sur D : ln[x(x − 2)] = ln 3 ⟺ x(x − 2) = 3 ⟺ x² − 2x − 3 = 0.
Discriminant : Δ = 4 + 12 = 16, donc x = (2 − 4)/2 = −1 ou x = (2 + 4)/2 = 3.
−1 n'appartient pas à D ; 3 appartient à D.
S = {3}.
Exemple
Résoudre dans ℝ : ln(2x + 4) ≥ ln(6 − x).
Domaine : 2x + 4 > 0 et 6 − x > 0, donc x > −2 et x < 6 : D = ]−2 ; 6[.
Sur D, ln est strictement croissante : 2x + 4 ≥ 6 − x ⟺ 3x ≥ 2 ⟺ x ≥ 2/3.
On croise avec D : S = [2/3 ; 6[.
Exemple
Calculer la limite de f(x) = ln x − x quand x tend vers +∞.
C'est une forme indéterminée « +∞ − ∞ ». On factorise par x :
f(x) = x (ln x / x − 1).
Or ln x / x tend vers 0, donc la parenthèse tend vers −1, et x tend vers +∞.
Par produit : la limite de f en +∞ est −∞.
Exemple
Dériver f(x) = ln(x² + 1) sur ℝ.
u(x) = x² + 1 est dérivable et strictement positive sur ℝ, u'(x) = 2x.
f'(x) = u'(x)/u(x) = 2x/(x² + 1).
3Je retiens
Je retiens
ln est la primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1 : ln 1 = 0, ln e = 1 (e ≈ 2,718), (ln x)' = 1/x.
ln est strictement croissante : ln a = ln b ⟺ a = b ; ln a < ln b ⟺ a < b ; ln x > 0 ⟺ x > 1.
ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(1/b) = −ln b ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln √a = ½ ln a.
Limites : ln x → +∞ en +∞ ; ln x → −∞ en 0⁺ ; ln x / x → 0 en +∞ ; x ln x → 0 en 0⁺ ; ln(1 + x)/x → 1 en 0.
(ln u)' = u'/u pour u > 0 ; une primitive de u'/u est ln u.
Toujours commencer par le domaine de définition.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le domaine : dans ln x + ln(x − 2) = ln 3, la valeur −1 vérifie l'équation du second degré mais ln(−1) n'existe pas. On la rejette.
- Inventer des formules : ln(a + b) n'est pas ln a + ln b, et ln a × ln b n'est pas ln(ab).
- Écrire (ln u)' = 1/u : il ne faut pas oublier u' au numérateur ; (ln(3x))' = 3/(3x) = 1/x.
- Confondre ln(x²) et (ln x)² : ln(x²) = 2 ln x (pour x > 0), alors que (ln x)² est le carré de ln x.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Exprime en fonction de ln 2 et ln 3 :
a) ln 18 ; b) ln89 ; c) ln√12 ; d) ln136.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 18 = 2 × 32, donc ln 18 = ln 2 + 2ln 3.
b) ln89 = ln(23) - ln(32) = 3ln 2 - 2ln 3.
c) ln√12 = 12ln 12 = 12(2ln 2 + ln 3) = ln 2 + 12ln 3.
d) ln136 = -ln 36 = -ln(22 × 32) = -2ln 2 - 2ln 3.
2Exercice 2
Résous dans ℝ :
a) ln(3x - 2) = 0 ; b) ln x = 2 ; c) ln(x + 1) + ln(x - 1) = ln 8 ; d) ln(1 - x) < 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Domaine : 3x - 2 > 0, soit x > 23. ln(3x - 2) = 0 = ln 1 ⇔ 3x - 2 = 1 ⇔ x = 1, qui est dans le domaine. S = {1}.
b) Domaine : x > 0. ln x = 2 ⇔ x = e2. S = {e2}.
c) Domaine : x + 1 > 0 et x - 1 > 0, donc D = ]1 ; +∞[. Sur D : ln[(x + 1)(x - 1)] = ln 8 ⇔ x2 - 1 = 8 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3 ou x = -3. Seul 3 est dans D. S = {3}.
d) Domaine : 1 - x > 0, soit x < 1. ln(1 - x) < 0 = ln 1 ⇔ 1 - x < 1 ⇔ x > 0. On croise avec le domaine : S = ]0 ; 1[.
3Exercice 3
Calcule les limites suivantes :
a) limx → +∞ (x - ln x) ; b) limx → 0^+ x2 ln x ; c) limx → 0^+ ln xx ; d) limx → 0 ln(1 + 2x)x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Forme « +∞ - ∞ ». x - ln x = x(1 - ln xx) ; la parenthèse tend vers 1 et x vers +∞, donc la limite est +∞.
b) x2 ln x = x × (xln x) ; x → 0 et xln x → 0, donc la limite est 0.
c) Ce n'est pas une forme indéterminée : ln x → -∞ et 1x → +∞, donc ln xx = ln x × 1x → -∞.
d) ln(1 + 2x)x = 2 × ln(1 + 2x)2x. En posant X = 2x, X → 0 et ln(1 + X)X → 1. La limite est 2.
4Exercice 4
Calcule la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué :
a) f(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[ ; b) g(x) = ln(3x2 + 2) sur ℝ ; c) h(x) = (ln x)2 sur ]0 ; +∞[ ; d) k(x) = ln(x - 1x + 1) sur ]1 ; +∞[.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dérivée d'un produit : f'(x) = 1 × ln x + x × 1x = ln x + 1.
b) u(x) = 3x2 + 2 > 0 et u'(x) = 6x : g'(x) = 6x3x2 + 2.
c) h = u2 avec u = ln x : h'(x) = 2u'u = 2 × 1x × ln x = 2ln xx.
d) Pour x > 1, x - 1 > 0 et x + 1 > 0, donc k(x) = ln(x - 1) - ln(x + 1) et k'(x) = 1x - 1 - 1x + 1 = (x + 1) - (x - 1)(x - 1)(x + 1) = 2x2 - 1.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = xln x - x, et (C) sa courbe dans un repère orthonormé.
a) Calcule la limite de g en 0^+ et en +∞.
b) Montre que g'(x) = ln x, puis dresse le tableau de variation de g.
c) Résous l'équation g(x) = 0. Interprète graphiquement.
d) Donne une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse e.
e) Que représente g pour la fonction ln ? Déduis-en la valeur de ∫1e ln x dx.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En 0^+ : xln x → 0 (croissance comparée) et x → 0, donc limx → 0^+ g(x) = 0.
En +∞ : g(x) = x(ln x - 1) ; x → +∞ et ln x - 1 → +∞, donc limx → +∞ g(x) = +∞.
b) g'(x) = (1 × ln x + x × 1x) - 1 = ln x + 1 - 1 = ln x.
g'(x) < 0 sur ]0 ; 1[, g'(1) = 0, g'(x) > 0 sur ]1 ; +∞[. g(1) = 1 × 0 - 1 = -1.
| x | 0 | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g'(x) = ln x | ‖ | - | 0 | + | |
| g(x) | 0 | searrow | -1 | nearrow | +∞ |
g admet un minimum égal à -1, atteint en x = 1.
c) g(x) = 0 ⇔ x(ln x - 1) = 0. Comme x > 0, x ≠ 0, donc ln x - 1 = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e. S = {e}. Graphiquement : la courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point, d'abscisse e ≈ 2,72.
d) g(e) = e × 1 - e = 0 et g'(e) = ln e = 1. (T) : y = g'(e)(x - e) + g(e), soit y = x - e.
e) Comme g'(x) = ln x, la fonction g est une primitive de ln sur ]0 ; +∞[. Donc ∫1e ln x dx = g(e) - g(1) = 0 - (-1) = 1.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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