Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 38
Le logarithme décimal
Je sais définir le logarithme décimal à partir de ln, utiliser ses propriétés pour calculer, résoudre des équations et des inéquations, et l'appliquer au pH, aux décibels et au nombre de chiffres d'un entier.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir log x = ln x / ln 10 et connaître log(10ⁿ) = n
- Utiliser les propriétés algébriques et le sens de variation de log
- Résoudre des équations et inéquations, notamment qⁿ < a pour une suite géométrique
- Appliquer log au pH, au niveau sonore et au nombre de chiffres d'un entier
Avant de commencer : Fonction logarithme népérien (leçon précédente) : définition, propriétés algébriques, dérivée ; suites géométriques.
1Je découvre
En chimie, Lansana, élève de Terminale SE à Boké, mesure l'acidité de plusieurs liquides. La concentration en ions oxonium d'un jus de citron est d'environ 10-2 mol/L, celle de l'eau pure de 10-7 mol/L, et celle d'une eau savonneuse d'environ 10-10 mol/L. Ces nombres sont minuscules et très différents : difficile de les comparer ou de les placer sur un même axe.
Son professeur lui explique que les chimistes utilisent plutôt le pH, qui vaut ici 2, 7 et 10 : le pH est simplement l'exposant de 10, changé de signe. L'outil mathématique qui « récupère l'exposant de 10 » s'appelle le logarithme décimal, noté log.
On le retrouve partout où les grandeurs varient énormément : l'intensité des sons (décibels), la magnitude des séismes, la luminosité des étoiles. Et il permet aussi de compter les chiffres d'un nombre immense, comme 2100, sans l'écrire.
Comment est défini le logarithme décimal, quelles sont ses propriétés et comment l'utiliser ?
2Je comprends
1. Définition
Définition. La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur ]0 ; +∞[ par :
log x = ln xln 10.
On a ln 10 ≈ 2,302 6. Comme ln 10 > 0, log x a le même signe que ln x.
Valeurs remarquables.
- log 1 = 0 et log 10 = ln 10ln 10 = 1.
- Pour tout entier relatif n : log(10n) = nln 10ln 10 = n.
Ainsi log 1 000 = 3, log 0,01 = log(10-2) = -2, log 1 000 000 = 6. Le logarithme décimal d'une puissance de 10 est son exposant.
2. Propriétés algébriques
Le logarithme décimal hérite de toutes les propriétés de ln (on divise tout par ln 10). Pour tous réels a > 0, b > 0 et tout entier relatif n :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | log(ab) = log a + log b |
| Quotient | logab = log a - log b |
| Inverse | log1a = -log a |
| Puissance | log(an) = nlog a |
| Racine | log√a = 12log a |
Valeurs approchées utiles : log 2 ≈ 0,301 ; log 3 ≈ 0,477 ; log 5 = log102 = 1 - log 2 ≈ 0,699.
Exemple
Calculer log 200, log 0,5 et log(10√10).
log 200 = log(2 × 10²) = log 2 + 2 ≈ 2,301.
log 0,5 = log(1/2) = −log 2 ≈ −0,301.
log(10√10) = log 10 + (1/2) log 10 = 1 + 1/2 = 3/2.
3. Étude de la fonction log
- log est dérivable sur ]0 ; +∞[ et log'(x) = 1xln 10, qui est strictement positive : log est strictement croissante.
- limx → 0^+ log x = -∞ et limx → +∞ log x = +∞.
- Pour a > 0 et b > 0 : log a = log b ⇔ a = b et log a < log b ⇔ a < b.
- log x > 0 ⇔ x > 1 ; log x < 0 ⇔ 0 < x < 1.
Pour tout réel y, l'équation log x = y a une unique solution dans ]0 ; +∞[ ; on la note 10y. Pour y entier, c'est la puissance de 10 habituelle. Ce nombre sera étudié en détail avec la fonction exponentielle : 10y = eyln 10.
4. Équations et inéquations
Méthode
Pour résoudre une équation ou une inéquation avec log :
- J'écris les conditions d'existence (tout ce qui est sous un log doit être strictement positif) et j'en déduis l'ensemble D où je cherche les solutions.
- Je regroupe les log avec les propriétés algébriques pour obtenir log A = log B (ou log A < log B), ou log A = k.
- Je supprime les log : A = B (le sens d'une inégalité est conservé, car log est croissante) ; log A = k équivaut à A = 10^k.
- Je résous, puis je ne garde que les solutions qui appartiennent à D.
Exemple
Résoudre log x + log(x − 3) = 1.
Conditions : x > 0 et x − 3 > 0, donc D = ]3 ; +∞[.
log[x(x − 3)] = log 10, donc x(x − 3) = 10, soit x² − 3x − 10 = 0, soit (x − 5)(x + 2) = 0.
x = 5 ou x = −2. Seul 5 appartient à D : S = {5}.
Vérification : log 5 + log 2 = log 10 = 1.
Inéquation qn < a. C'est la question clé des suites géométriques : « à partir de quel rang… ? ». On applique log (qui conserve l'ordre) : nlog q < log a. Attention : si 0 < q < 1, alors log q < 0, et diviser par log q change le sens de l'inégalité.
Exemple
À partir de quel entier n a-t-on 0,9ⁿ < 0,01 ?
log(0,9ⁿ) < log 0,01, soit n log 0,9 < −2.
Comme log 0,9 < 0, on divise en changeant le sens : n > −2/log 0,9 ≈ 43,7.
Donc n ≥ 44.
5. Applications
Nombre de chiffres d'un entier. Un entier N ≥ 1 a k chiffres si et seulement si 10k-1 ≤ N < 10k, c'est-à-dire k - 1 ≤ log N < k. Le nombre de chiffres de N est donc la partie entière de log N, plus 1.
Exemple : log(2100) = 100log 2 ≈ 30,10. Donc 2100 a 30 + 1 = 31 chiffres.
Le pH. Pour une solution aqueuse, pH = -log[H3O^+], où la concentration est en mol/L. Si [H3O^+] = 2,5 × 10-4 mol/L, alors pH = -(log 2,5 - 4) = 4 - log 2,5 ≈ 4 - 0,398 ≈ 3,60. Quand la concentration est divisée par 10, le pH augmente de 1.
Le niveau sonore. Le niveau d'intensité sonore, en décibels (dB), est L = 10logII0, où I est l'intensité du son et I0 une intensité de référence. Si l'intensité est doublée, le niveau augmente de 10log 2 ≈ 3 dB ; si elle est multipliée par 10, il augmente de 10 dB.
3Je retiens
Je retiens
log x = ln x / ln 10 pour x > 0 ; log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log(10ⁿ) = n.
log(ab) = log a + log b ; log(a/b) = log a − log b ; log(aⁿ) = n log a.
log est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ ; log'(x) = 1/(x ln 10).
log x = k équivaut à x = 10^k ; log a < log b équivaut à a < b (a, b > 0).
qⁿ < a avec 0 < q < 1 : n > log a / log q (le sens change car log q < 0).
Nombre de chiffres de N = partie entière de log N, plus 1. pH = −log[H₃O⁺].
4Erreurs fréquentes
- Écrire log(a + b) = log a + log b : c'est faux, la propriété concerne le produit ab.
- Oublier les conditions d'existence et garder une solution qui rend négatif ce qui est sous le log.
- Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par log q quand 0 < q < 1.
- Confondre log et ln : ln 10 ≈ 2,303, alors que log 10 = 1.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule sans calculatrice.
a) log(105) b) log 0,001 c) log(10√10) d) log 50 + log 2 e) log 8log 2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5. b) log(10-3) = -3. c) 1 + 12 = 32. d) log(50 × 2) = log 100 = 2. e) log(23)log 2 = 3log 2log 2 = 3.
2Exercice 2
On donne log 2 ≈ 0,301 et log 3 ≈ 0,477. Calcule une valeur approchée de log 6, log 12, log 1,5 et log 0,25.
Voir le corrigéCacher le corrigé
log 6 = log 2 + log 3 ≈ 0,778.
log 12 = log(22 × 3) = 2log 2 + log 3 ≈ 1,079.
log 1,5 = log32 = log 3 - log 2 ≈ 0,176.
log 0,25 = log14 = -2log 2 ≈ -0,602.
3Exercice 3
Résous dans ℝ.
a) log(2x - 1) = 2
b) log(x + 1) + log(x - 2) = 1
c) log x ≤ -1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Condition : 2x - 1 > 0, soit x > 12. log(2x - 1) = 2 ⇔ 2x - 1 = 100 ⇔ x = 50,5, qui convient. S = {50,5}.
b) Conditions : x > -1 et x > 2, donc D = ]2 ; +∞[. log[(x + 1)(x - 2)] = log 10 ⇔ x2 - x - 2 = 10 ⇔ x2 - x - 12 = 0 ⇔ (x - 4)(x + 3) = 0. Seul 4 appartient à D : S = {4}.
c) Condition : x > 0. log x ≤ log 0,1 ⇔ x ≤ 0,1 (log croissante). S = ]0 ; 0,1].
4Exercice 4
Combien de chiffres possède le nombre 350 ? (On donne log 3 ≈ 0,477 12.)
Voir le corrigéCacher le corrigé
log(350) = 50log 3 ≈ 23,856. Donc 23 ≤ log(350) < 24 et 350 a 23 + 1 = 24 chiffres.
5Exercice 5
Une solution a un pH de 3,2.
a) Calcule sa concentration [H3O^+] en mol/L (valeur approchée).
b) On divise cette concentration par 100. Quel est le nouveau pH ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -log[H3O^+] = 3,2 ⇔ [H3O^+] = 10-3,2 ≈ 6,3 × 10-4 mol/L.
b) logc100 = log c - 2, donc le pH devient 3,2 + 2 = 5,2.
6Exercice 6
(Type BAC) Une moto neuve achetée 12 000 000 GNF perd, dans ce modèle, 8 % de sa valeur chaque année. On note un sa valeur (en GNF) au bout de n années, avec u0 = 12 000 000.
a) Montre que (un) est une suite géométrique ; précise sa raison.
b) Calcule u3.
c) Au bout de combien d'années la moto vaudra-t-elle moins de la moitié de son prix d'achat ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Perdre 8 %, c'est multiplier par 1 - 0,08 = 0,92 : un+1 = 0,92 un. La suite est géométrique de raison 0,92 et un = 12 000 000 × 0,92n.
b) u3 = 12 000 000 × 0,923 = 12 000 000 × 0,778 688 = 9 344 256 GNF.
c) un < 6 000 000 ⇔ 0,92n < 0,5 ⇔ nlog 0,92 < log 0,5.
Comme log 0,92 < 0 : n > log 0,5log 0,92 ≈ 8,31. Donc n ≥ 9 : au bout de 9 ans.
Vérification : 0,928 ≈ 0,513 > 0,5 et 0,929 ≈ 0,472 < 0,5.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
