Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 38
Analyse combinatoire
Je sais dénombrer des situations à l'aide des p-listes, des arrangements, des permutations et des combinaisons, et développer une puissance avec la formule du binôme.
- 2 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser les principes additif et multiplicatif pour compter
- Reconnaître et calculer p-listes, arrangements, permutations et combinaisons
- Choisir le bon outil selon le type de tirage (successif avec ou sans remise, simultané)
- Utiliser le triangle de Pascal et la formule du binôme de Newton
Avant de commencer : Calcul numérique et puissances ; notion d'ensemble, de cardinal et de partie d'un ensemble ; identités remarquables.
1Je découvre
Dans la classe de Terminale SE de Mariama, à Boké, il y a 30 élèves. Le professeur principal annonce deux élections.
D'abord, il faut élire un bureau : un président, un secrétaire et un trésorier, trois élèves différents. Ensuite, il faut désigner une délégation de trois élèves qui ira représenter la classe à une réunion, sans rôle particulier.
Mariama se demande combien de bureaux différents sont possibles, et combien de délégations. Elle sent que ce n'est pas le même nombre : dans le bureau, « Mariama présidente, Alpha secrétaire, Hawa trésorière » n'est pas la même chose que « Alpha président, Mariama secrétaire, Hawa trésorière ». Dans la délégation, en revanche, ces deux choix donnent le même groupe de trois élèves.
Il faut donc savoir si l'ordre compte ou non. Le résultat : 24 360 bureaux possibles, mais seulement 4 060 délégations.
Comment compter rapidement, sans tout écrire, le nombre de façons de choisir ou de ranger des objets ?
2Je comprends
1. Cardinal et principes de base
Le cardinal d'un ensemble fini E, noté card(E), est son nombre d'éléments.
Principe additif. Si A et B sont disjoints (sans élément commun) : card(A ∪ B) = card(A) + card(B). En général : card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B). Et pour le complémentaire : card(A) = card(E) - card(A).
Principe multiplicatif. Si un choix se fait en plusieurs étapes successives, avec n1 possibilités à la première étape, n2 à la deuxième, …, nk à la dernière (quels que soient les choix précédents), le nombre total de choix est n1 × n2 × ⋯ × nk. Un arbre permet de visualiser ce principe.
Exemple : un restaurant de Labé propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. On peut composer 3 × 4 × 2 = 24 menus différents.
2. Les p-listes (ordre compte, répétitions permises)
Une p-liste d'éléments d'un ensemble E à n éléments est une suite ordonnée de p éléments de E, pas forcément distincts. Leur nombre est
np.
Exemple : un code secret de téléphone à 4 chiffres (de 0 à 9) : 104 = 10 000 codes possibles.
3. Les arrangements (ordre compte, sans répétition)
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est une suite ordonnée de p éléments distincts. Leur nombre est
Anp = n × (n - 1) × ⋯ × (n - p + 1) = n!(n - p)!
(p facteurs décroissants à partir de n). On note n! = n × (n - 1) × ⋯ × 2 × 1 (« factorielle n ») et, par convention, 0! = 1.
Le bureau de la classe de Mariama : A303 = 30 × 29 × 28 = 24 360.
4. Les permutations
Une permutation de n éléments est un arrangement des n éléments : c'est une façon de les ranger tous. Leur nombre est
n! (= Ann).
Exemple : 5 élèves peuvent s'aligner de 5! = 120 façons.
5. Les combinaisons (l'ordre ne compte pas)
Une combinaison de p éléments parmi n est une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (pas d'ordre, pas de répétition). Leur nombre est
Cnp = Anpp! = n!p! (n - p)!.
On divise par p! car chaque groupe de p éléments peut être rangé de p! façons.
La délégation de la classe de Mariama : C303 = 24 3603! = 24 3606 = 4 060.
Propriétés. Cn0 = Cnn = 1 ; Cn1 = n ; Cnp = Cnn - p (choisir les p qu'on prend revient à choisir les n - p qu'on laisse) ; relation de Pascal : Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p pour 1 ≤ p ≤ n - 1.
- Tirages successifs, classements, codes, bureaux
- Avec répétition : p-listes, nᵖ
- Sans répétition : arrangements, A(n, p) = n!/(n − p)!
- Tous les n éléments rangés : permutations, n!
- Tirages simultanés, groupes, comités, mains de cartes
- Parties d'un ensemble
- Combinaisons, C(n, p) = n!/(p!(n − p)!)
- Nombre total de parties : 2ⁿ
Méthode
Pour dénombrer une situation :
- Je repère ce qu'on choisit et parmi combien d'objets (p parmi n).
- Je me demande si l'ordre compte (rôles différents, tirages successifs) ou non (groupe, tirage simultané).
- Je me demande si les répétitions sont possibles (tirage avec remise) ou non.
- J'applique : nᵖ (ordre + répétition), A(n, p) (ordre, sans répétition), C(n, p) (sans ordre).
- Pour « au moins un », je passe souvent par le complémentaire : total − « aucun ».
Exemple
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules.
a) Combien de tirages possibles ? b) Combien avec exactement 2 rouges ? c) Combien avec au moins une verte ?
a) Tirage simultané : l'ordre ne compte pas. C(8, 3) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56.
b) On choisit 2 rouges parmi 5 ET 1 verte parmi 3 : C(5, 2) × C(3, 1) = 10 × 3 = 30.
c) Complémentaire de « aucune verte » (3 rouges) : 56 − C(5, 3) = 56 − 10 = 46.
Exemple
On tire successivement et sans remise 3 boules de la même urne. Combien de tirages donnent exactement 2 rouges ?
Ici l'ordre compte. La boule verte peut être tirée en 1re, 2e ou 3e position : 3 places possibles.
Pour chaque place : 5 × 4 choix pour les rouges (dans l'ordre) et 3 choix pour la verte.
Total : 3 × 5 × 4 × 3 = 180. (On retrouve 30 × 3! = 180 : chaque tirage simultané correspond à 6 ordres.)
6. Le triangle de Pascal et le binôme de Newton
La relation de Pascal permet de construire les Cnp ligne par ligne : chaque nombre est la somme des deux nombres placés au-dessus (à gauche et juste au-dessus).
| n | p = 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Formule du binôme de Newton. Pour tous nombres a, b et tout entier naturel n :
(a + b)n = Σk=0n Cnk an-k bk = Cn0an + Cn1an-1b + ⋯ + Cnnbn.
Avec a = b = 1 : Σk=0n Cnk = 2n (c'est le nombre total de parties d'un ensemble à n éléments).
Exemple
Développer (x + 2)⁴.
Ligne 4 du triangle : 1, 4, 6, 4, 1.
(x + 2)⁴ = x⁴ + 4 × x³ × 2 + 6 × x² × 2² + 4 × x × 2³ + 2⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Contrôle avec x = 1 : 3⁴ = 81 et 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81.
3Je retiens
Je retiens
Principe multiplicatif : on multiplie les nombres de choix de chaque étape.
p-listes (ordre, répétitions) : nᵖ.
Arrangements (ordre, sans répétition) : A(n, p) = n!/(n − p)! = n(n − 1)…(n − p + 1).
Permutations : n! ; 0! = 1.
Combinaisons (sans ordre) : C(n, p) = n!/(p!(n − p)!) ; C(n, p) = C(n, n − p) ; C(n, p) = C(n − 1, p − 1) + C(n − 1, p).
Binôme : (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ ; Σ C(n, k) = 2ⁿ.
Tirages : successifs avec remise → nᵖ ; successifs sans remise → A(n, p) ; simultanés → C(n, p).
4Erreurs fréquentes
- Utiliser A(n, p) pour un groupe sans rôles : on compte alors chaque groupe p! fois. Un comité, une délégation, une poignée de boules tirées ensemble → C(n, p).
- Oublier les positions dans un tirage successif : « exactement 2 rouges » en tirage successif demande de compter les places possibles de la boule verte.
- Calculer « au moins un » en additionnant des cas qui se chevauchent : passe par le complémentaire « aucun ».
- Croire que 0! = 0 : par convention 0! = 1, ce qui donne bien C(n, 0) = 1.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule 5!, A73, C83 et C108.
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5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
A73 = 7 × 6 × 5 = 210.
C83 = 8 × 7 × 63 × 2 × 1 = 3366 = 56.
C108 = C102 = 10 × 92 = 45.
2Exercice 2
Un code d'accès est formé de 2 lettres (parmi les 26 de l'alphabet) suivies de 3 chiffres. Combien de codes différents peut-on former ?
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Principe multiplicatif, avec répétitions permises : 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676 × 1 000 = 676 000 codes.
3Exercice 3
a) Huit coureurs disputent une course. Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ?
b) Un entraîneur doit choisir 11 joueurs parmi 15 pour un match, sans tenir compte des postes. Combien d'équipes peut-il former ?
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a) L'ordre compte (or, argent, bronze) et un coureur n'occupe qu'une place : A83 = 8 × 7 × 6 = 336 podiums.
b) L'ordre ne compte pas : C1511 = C154 = 15 × 14 × 13 × 124 × 3 × 2 × 1 = 32 76024 = 1 365 équipes.
4Exercice 4
Une classe compte 12 filles et 10 garçons. On forme un comité de 4 élèves.
a) Combien de comités sont possibles ?
b) Combien comptent exactement 2 filles et 2 garçons ?
c) Combien comptent au moins une fille ?
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a) C224 = 22 × 21 × 20 × 1924 = 175 56024 = 7 315 comités.
b) C122 × C102 = 66 × 45 = 2 970 comités.
c) Complémentaire : « aucune fille » = 4 garçons, soit C104 = 210. Donc 7 315 - 210 = 7 105 comités.
5Exercice 5
a) Développe (2x - 1)5 à l'aide du triangle de Pascal.
b) Calcule C60 + C61 + C62 + C63 + C64 + C65 + C66 sans calculer chaque terme.
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a) Ligne 5 : 1, 5, 10, 10, 5, 1, avec a = 2x et b = -1 :
(2x - 1)5 = (2x)5 - 5(2x)4 + 10(2x)3 - 10(2x)2 + 5(2x) - 1 = 32x5 - 80x4 + 80x3 - 40x2 + 10x - 1.
Contrôle avec x = 1 : 15 = 1 et 32 - 80 + 80 - 40 + 10 - 1 = 1.
b) C'est Σk=06 C6k = 26 = 64.
6Exercice 6
(Type BAC) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire 3 boules.
a) On tire les 3 boules simultanément. Combien de tirages sont possibles ? Combien donnent 3 boules blanches ? Exactement une boule blanche ?
b) On tire les 3 boules successivement sans remise. Combien de tirages sont possibles ? Combien donnent exactement une boule blanche ?
c) On tire les 3 boules successivement avec remise. Combien de tirages sont possibles ? Combien donnent exactement une boule blanche ?
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a) Tirage simultané : C103 = 10 × 9 × 86 = 120 tirages.
3 blanches : C43 = 4. Exactement une blanche : C41 × C62 = 4 × 15 = 60.
b) Sans remise, l'ordre compte : A103 = 10 × 9 × 8 = 720 tirages.
Exactement une blanche : 3 positions pour la blanche, puis 4 × 6 × 5 choix : 3 × 4 × 6 × 5 = 360 (on retrouve 60 × 3! = 360).
c) Avec remise : 103 = 1 000 tirages.
Exactement une blanche : 3 positions, puis 4 × 6 × 6 : 3 × 144 = 432.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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