Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 38
Calcul de probabilités
Je sais calculer la probabilité d'un événement, utiliser les probabilités conditionnelles et un arbre pondéré, appliquer la formule des probabilités totales et reconnaître deux événements indépendants.
- 2 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire des événements (contraire, intersection, réunion, incompatibles)
- Calculer des probabilités dans une situation d'équiprobabilité à l'aide du dénombrement
- Calculer une probabilité conditionnelle et utiliser un arbre pondéré et la formule des probabilités totales
- Reconnaître deux événements indépendants
Avant de commencer : Analyse combinatoire (p-listes, arrangements, combinaisons) ; calcul sur les fractions et les pourcentages ; ensembles (intersection, réunion, complémentaire).
1Je découvre
Une coopérative de Kindia vend des mangues qui proviennent de deux vergers. On suppose que 60 % des mangues viennent du verger A et 40 % du verger B. Dans le verger A, 5 % des mangues sont abîmées pendant le transport ; dans le verger B, où la piste est plus mauvaise, c'est 10 %.
Lansana, le responsable de la coopérative, se pose deux questions. Première question : si un client prend une mangue au hasard dans le stock, quelle est la probabilité qu'elle soit abîmée ? Deuxième question, plus surprenante : un client revient se plaindre avec une mangue abîmée. Quelle est la probabilité qu'elle vienne du verger A ?
Pour la première question, on sent qu'il faut « mélanger » 5 % et 10 %, mais pas n'importe comment. Pour la seconde, on doit « remonter » de la conséquence (mangue abîmée) vers la cause (le verger).
Comment calculer des probabilités quand l'information arrive par étapes, et comment tenir compte de ce que l'on sait déjà ?
2Je comprends
1. Vocabulaire des événements
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles sans savoir lequel va se produire. L'ensemble des résultats possibles est l'univers, noté Ω. Un événement est une partie de Ω.
| Vocabulaire | Notation | Signification |
|---|---|---|
| événement certain | Ω | se produit toujours |
| événement impossible | ∅ | ne se produit jamais |
| contraire de A | A | A ne se produit pas |
| A et B | A ∩ B | les deux se produisent |
| A ou B | A ∪ B | au moins l'un des deux se produit |
| A et B incompatibles | A ∩ B = ∅ | ils ne peuvent pas se produire ensemble |
2. Probabilité : définition et propriétés
Une probabilité sur un univers fini Ω associe à chaque événement A un nombre p(A) de l'intervalle [0 ; 1], avec p(Ω) = 1 ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des résultats qui le composent.
Propriétés.
- p(∅) = 0 et p(A) = 1 - p(A) ;
- p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) ;
- si A et B sont incompatibles : p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
Équiprobabilité. Quand tous les résultats ont la même probabilité (dé équilibré, tirage « au hasard »…) :
p(A) = card(A)card(Ω) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.
On utilise alors les outils de dénombrement de la leçon précédente.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces. A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir au moins 4 ».
A = {2 ; 4 ; 6} et B = {4 ; 5 ; 6}, donc p(A) = 3/6 = 1/2 et p(B) = 1/2.
A ∩ B = {4 ; 6}, donc p(A ∩ B) = 2/6 = 1/3.
p(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 − 1/3 = 2/3. Contrôle : A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6}, soit 4/6 = 2/3.
Exemple
Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules.
Probabilité d'obtenir exactement 2 rouges, puis au moins une verte ?
card(Ω) = C(8, 3) = 56 tirages équiprobables.
Exactement 2 rouges : C(5, 2) × C(3, 1) = 30 cas, donc p = 30/56 = 15/28.
Au moins une verte : contraire de « 3 rouges », qui compte C(5, 3) = 10 cas.
p = 1 − 10/56 = 46/56 = 23/28.
3. Probabilité conditionnelle
Définition. Soit B un événement tel que p(B) ≠ 0. La probabilité de A sachant B est
pB(A) = p(A ∩ B)p(B).
C'est la probabilité de A quand on sait que B est réalisé : l'univers se « réduit » à B.
On en déduit la formule des probabilités composées : p(A ∩ B) = p(B) × pB(A).
4. Arbre pondéré et formule des probabilités totales
Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Sur chaque branche, on écrit une probabilité (conditionnelle à partir du deuxième niveau).
Règles de l'arbre.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Formule des probabilités totales. Si B1, B2, …, Bn forment une partition de Ω (événements deux à deux incompatibles, de réunion Ω, de probabilités non nulles), alors
p(A) = p(B1) pB1(A) + p(B2) pB2(A) + ⋯ + p(Bn) pBn(A).
Avec deux événements : p(A) = p(B) pB(A) + p(B) pB(A).
- 1Premier niveau : le verger. A avec la probabilité 0,6 ; B avec la probabilité 0,4.
- 2Deuxième niveau après A : abîmée (D) avec 0,05 ; saine avec 0,95.
- 3Deuxième niveau après B : abîmée (D) avec 0,10 ; saine avec 0,90.
- 4Chemins menant à D : 0,6 × 0,05 = 0,03 et 0,4 × 0,10 = 0,04.
- 5Probabilités totales : p(D) = 0,03 + 0,04 = 0,07.
Exemple
Retour aux mangues de Lansana. On note A : « la mangue vient du verger A », B = Ā, et D : « la mangue est abîmée ».
Données : p(A) = 0,6 ; p(B) = 0,4 ; p_A(D) = 0,05 ; p_B(D) = 0,10.
Probabilités totales : p(D) = 0,6 × 0,05 + 0,4 × 0,10 = 0,03 + 0,04 = 0,07.
Une mangue sur quatorze environ est abîmée (7 %).
Probabilité « inverse » : p_D(A) = p(A ∩ D)/p(D) = 0,03/0,07 = 3/7 ≈ 0,43.
Même si le verger A fournit 60 % des mangues, une mangue abîmée n'a qu'environ 43 % de chances d'en venir.
Méthode
Pour un exercice avec arbre pondéré :
- Je nomme les événements avec des lettres et je traduis chaque pourcentage de l'énoncé (p(A), p_A(D)…).
- Je construis l'arbre et je complète les branches (somme = 1 à chaque nœud).
- Pour un « et » : je multiplie le long du chemin.
- Pour p(D) : j'additionne les chemins qui mènent à D (probabilités totales).
- Pour « sachant D » : j'applique p_D(A) = p(A ∩ D)/p(D).
5. Événements indépendants
Définition. Deux événements A et B sont indépendants si
p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Si p(B) ≠ 0, cela revient à pB(A) = p(A) : savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A.
Dans l'exemple du dé : p(A) × p(B) = 14 alors que p(A ∩ B) = 13. Les événements « pair » et « au moins 4 » ne sont pas indépendants.
Attention. Indépendants et incompatibles, ce n'est pas la même chose. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l'un se produit, l'autre devient impossible.
Épreuves indépendantes. Quand on répète une expérience dans les mêmes conditions (lancers successifs, tirages avec remise), les résultats sont indépendants : la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités. Par exemple, la probabilité d'obtenir trois « 6 » en trois lancers d'un dé est (16)3 = 1216.
3Je retiens
Je retiens
p(Ā) = 1 − p(A) ; p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
Équiprobabilité : p(A) = card(A)/card(Ω) (cas favorables / cas possibles).
p_B(A) = p(A ∩ B)/p(B) ; donc p(A ∩ B) = p(B) × p_B(A).
Arbre : somme 1 à chaque nœud ; produit le long d'un chemin ; somme des chemins.
Probabilités totales : p(A) = p(B)p_B(A) + p(B̄)p_B̄(A).
A et B indépendants ⇔ p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
« Au moins un » : passer par le contraire « aucun ».
4Erreurs fréquentes
- Confondre p_B(A) et p_A(B) : « la probabilité qu'une mangue du verger A soit abîmée » est p_A(D), et non p_D(A).
- Confondre p(A ∩ B) et p_B(A) : dans un arbre, la probabilité écrite sur la branche du deuxième niveau est conditionnelle ; il faut multiplier par la branche précédente.
- Confondre incompatibles (p(A ∩ B) = 0) et indépendants (p(A ∩ B) = p(A)p(B)).
- Additionner p(A) + p(B) sans retirer p(A ∩ B) quand A et B peuvent se produire ensemble.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On lance un dé équilibré à six faces. C : « obtenir un multiple de 3 » ; D : « obtenir un nombre impair ».
a) Calcule p(C), p(D), p(C ∩ D) et p(C ∪ D).
b) C et D sont-ils indépendants ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) C = {3 ; 6} et D = {1 ; 3 ; 5}. p(C) = 26 = 13 ; p(D) = 36 = 12.
C ∩ D = {3}, donc p(C ∩ D) = 16. p(C ∪ D) = 13 + 12 - 16 = 2 + 3 - 16 = 23.
b) p(C) × p(D) = 13 × 12 = 16 = p(C ∩ D) : C et D sont indépendants.
2Exercice 2
Une classe de 40 élèves compte 25 filles et 15 garçons. 10 filles et 6 garçons portent des lunettes. On choisit un élève au hasard. On note F : « c'est une fille » et L : « l'élève porte des lunettes ».
a) Calcule p(F), p(L) et p(F ∩ L).
b) Calcule pF(L). Interprète.
c) Les événements F et L sont-ils indépendants ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) p(F) = 2540 = 58 ; p(L) = 10 + 640 = 1640 = 25 ; p(F ∩ L) = 1040 = 14.
b) pF(L) = p(F ∩ L)p(F) = 1/45/8 = 14 × 85 = 25. Parmi les filles, 2 sur 5 portent des lunettes (10 sur 25).
c) p(F) × p(L) = 58 × 25 = 14 = p(F ∩ L) : F et L sont indépendants (d'ailleurs pF(L) = p(L)).
3Exercice 3
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire simultanément 3 boules. Calcule la probabilité d'obtenir :
a) 3 boules blanches ; b) exactement une boule blanche ; c) au moins une boule blanche.
Voir le corrigéCacher le corrigé
card(Ω) = C103 = 120 tirages équiprobables.
a) p = C43120 = 4120 = 130.
b) p = C41 × C62120 = 4 × 15120 = 60120 = 12.
c) Contraire : « aucune blanche » (3 noires), C63 = 20 cas. p = 1 - 20120 = 56.
4Exercice 4
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules. On note R1 : « la 1re boule est rouge » et R2 : « la 2e boule est rouge ».
a) Construis l'arbre pondéré.
b) Calcule p(R1 ∩ R2) et p(R2).
c) Calcule pR2(R1).
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a) Premier niveau : p(R1) = 35 et p(R1) = 25. Après R1 (il reste 2 rouges et 2 vertes) : pR1(R2) = 24 = 12. Après R1 (il reste 3 rouges et 1 verte) : pR1(R2) = 34.
b) p(R1 ∩ R2) = 35 × 12 = 310.
p(R2) = 35 × 12 + 25 × 34 = 310 + 310 = 35.
c) pR2(R1) = p(R1 ∩ R2)p(R2) = 3/103/5 = 12.
5Exercice 5
(Type BAC) Une usine de jus de fruits de Kindia remplit ses bouteilles sur deux chaînes. On suppose que la chaîne 1 remplit 70 % des bouteilles et la chaîne 2 les 30 % restantes. 2 % des bouteilles de la chaîne 1 sont mal fermées, contre 5 % pour la chaîne 2. On prend une bouteille au hasard. On note C1, C2 les événements « la bouteille vient de la chaîne 1 (de la chaîne 2) » et M : « la bouteille est mal fermée ».
a) Construis un arbre pondéré.
b) Calcule p(M).
c) Une bouteille est mal fermée. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la chaîne 2 ? (arrondi à 10-3)
d) On prélève au hasard 3 bouteilles ; on admet que les prélèvements sont indépendants. Calcule la probabilité qu'au moins une soit mal fermée (arrondi à 10-3).
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a) Premier niveau : p(C1) = 0,7 ; p(C2) = 0,3. Après C1 : pC1(M) = 0,02 et pC1(M) = 0,98. Après C2 : pC2(M) = 0,05 et pC2(M) = 0,95.
b) p(M) = 0,7 × 0,02 + 0,3 × 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029.
c) pM(C2) = p(C2 ∩ M)p(M) = 0,0150,029 = 1529 ≈ 0,517.
d) Pour une bouteille, p(M) = 1 - 0,029 = 0,971. Par indépendance, la probabilité qu'aucune des trois ne soit mal fermée est 0,9713 ≈ 0,915.
La probabilité qu'au moins une soit mal fermée est 1 - 0,9713 ≈ 0,085.
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6Je vérifie
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