Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 38
Équations différentielles du premier ordre
Je sais résoudre les équations différentielles y' = ay et y' = ay + b, trouver la solution qui vérifie une condition initiale et utiliser ces équations pour modéliser un phénomène.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une équation différentielle et vérifier qu'une fonction en est solution
- Résoudre y' = ay et y' = ay + b, puis y' = ay + f avec une solution particulière donnée ou cherchée
- Déterminer la solution unique vérifiant une condition initiale
- Modéliser un phénomène (refroidissement, décroissance radioactive, charge d'un condensateur)
Avant de commencer : Fonction exponentielle (dérivée de e^{ax}, propriétés, limites) ; fonction logarithme népérien ; dérivation.
1Je découvre
Dans la famille de Fatoumata, à Kankan, le thé est servi très chaud, à environ 90 °C, dans une pièce où l'air est à 30 °C. Fatoumata, qui prépare le BAC, remarque que le thé refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement à mesure que sa température se rapproche de celle de la pièce.
Son professeur de physique lui a expliqué la loi de refroidissement de Newton : la vitesse à laquelle la température baisse est proportionnelle à l'écart entre la température du thé et celle de la pièce. Si θ(t) est la température du thé après t minutes, cette loi s'écrit :
θ'(t) = -k (θ(t) - 30), k > 0.
C'est une égalité entre une fonction inconnue θ et sa dérivée θ' : une équation différentielle. Fatoumata voudrait en déduire une formule pour θ(t), afin de savoir, par exemple, au bout de combien de temps le thé sera à 50 °C.
Comment trouver toutes les fonctions qui vérifient une telle relation entre une fonction et sa dérivée ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (notée y, f ou θ), et qui fait intervenir cette fonction et ses dérivées. Elle est du premier ordre si seule la dérivée première y' apparaît.
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c'est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui la vérifient. Pour vérifier qu'une fonction est solution, on la dérive et on remplace.
Par exemple, y = 5e2x est solution de y' = 2y, car y' = 10e2x = 2 × 5e2x = 2y.
2. L'équation y' = ay
Théorème. Soit a un réel. Les solutions sur ℝ de l'équation y' = ay sont les fonctions
y(x) = Ceax, C ∈ ℝ.
Démonstration. Les fonctions Ceax sont bien solutions : leur dérivée vaut aCeax. Réciproquement, soit y une solution ; on pose g(x) = y(x)e-ax. Alors g'(x) = y'(x)e-ax - ay(x)e-ax = (y'(x) - ay(x))e-ax = 0. Donc g est constante, égale à un réel C, et y(x) = Ceax.
Condition initiale. Pour tous réels x0 et y0, il existe une unique solution telle que y(x0) = y0 : c'est y(x) = y0 ea(x - x0).
Autre écriture. L'équation y' + ay = 0 s'écrit y' = -ay : ses solutions sont y = Ce-ax. Et α y' + β y = 0 (avec α ≠ 0) s'écrit y' = -βαy.
Exemple
Résoudre y' = 3y, puis trouver la solution telle que y(0) = 2. Résoudre ensuite 2y' + y = 0.
y' = 3y : les solutions sont y(x) = Ce^{3x}, C réel.
y(0) = Ce⁰ = C = 2 : la solution cherchée est y(x) = 2e^{3x}.
2y' + y = 0 ⇔ y' = −(1/2)y : les solutions sont y(x) = Ce^{−x/2}, C réel.
3. L'équation y' = ay + b (avec a ≠ 0)
On cherche d'abord une solution constante y0 : y0' = 0, donc 0 = ay0 + b, soit y0 = -ba.
Ensuite, y est solution si et seulement si y - y0 est solution de z' = az (en effet, (y - y0)' = y' = ay + b = a(y - y0) puisque ay0 + b = 0).
Théorème. Pour a ≠ 0, les solutions de y' = ay + b sont les fonctions
y(x) = Ceax - ba, C ∈ ℝ.
Méthode
Pour résoudre y' = ay + b avec une condition initiale :
- J'écris l'équation sous la forme y' = ay + b (j'isole y' si besoin).
- Je cherche la solution constante : 0 = ay₀ + b, donc y₀ = −b/a.
- J'écris la solution générale : y(x) = Ce^{ax} + y₀.
- J'utilise la condition initiale pour calculer C.
- Je vérifie en dérivant et je réponds à la question posée (limite, valeur, temps…).
Exemple
Résoudre y' = −2y + 6 avec y(0) = 5.
Solution constante : 0 = −2y₀ + 6, donc y₀ = 3.
Solution générale : y(x) = Ce^{−2x} + 3.
y(0) = C + 3 = 5, donc C = 2 : y(x) = 2e^{−2x} + 3.
Vérification : y'(x) = −4e^{−2x} et −2y + 6 = −4e^{−2x} − 6 + 6 = −4e^{−2x}. Juste.
Comme lim e^{−2x} = 0 en +∞, y(x) tend vers 3 : la solution se rapproche de la solution constante.
4. L'équation y' = ay + f(x)
Quand le second membre est une fonction f, on utilise le principe suivant.
Propriété. Si yp est une solution particulière de y' = ay + f, alors les solutions de cette équation sont les fonctions
y = yp + Ceax, C ∈ ℝ
(solution particulière + solutions de l'équation « sans second membre » y' = ay).
En général, l'énoncé donne la forme de yp (par exemple « affine ») et on trouve ses coefficients par identification.
Exemple
Résoudre y' − 2y = x, en cherchant une solution particulière affine.
On cherche y_p(x) = αx + β : y_p' = α, donc α − 2(αx + β) = x, soit −2αx + (α − 2β) = x.
Identification : −2α = 1 et α − 2β = 0, donc α = −1/2 et β = −1/4.
y_p(x) = −x/2 − 1/4. L'équation s'écrit y' = 2y + x, donc les solutions sont
y(x) = Ce^{2x} − x/2 − 1/4, C réel.
5. Modéliser avec une équation différentielle
| Phénomène | Équation | Solutions |
|---|---|---|
| Refroidissement (loi de Newton), pièce à Ta | θ' = -k(θ - Ta) | θ(t) = Ta + Ce-kt |
| Décroissance radioactive | N' = -λ N | N(t) = N0e-λ t |
| Charge d'un condensateur (circuit RC) | RC u' + u = E | u(t) = E + Ce-tRC |
Exemple
Le thé de Fatoumata. On suppose k = 0,1 (t en minutes) et θ(0) = 90. Au bout de combien de temps le thé est-il à 50 °C ?
θ' = −0,1(θ − 30) = −0,1θ + 3. Solution constante : 30. Donc θ(t) = 30 + Ce^{−0,1t}.
θ(0) = 30 + C = 90, donc C = 60 : θ(t) = 30 + 60e^{−0,1t}.
θ(t) = 50 ⇔ 60e^{−0,1t} = 20 ⇔ e^{−0,1t} = 1/3 ⇔ −0,1t = −ln 3 ⇔ t = 10 ln 3 ≈ 11 minutes.
Quand t → +∞, θ(t) → 30 : le thé finit à la température de la pièce.
3Je retiens
Je retiens
y' = ay a pour solutions y(x) = Ce^{ax} (C réel) ; y' + ay = 0 a pour solutions Ce^{−ax}.
Condition initiale y(x₀) = y₀ : une seule solution, y(x) = y₀e^{a(x − x₀)}.
y' = ay + b (a ≠ 0) : y(x) = Ce^{ax} − b/a (−b/a est la solution constante).
y' = ay + f : y = y_p + Ce^{ax}, où y_p est une solution particulière.
Pour trouver C, on utilise la condition initiale APRÈS avoir écrit la solution générale complète.
Refroidissement : θ' = −k(θ − T_a) donne θ(t) = T_a + Ce^{−kt}.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper de signe : y' + 4y = 0 donne y = Ce^{−4x}, et non Ce^{4x}. Isole toujours y' avant de conclure.
- Oublier le coefficient devant y' : 3y' − y = 0 donne y' = y/3, donc y = Ce^{x/3}.
- Calculer C avec la seule partie Ce^{ax} : pour y = Ce^{−2x} + 3 et y(0) = 5, on a C + 3 = 5, pas C = 5.
- Écrire une solution sans constante : « y = e^{3x} » n'est qu'UNE solution de y' = 3y, pas la solution générale.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous les équations différentielles suivantes.
a) y' = 5y b) y' + 4y = 0 c) 3y' - y = 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) y(x) = Ce5x, C ∈ ℝ.
b) y' = -4y, donc y(x) = Ce-4x, C ∈ ℝ.
c) y' = 13y, donc y(x) = Cex3, C ∈ ℝ.
2Exercice 2
Détermine la solution vérifiant la condition donnée.
a) y' = -y et y(0) = 4 b) y' = 2y et y(1) = 3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) y(x) = Ce-x et y(0) = C = 4 : y(x) = 4e-x.
b) y(x) = Ce2x et y(1) = Ce2 = 3, donc C = 3e-2 : y(x) = 3e2x - 2 = 3e2(x - 1).
3Exercice 3
On considère l'équation (E) : y' + 2y = 8.
a) Résous (E).
b) Détermine la solution f de (E) telle que f(0) = 1.
c) Calcule la limite de f en +∞.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (E) ⇔ y' = -2y + 8. Solution constante : 0 = -2y0 + 8, donc y0 = 4. Solutions : y(x) = Ce-2x + 4, C ∈ ℝ.
b) f(0) = C + 4 = 1, donc C = -3 : f(x) = 4 - 3e-2x.
c) limx → +∞ e-2x = 0, donc limx → +∞ f(x) = 4.
4Exercice 4
On considère l'équation (E) : y' - y = -2x + 1.
a) Détermine les réels α et β tels que la fonction yp(x) = α x + β soit solution de (E).
b) Résous (E).
c) Détermine la solution de (E) qui s'annule en 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) yp' = α, donc α - (α x + β) = -2x + 1, soit -α x + (α - β) = -2x + 1.
Identification : -α = -2 donc α = 2 ; α - β = 1 donc β = 1. yp(x) = 2x + 1.
Vérification : yp' - yp = 2 - 2x - 1 = -2x + 1.
b) (E) s'écrit y' = y - 2x + 1 ; les solutions de y' = y sont Cex. Donc y(x) = Cex + 2x + 1, C ∈ ℝ.
c) y(0) = C + 1 = 0, donc C = -1 : y(x) = -ex + 2x + 1.
5Exercice 5
(Type BAC) Une bouillie est retirée du feu à 80 °C et posée dans une pièce à 25 °C. On admet que sa température θ(t), en °C, après t minutes, vérifie θ'(t) = -k(θ(t) - 25), où k est un réel strictement positif.
a) Montre que θ(t) = 25 + 55e-kt.
b) Au bout de 10 minutes, la bouillie est à 50 °C. Montre que k = 110ln115 et donne une valeur approchée de k à 10-3 près.
c) Au bout de combien de minutes la bouillie sera-t-elle à 35 °C ? (arrondi à la minute)
d) Calcule limt → +∞θ(t) et interprète.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) θ' = -kθ + 25k. Solution constante : 0 = -kθ0 + 25k, donc θ0 = 25. Ainsi θ(t) = 25 + Ce-kt. Avec θ(0) = 25 + C = 80 : C = 55 et θ(t) = 25 + 55e-kt.
b) θ(10) = 50 ⇔ 55e-10k = 25 ⇔ e-10k = 511 ⇔ -10k = ln511 ⇔ k = 110ln115. k ≈ 0,079.
c) θ(t) = 35 ⇔ 55e-kt = 10 ⇔ e-kt = 211 ⇔ t = 1kln112 = 10ln 5,5ln 2,2 ≈ 21,6. La bouillie sera à 35 °C au bout d'environ 22 minutes.
d) k > 0 donc limt → +∞ e-kt = 0 et limt → +∞θ(t) = 25. À long terme, la bouillie prend la température de la pièce.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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