Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 38
Variables aléatoires
Je sais définir une variable aléatoire, établir sa loi de probabilité et sa fonction de répartition, calculer son espérance, sa variance et son écart-type, et utiliser la loi binomiale.
- 2 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une variable aléatoire et établir sa loi de probabilité
- Déterminer et représenter la fonction de répartition
- Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type, et interpréter l'espérance (jeu équitable)
- Reconnaître un schéma de Bernoulli et utiliser la loi binomiale
Avant de commencer : Calcul de probabilités (équiprobabilité, probabilités conditionnelles, indépendance) ; analyse combinatoire (combinaisons, binôme de Newton).
1Je découvre
À la kermesse de fin d'année d'un collège de Siguiri, Ousmane tient le stand du dé. Chaque joueur paie 1 000 GNF pour lancer un dé équilibré :
- s'il obtient 6, il reçoit 4 000 GNF ;
- s'il obtient 4 ou 5, il reçoit 1 000 GNF (il récupère sa mise) ;
- sinon, il ne reçoit rien.
Le directeur demande à Ousmane : « Ton stand va-t-il rapporter de l'argent à la kermesse, ou en faire perdre ? » Ousmane observe les premiers joueurs : l'un gagne, deux perdent, un autre récupère sa mise… Impossible de conclure avec quelques parties.
Il faudrait connaître le gain moyen d'un joueur sur un très grand nombre de parties. Pour cela, on associe à chaque résultat du dé un nombre : le gain net du joueur (+3 000, 0 ou -1 000 GNF). Ce nombre qui dépend du hasard s'appelle une variable aléatoire.
Comment décrire une quantité qui dépend du hasard, et comment calculer sa valeur moyenne et sa dispersion ?
2Je comprends
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Définition. Une variable aléatoire X définie sur un univers fini Ω est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat de l'expérience.
On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; … ; xn} l'ensemble des valeurs prises par X, et « X = xi » l'événement formé des résultats pour lesquels X vaut xi.
Loi de probabilité. Donner la loi de X, c'est donner chaque valeur xi et la probabilité pi = p(X = xi), en général dans un tableau. On a toujours
p1 + p2 + ⋯ + pn = 1.
Au stand d'Ousmane, le gain net X du joueur a pour loi :
| xi (en GNF) | -1 000 | 0 | 3 000 |
|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 36 = 12 | 26 = 13 | 16 |
(Résultats 1, 2, 3 : perte de la mise ; 4, 5 : mise récupérée ; 6 : 4 000 - 1 000 = 3 000 GNF de gain net.) Contrôle : 12 + 13 + 16 = 1.
2. Fonction de répartition
Définition. La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur ℝ par
F(x) = p(X ≤ x).
Si les valeurs sont rangées x1 < x2 < ⋯ < xn :
- F(x) = 0 pour x < x1 ;
- F(x) = p1 + ⋯ + pk pour xk ≤ x < xk+1 ;
- F(x) = 1 pour x ≥ xn.
C'est une fonction en escalier, croissante, qui monte de pk en chaque valeur xk. Pour le stand : F(x) = 0 si x < -1 000 ; 12 si -1 000 ≤ x < 0 ; 56 si 0 ≤ x < 3 000 ; 1 si x ≥ 3 000.
3. Espérance, variance, écart-type
Définitions.
- Espérance (valeur moyenne) : E(X) = Σi=1n pi xi = p1x1 + p2x2 + ⋯ + pnxn.
- Variance : V(X) = Σi=1n pi (xi - E(X))2, que l'on calcule plus souvent avec la formule de König : V(X) = E(X2) - [E(X)]2, où E(X2) = Σ pi xi2.
- Écart-type : σ(X) = √V(X) ; il mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, dans la même unité que X.
Interprétation. Sur un très grand nombre de répétitions, la moyenne des valeurs obtenues se rapproche de E(X). Pour un jeu, si X est le gain net du joueur :
- E(X) > 0 : jeu favorable au joueur ; E(X) < 0 : défavorable ; E(X) = 0 : jeu équitable.
Propriétés. Pour tous réels a et b : E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a2V(X).
Exemple
Le stand d'Ousmane : espérance et écart-type du gain net X.
E(X) = (1/2) × (−1 000) + (1/3) × 0 + (1/6) × 3 000 = −500 + 0 + 500 = 0.
Le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, le stand ne gagne ni ne perd d'argent.
E(X²) = (1/2) × 1 000 000 + (1/3) × 0 + (1/6) × 9 000 000 = 500 000 + 1 500 000 = 2 000 000.
V(X) = 2 000 000 − 0² = 2 000 000 et σ(X) = √2 000 000 ≈ 1 414 GNF.
Pour que le stand rapporte de l'argent à la kermesse, il faudrait par exemple baisser le lot du 6.
Méthode
Pour étudier une variable aléatoire X :
- Je liste toutes les valeurs possibles de X (je traduis l'énoncé : gain net = lot − mise…).
- Je calcule p(X = xᵢ) pour chaque valeur (dénombrement, arbre…).
- Je vérifie que la somme des probabilités vaut 1 et je présente la loi dans un tableau.
- Je calcule E(X) = Σ pᵢxᵢ, puis E(X²) = Σ pᵢxᵢ², puis V(X) = E(X²) − E(X)² et σ(X) = √V(X).
- J'interprète (jeu équitable ou non, valeur moyenne…).
Exemple
Une urne contient 4 boules blanches et 6 noires. On tire simultanément 3 boules ; X est le nombre de boules blanches obtenues.
card(Ω) = C(10, 3) = 120. X prend les valeurs 0, 1, 2, 3.
p(X = 0) = C(6, 3)/120 = 20/120 = 1/6 ; p(X = 1) = 4 × C(6, 2)/120 = 60/120 = 1/2 ;
p(X = 2) = C(4, 2) × 6/120 = 36/120 = 3/10 ; p(X = 3) = C(4, 3)/120 = 4/120 = 1/30.
Contrôle : 20 + 60 + 36 + 4 = 120.
E(X) = (0 × 20 + 1 × 60 + 2 × 36 + 3 × 4)/120 = 144/120 = 1,2.
E(X²) = (60 + 4 × 36 + 9 × 4)/120 = 240/120 = 2 ; V(X) = 2 − 1,2² = 0,56 ; σ(X) = √0,56 ≈ 0,75.
Fonction de répartition : F(x) = 0 si x < 0 ; 1/6 si 0 ≤ x < 1 ; 2/3 si 1 ≤ x < 2 ; 29/30 si 2 ≤ x < 3 ; 1 si x ≥ 3.
4. La loi binomiale
Épreuve de Bernoulli. C'est une expérience à deux issues : le succès S, de probabilité p, et l'échec S, de probabilité q = 1 - p.
Schéma de Bernoulli. On répète n fois, de façon identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli. La variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée mathcalB(n ; p) :
p(X = k) = Cnk pk (1 - p)n-k, k ∈ {0 ; 1 ; … ; n}.
Explication : un chemin avec k succès et n - k échecs a pour probabilité pk(1 - p)n-k, et il y a Cnk façons de placer les k succès parmi les n épreuves.
Espérance et variance. E(X) = np et V(X) = np(1 - p).
Exemple
On lance 5 fois un dé équilibré. X est le nombre de « 6 » obtenus. Calculer p(X = 2) et p(X ≥ 1).
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (succès « obtenir 6 », p = 1/6), répétée 5 fois de façon indépendante : X suit B(5 ; 1/6).
p(X = 2) = C(5, 2) × (1/6)² × (5/6)³ = 10 × 125/7 776 = 1 250/7 776 ≈ 0,161.
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − (5/6)⁵ = 1 − 3 125/7 776 = 4 651/7 776 ≈ 0,598.
E(X) = 5 × 1/6 = 5/6 ≈ 0,83 : en moyenne, un peu moins d'un 6 par série de 5 lancers.
3Je retiens
Je retiens
Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque résultat ; sa loi donne p(X = xᵢ) pour chaque valeur, avec Σ pᵢ = 1.
Fonction de répartition : F(x) = p(X ≤ x), fonction en escalier croissante de 0 à 1.
E(X) = Σ pᵢxᵢ ; V(X) = E(X²) − E(X)² ; σ(X) = √V(X).
E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a²V(X).
Jeu équitable ⇔ l'espérance du gain net est nulle.
Loi binomiale B(n ; p) : p(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ ; E(X) = np ; V(X) = np(1 − p).
4Erreurs fréquentes
- Oublier la mise dans le gain : le gain net est « ce que l'on reçoit moins ce que l'on a payé ».
- Écrire V(X) = E(X²) − E(X) : il faut soustraire le CARRÉ de l'espérance.
- Écrire V(aX + b) = aV(X) + b : la constante b disparaît et a est élevé au carré.
- Utiliser la loi binomiale pour des tirages sans remise : les épreuves ne sont alors pas indépendantes. La loi binomiale exige des répétitions identiques et indépendantes.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une variable aléatoire X a pour loi :
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 0,1 | 0,3 | a | 0,2 |
a) Calcule a.
b) Calcule E(X), V(X) et σ(X).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 0,1 + 0,3 + a + 0,2 = 1, donc a = 0,4.
b) E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,3 + 2 × 0,4 + 3 × 0,2 = 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
E(X2) = 0 + 1 × 0,3 + 4 × 0,4 + 9 × 0,2 = 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7.
V(X) = 3,7 - 1,72 = 3,7 - 2,89 = 0,81 et σ(X) = √0,81 = 0,9.
2Exercice 2
Avec la variable X de l'exercice 1 :
a) Détermine la fonction de répartition F de X.
b) On pose Y = 2X - 1. Calcule E(Y) et V(Y) sans établir la loi de Y.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) F(x) = 0 si x < 0 ; 0,1 si 0 ≤ x < 1 ; 0,4 si 1 ≤ x < 2 ; 0,8 si 2 ≤ x < 3 ; 1 si x ≥ 3.
b) E(Y) = 2E(X) - 1 = 2 × 1,7 - 1 = 2,4 et V(Y) = 22 × V(X) = 4 × 0,81 = 3,24.
3Exercice 3
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. Un joueur mise 500 GNF et tire simultanément 2 boules. S'il obtient 2 boules vertes, il reçoit 3 000 GNF ; s'il obtient exactement une boule verte, il reçoit 500 GNF ; sinon, il ne reçoit rien. X désigne le gain net du joueur.
a) Établis la loi de X.
b) Calcule E(X). Le jeu est-il favorable au joueur ?
c) Quelle somme devrait recevoir le joueur pour 2 boules vertes pour que le jeu soit équitable ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
card(Ω) = C52 = 10.
a) 2 vertes : C22 = 1 cas, gain net 3 000 - 500 = 2 500 GNF. Une verte : C21 × C31 = 6 cas, gain net 0. Aucune verte : C32 = 3 cas, gain net -500 GNF.
| xi (GNF) | -500 | 0 | 2 500 |
|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 310 | 610 | 110 |
b) E(X) = -500 × 310 + 0 + 2 500 × 110 = -150 + 250 = 100 GNF. E(X) > 0 : le jeu est favorable au joueur (il gagne en moyenne 100 GNF par partie).
c) Soit g le gain net pour 2 vertes. Équitable ⇔ -150 + g10 = 0 ⇔ g = 1 500 GNF. Le joueur devrait recevoir 1 500 + 500 = 2 000 GNF.
4Exercice 4
Un élève répond au hasard aux 10 questions d'un QCM. Chaque question a 4 réponses possibles dont une seule est juste, et les réponses sont indépendantes. X est le nombre de bonnes réponses.
a) Justifie que X suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres.
b) Calcule p(X = 0) et p(X ≥ 1) (arrondis à 10-3).
c) Calcule E(X) et interprète.
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a) Chaque question est une épreuve de Bernoulli (succès : « bonne réponse », p = 14), répétée 10 fois de façon identique et indépendante. X compte les succès : X suit mathcalB(10 ; 14).
b) p(X = 0) = (34)10 ≈ 0,056 et p(X ≥ 1) = 1 - (34)10 ≈ 0,944.
c) E(X) = 10 × 14 = 2,5 : en répondant au hasard, on obtient en moyenne 2,5 bonnes réponses sur 10.
5Exercice 5
(Type BAC) Un tireur atteint sa cible avec la probabilité 0,8 à chaque tir, indépendamment des autres tirs. Il effectue 4 tirs. X est le nombre de tirs réussis.
a) Donne la loi de X (probabilités exactes).
b) Calcule la probabilité qu'il atteigne la cible au moins 3 fois.
c) Calcule E(X), V(X) et σ(X).
Voir le corrigéCacher le corrigé
X suit mathcalB(4 ; 0,8) (4 tirs identiques et indépendants, succès de probabilité 0,8).
a) p(X = k) = C4k × 0,8k × 0,24-k :
p(X = 0) = 0,24 = 0,0016 ; p(X = 1) = 4 × 0,8 × 0,008 = 0,0256 ; p(X = 2) = 6 × 0,64 × 0,04 = 0,1536 ; p(X = 3) = 4 × 0,512 × 0,2 = 0,4096 ; p(X = 4) = 0,84 = 0,4096.
Contrôle : 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.
b) p(X ≥ 3) = 0,4096 + 0,4096 = 0,8192.
c) E(X) = 4 × 0,8 = 3,2 ; V(X) = 4 × 0,8 × 0,2 = 0,64 ; σ(X) = √0,64 = 0,8.
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6Je vérifie
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