Karamö, le prof virtuelLeçon 30 sur 38
Le produit vectoriel
Je sais calculer le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace et l'utiliser pour trouver un vecteur normal, une aire, une distance ou un volume.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition géométrique du produit vectoriel (direction, sens, norme)
- Calculer un produit vectoriel en coordonnées dans une base orthonormée directe
- Utiliser les propriétés (antisymétrie, bilinéarité, colinéarité)
- Appliquer le produit vectoriel aux aires, aux équations de plans, aux distances et aux volumes
Avant de commencer : Vecteurs de l'espace, coordonnées dans un repère orthonormé, produit scalaire, norme d'un vecteur, équation cartésienne d'un plan, trigonométrie (sinus d'un angle).
1Je découvre
Ibrahima, mécanicien à Kankan, serre l'écrou d'une roue de camion avec une longue clé. Il sait d'expérience deux choses. D'abord, plus la clé est longue, moins il a besoin de forcer. Ensuite, s'il tire dans l'axe de la clé, l'écrou ne tourne pas du tout : il faut tirer perpendiculairement à la clé pour être efficace.
Son fils Lansana, en Terminale SM, lui explique qu'en physique, l'effet de rotation d'une force (son moment) se calcule en combinant deux vecteurs : le vecteur qui va de l'écrou à la main et le vecteur force. Le résultat est un vecteur : sa longueur mesure l'effet de rotation, et sa direction est celle de l'axe de rotation de l'écrou, perpendiculaire aux deux autres.
Cette opération, qui associe à deux vecteurs de l'espace un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers, s'appelle le produit vectoriel.
Comment définir et calculer le produit vectoriel, et à quoi sert-il en géométrie dans l'espace ?
2Je comprends
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O ; i, j, k).
1. Orientation de l'espace
Un triplet de vecteurs non coplanaires (u, v, w) est direct s'il est disposé comme le pouce, l'index et le majeur de la main droite (règle de la main droite : autrement dit, vu depuis l'extrémité de w en regardant vers l'origine, on passe de u à v en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre). Le repère usuel (i, j, k) est choisi direct.
2. Définition géométrique
Définition. Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v, noté u wedge v (on lit « u vectoriel v »), est le vecteur défini ainsi :
- si u et v sont colinéaires, u wedge v = 0 ;
- sinon, w = u wedge v est le vecteur tel que :
- w est orthogonal à u et à v ;
- (u, v, w) est un triplet direct ;
- ‖w‖ = ‖u‖ × ‖v‖ × sinθ, où θ ∈ [0 ; π] est l'angle géométrique entre u et v.
Interprétation de la norme. Si u = AB et v = AD, le nombre ‖u‖ ‖v‖sinθ est l'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs (base AB, hauteur ADsinθ).
3. Propriétés
Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel λ :
- Antisymétrie : v wedge u = - u wedge v (l'ordre compte !) ;
- Bilinéarité : u wedge (v + w) = u wedge v + u wedge w et (λu) wedge v = λ(u wedge v) ;
- Colinéarité : u wedge v = 0 ⇔ u et v sont colinéaires. En particulier u wedge u = 0 ;
- Vecteurs de base : i wedge j = k, j wedge k = i, k wedge i = j (ordre circulaire i → j → k → i).
Attention : le produit vectoriel n'est pas associatif en général. Par exemple (i wedge i) wedge j = 0 alors que i wedge (i wedge j) = i wedge k = -j.
4. Calcul en coordonnées
En développant par bilinéarité avec les produits des vecteurs de base, on obtient :
Formule. Si u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z') dans une base orthonormée directe, alors
u wedge v beginpmatrix yz' - zy'
zx' - xz'
xy' - yx' endpmatrix.
Moyen mnémotechnique : pour la 1re coordonnée, on cache la 1re ligne et on calcule le « déterminant en croix » des lignes 2 et 3 ; pour la 2e, on utilise les lignes 3 et 1 ; pour la 3e, les lignes 1 et 2.
Méthode
Pour calculer u ∧ v en coordonnées :
- J'écris les deux vecteurs en colonnes, côte à côte.
- 1re coordonnée : y z' − z y' (lignes 2 et 3).
- 2e coordonnée : z x' − x z' (lignes 3 et 1).
- 3e coordonnée : x y' − y x' (lignes 1 et 2).
- Je vérifie : le résultat doit avoir un produit scalaire nul avec u et avec v.
Exemple
Calculer u ∧ v avec u(1 ; 2 ; 3) et v(4 ; 5 ; 6).
1re coordonnée : 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3.
2e coordonnée : 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6.
3e coordonnée : 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3.
u ∧ v = (−3 ; 6 ; −3).
Vérification : u·(u ∧ v) = −3 + 12 − 9 = 0 et v·(u ∧ v) = −12 + 30 − 18 = 0.
5. Applications
a) Vecteur normal à un plan. Si A, B, C ne sont pas alignés, n = AB wedge AC est un vecteur normal au plan (ABC). Cela donne directement une équation du plan.
b) Aire d'un triangle. L'aire du triangle ABC est la moitié de celle du parallélogramme :
mathcalAABC = 12 ‖AB wedge AC‖.
c) Distance d'un point à une droite. Si la droite D passe par A et a pour vecteur directeur u, la distance du point M à D est :
d(M, D) = ‖AM wedge u‖‖u‖.
d) Volume (produit mixte). Le nombre (u wedge v)·w s'appelle le produit mixte. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur u, v, w. Le volume du tétraèdre ABCD vaut 16|(AB wedge AC)·AD|.
e) En physique. Le moment d'une force F appliquée en M, par rapport à un point O, est OM wedge F : c'est la situation de la clé d'Ibrahima. La force de Lorentz q v wedge B en est un autre exemple.
Exemple
A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3). Calculer l'aire du triangle ABC et une équation du plan (ABC).
vect(AB) = (−1 ; 2 ; 0) et vect(AC) = (−1 ; 0 ; 3).
vect(AB) ∧ vect(AC) = (2 × 3 − 0 × 0 ; 0 × (−1) − (−1) × 3 ; (−1) × 0 − 2 × (−1)) = (6 ; 3 ; 2).
Norme : √(36 + 9 + 4) = √49 = 7. Aire du triangle : 7/2 = 3,5 unités d'aire.
Plan (ABC) : 6x + 3y + 2z = d ; avec A : d = 6. Équation : 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
Vérification : B donne 6 et C donne 6.
Exemple
Distance du point M(2 ; 1 ; 0) à la droite D passant par O(0 ; 0 ; 0) et dirigée par u(1 ; 1 ; 1).
vect(OM) = (2 ; 1 ; 0).
vect(OM) ∧ u = (1 × 1 − 0 × 1 ; 0 × 1 − 2 × 1 ; 2 × 1 − 1 × 1) = (1 ; −2 ; 1), de norme √6.
‖u‖ = √3. Donc d(M, D) = √6/√3 = √2.
Contrôle : le projeté de M sur D est H(1 ; 1 ; 1) (car vect(OM)·u/‖u‖² = 3/3 = 1) et MH = √(1 + 0 + 1) = √2.
- Résultat : un nombre réel
- u·v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ
- Nul si u et v orthogonaux
- Symétrique : u·v = v·u
- Sert pour angles, orthogonalité, distances
- Résultat : un vecteur
- ‖u ∧ v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin θ
- Nul si u et v colinéaires
- Antisymétrique : v ∧ u = −u ∧ v
- Sert pour normales, aires, volumes, moments
3Je retiens
Je retiens
u ∧ v est orthogonal à u et à v, (u, v, u ∧ v) est direct et ‖u ∧ v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin θ.
u ∧ v = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires ; v ∧ u = −(u ∧ v).
i ∧ j = k ; j ∧ k = i ; k ∧ i = j.
Coordonnées : u ∧ v = (yz' − zy' ; zx' − xz' ; xy' − yx').
Aire du triangle ABC = ½ ‖vect(AB) ∧ vect(AC)‖ ; vect(AB) ∧ vect(AC) est normal au plan (ABC).
Distance de M à la droite (A, u) = ‖vect(AM) ∧ u‖ / ‖u‖.
Volume du tétraèdre ABCD = (1/6) |(vect(AB) ∧ vect(AC))·vect(AD)|.
4Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre : v ∧ u est l'opposé de u ∧ v. Le sens du vecteur change, sa norme non.
- Se tromper dans la 2e coordonnée : c'est z x' − x z' (et non x z' − z x'). Toujours vérifier le résultat par deux produits scalaires nuls.
- Oublier le facteur ½ pour l'aire d'un triangle, ou le facteur 1/6 pour le volume d'un tétraèdre.
- Confondre produit vectoriel et produit scalaire : u ∧ v est un vecteur, on ne peut pas l'écrire comme un nombre.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule u wedge v avec u(2 ; -1 ; 0) et v(1 ; 3 ; 2), puis vérifie ton résultat.
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1re coordonnée : (-1) × 2 - 0 × 3 = -2 ; 2e : 0 × 1 - 2 × 2 = -4 ; 3e : 2 × 3 - (-1) × 1 = 7.
u wedge v(-2 ; -4 ; 7).
Vérification : u·(u wedge v) = -4 + 4 + 0 = 0 et v·(u wedge v) = -2 - 12 + 14 = 0.
2Exercice 2
Les vecteurs u(2 ; -4 ; 6) et v(-1 ; 2 ; -3) sont-ils colinéaires ? Réponds à l'aide du produit vectoriel.
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u wedge v = ((-4)(-3) - 6 × 2 ; 6 × (-1) - 2 × (-3) ; 2 × 2 - (-4)(-1)) = (0 ; 0 ; 0).
Le produit vectoriel est nul : les vecteurs sont colinéaires (en effet u = -2v).
3Exercice 3
A(1 ; 2 ; -1), B(2 ; 3 ; 0), C(3 ; 1 ; 1).
a) Calcule AB wedge AC.
b) Déduis-en l'aire du triangle ABC et une équation du plan (ABC).
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a) AB(1 ; 1 ; 1) et AC(2 ; -1 ; 2).
AB wedge AC = (1 × 2 - 1 × (-1) ; 1 × 2 - 1 × 2 ; 1 × (-1) - 1 × 2) = (3 ; 0 ; -3).
b) ‖AB wedge AC‖ = √9 + 0 + 9 = 3√2. Aire : 3√22.
Vecteur normal (3 ; 0 ; -3), ou plus simplement (1 ; 0 ; -1) : le plan a une équation x - z = d. Avec A : d = 1 - (-1) = 2. Équation : x - z - 2 = 0. Contrôle : B donne 2 - 0 = 2 et C donne 3 - 1 = 2.
4Exercice 4
Avec les points de l'exercice 3, calcule la distance du point C à la droite (AB) de deux façons : par la formule du cours, puis à partir de l'aire du triangle.
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Formule : d(C, (AB)) = ‖AC wedge AB‖‖AB‖ = 3√2√3 = √6 (la norme ne dépend pas de l'ordre).
Par l'aire : mathcalA = 12 × AB × d, donc d = 2mathcalAAB = 3√2√3 = √6. Les deux méthodes concordent.
5Exercice 5
(Type BAC) On donne A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) et D(1 ; 1 ; 1).
a) Calcule AB wedge AC et déduis-en l'aire du triangle ABC.
b) Donne une équation cartésienne du plan (ABC).
c) Calcule la distance du point D au plan (ABC).
d) Calcule le volume du tétraèdre ABCD de deux manières.
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a) AB(-1 ; 1 ; 0) et AC(-1 ; 0 ; 1).
AB wedge AC = (1 × 1 - 0 × 0 ; 0 × (-1) - (-1) × 1 ; (-1) × 0 - 1 × (-1)) = (1 ; 1 ; 1).
Aire : 12√3 = √32.
b) Vecteur normal (1 ; 1 ; 1) : x + y + z = d ; avec A, d = 1. Équation : x + y + z - 1 = 0.
c) d(D, (ABC)) = |1 + 1 + 1 - 1|√1 + 1 + 1 = 2√3 = 2√33.
d) Méthode 1 : V = 13 × aire(ABC) × h = 13 × √32 × 2√3 = 13.
Méthode 2 : AD(0 ; 1 ; 1) et (AB wedge AC)·AD = 0 + 1 + 1 = 2, donc V = 16 × 2 = 13 unité de volume.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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