Karamö, le prof virtuelLeçon 31 sur 38
Isométries et applications : généralités
Je sais reconnaître une application du plan, une bijection et une isométrie, connaître leurs propriétés et classer une isométrie selon ses points invariants.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire des applications du plan (image, antécédent, point invariant, bijection, réciproque, composée)
- Démontrer qu'une application est ou n'est pas une isométrie
- Connaître les propriétés conservées par une isométrie
- Classer les isométries (déplacements, antidéplacements) et utiliser la composée de deux symétries orthogonales
Avant de commencer : Translations, symétries centrales et orthogonales, rotations vues au collège et en Seconde ; distance dans un repère orthonormé ; barycentre ; nombres complexes (forme algébrique).
1Je découvre
Dans un atelier de teinture de Labé, Aïssatou imprime des motifs sur un pagne à l'aide d'un tampon en bois. Elle pose le tampon, le fait glisser, le retourne, le tourne d'un quart de tour… Chaque fois, le motif imprimé a exactement la même taille et la même forme que le motif gravé : seules sa position et parfois son orientation changent.
Mariama, sa nièce, qui prépare le BAC, remarque que toutes ces manipulations ont un point commun : elles conservent les distances. Deux points du motif distants de 3 cm restent à 3 cm après l'impression. Elle se demande combien de sortes de manipulations différentes existent, et comment les reconnaître à coup sûr.
En mathématiques, ces transformations s'appellent des isométries du plan. Il n'en existe que cinq familles, et on peut les distinguer grâce à une idée simple : les points qui ne bougent pas.
Qu'est-ce qu'une isométrie du plan, que conserve-t-elle, et comment reconnaître sa nature ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Applications du plan
Une application f du plan mathcalP dans lui-même associe à chaque point M un unique point M' = f(M), appelé image de M. On dit que M est un antécédent de M'.
- Un point M est invariant (ou fixe) par f si f(M) = M.
- f est une bijection (ou transformation) si tout point du plan a exactement un antécédent. On définit alors la réciproque f-1 : f-1(M') = M ⇔ f(M) = M'.
- La composée g ° f est l'application M mapsto g(f(M)) : on applique d'abord f, puis g. En général g ° f ≠ f ° g.
- L'identité Id est l'application M mapsto M. Une application f telle que f ° f = Id est une involution ; elle est alors sa propre réciproque.
2. Définition d'une isométrie
Définition. Une application f du plan est une isométrie si elle conserve les distances : pour tous points M et N, d'images M' et N',
M'N' = MN.
Exemples connus : l'identité, les translations, les symétries centrales, les symétries orthogonales, les rotations.
Propriétés. Toute isométrie :
- est une bijection, et sa réciproque est une isométrie ;
- conserve l'alignement, le milieu et plus généralement les barycentres ;
- transforme une droite en droite, un segment en segment de même longueur, un cercle en cercle de même rayon ;
- conserve le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques et les aires.
La composée de deux isométries est une isométrie.
Propriété d'unicité. Une isométrie qui laisse fixes trois points non alignés est l'identité. Conséquence : deux isométries qui ont la même image pour trois points non alignés sont égales.
3. Déplacements et antidéplacements
Une isométrie conserve les angles géométriques, mais elle peut conserver ou inverser les angles orientés :
- un déplacement conserve les angles orientés : translations, rotations (dont les symétries centrales) ;
- un antidéplacement change un angle orienté en son opposé : symétries orthogonales et symétries glissées.
Les motifs d'Aïssatou obtenus en faisant glisser ou tourner le tampon proviennent de déplacements ; ceux obtenus en retournant le tampon, d'antidéplacements.
- Conservent les angles orientés
- Identité, translations
- Rotations (dont symétries centrales)
- Complexe : z' = az + b, module de a égal à 1
- Composée de 0 ou 2 réflexions
- Changent les angles orientés en leurs opposés
- Symétries orthogonales (réflexions)
- Symétries glissées
- Complexe : z' = a z̄ + b, module de a égal à 1
- Composée de 1 ou 3 réflexions
4. Classer une isométrie par ses points invariants
| Points invariants | Déplacement | Antidéplacement |
|---|---|---|
| Tous les points du plan | identité | — |
| Une droite de points | — | symétrie orthogonale d'axe cette droite |
| Un seul point | rotation d'angle non nul | — |
| Aucun point | translation de vecteur non nul | symétrie glissée |
Ce tableau est l'outil principal pour reconnaître une isométrie.
5. Composée de deux symétries orthogonales
Soit s1 et s2 les symétries orthogonales d'axes d1 et d2.
- Si d1 = d2 : s2 ° s1 = Id.
- Si d1 ∥ d2 : s2 ° s1 est la translation de vecteur 2u, où u est le vecteur qui va de d1 à d2 perpendiculairement.
- Si d1 et d2 se coupent en O : s2 ° s1 est la rotation de centre O et d'angle 2(d1, d2).
Réciproquement, toute translation et toute rotation s'écrivent comme la composée de deux symétries orthogonales ; toute isométrie est la composée d'au plus trois symétries orthogonales.
Méthode
Pour étudier une application f donnée par son expression analytique (x ; y) ↦ (x' ; y') :
- Isométrie ? Je calcule M'N'² pour deux points quelconques M et N, et je compare à MN². Pour prouver que ce n'est pas une isométrie, un seul contre-exemple suffit.
- Points invariants : je résous le système x' = x et y' = y.
- Déplacement ou antidéplacement : je regarde la forme complexe (az + b ou a z̄ + b), ou l'effet sur un angle orienté.
- Je conclus avec le tableau des points invariants, et je précise les éléments caractéristiques (centre, angle, axe, vecteur).
Exemple
Étudier f : (x ; y) ↦ (−y + 1 ; x).
Isométrie : si M(x ; y) et N(u ; v), alors M'(−y + 1 ; x) et N'(−v + 1 ; u).
M'N'² = (−v + y)² + (u − x)² = (u − x)² + (v − y)² = MN². C'est une isométrie.
Points invariants : −y + 1 = x et x = y, donc 2x = 1 : un seul point Ω(1/2 ; 1/2).
En complexe, z' = x' + iy' = (−y + 1) + ix = i(x + iy) + 1 = iz + 1 : forme az + b avec |a| = 1, c'est un déplacement.
Un déplacement avec un seul point fixe : f est une rotation de centre Ω. Comme a = i = e^(iπ/2), son angle est π/2.
Exemple
g : (x ; y) ↦ (2x ; y) est-elle une isométrie ?
O(0 ; 0) et A(1 ; 0) ont pour images O'(0 ; 0) et A'(2 ; 0).
OA = 1 mais O'A' = 2 : g ne conserve pas les distances, ce n'est pas une isométrie.
Exemple
Étudier h : (x ; y) ↦ (x + 3 ; −y).
Avec M(x ; y) et N(u ; v) : M'N'² = (u − x)² + (−v + y)² = MN² : c'est une isométrie.
Points invariants : x + 3 = x est impossible, donc aucun point invariant.
h(z) = x + 3 − iy = z̄ + 3 : antidéplacement. Sans point fixe, c'est une symétrie glissée : on applique la symétrie d'axe (Ox), puis la translation de vecteur (3 ; 0). On vérifie h ∘ h : (x ; y) ↦ (x + 6 ; y), translation de vecteur (6 ; 0).
3Je retiens
Je retiens
Une isométrie conserve les distances : M'N' = MN. C'est une bijection.
Elle conserve alignement, milieux, barycentres, parallélisme, orthogonalité, angles géométriques et aires ; un cercle a pour image un cercle de même rayon.
g ∘ f : on applique f d'abord, puis g. En général g ∘ f ≠ f ∘ g.
Déplacements (conservent les angles orientés) : identité, translations, rotations. Antidéplacements : symétries orthogonales, symétries glissées.
Points invariants : tous → identité ; une droite → symétrie orthogonale ; un seul → rotation ; aucun → translation ou symétrie glissée.
s₂ ∘ s₁ (axes d₁, d₂) : translation si d₁ ∥ d₂ ; rotation d'angle 2(d₁, d₂) si les axes se coupent.
Une isométrie qui fixe trois points non alignés est l'identité.
4Erreurs fréquentes
- Lire g ∘ f dans le mauvais ordre : dans g ∘ f, c'est f qui agit en premier.
- Croire qu'une isométrie sans point fixe est forcément une translation : ce peut être une symétrie glissée (antidéplacement).
- Vouloir prouver qu'une application est une isométrie avec un seul exemple : il faut un calcul général avec deux points quelconques. En revanche, un seul contre-exemple suffit pour prouver le contraire.
- Oublier le facteur 2 dans la composée de deux réflexions : le vecteur de la translation vaut deux fois l'écart entre les axes, l'angle de la rotation vaut deux fois l'angle des axes.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Montre que f : (x ; y) mapsto (y ; x) est une isométrie, cherche ses points invariants et reconnais-la.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Avec M(x ; y), N(u ; v) : M'N'2 = (v - y)2 + (u - x)2 = MN2, c'est une isométrie.
Points invariants : y = x et x = y : tous les points de la droite Δ : y = x.
Une isométrie dont l'ensemble des points invariants est une droite est la symétrie orthogonale d'axe Δ.
2Exercice 2
L'application g : (x ; y) mapsto (x + y ; y) est-elle une isométrie ? Justifie.
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O(0 ; 0) et B(0 ; 1) ont pour images O'(0 ; 0) et B'(1 ; 1). OB = 1 mais O'B' = √2. g ne conserve pas les distances : ce n'est pas une isométrie.
3Exercice 3
f est une isométrie et A, B, C sont trois points tels que AB = 5, AC = 3 et BC = 4.
a) Quelle est la nature du triangle ABC ?
b) Que peut-on dire du triangle A'B'C' image par f ? Justifie.
c) Le cercle circonscrit à ABC a pour image un cercle ; précise son centre et son rayon.
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a) AC2 + BC2 = 9 + 16 = 25 = AB2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en C.
b) f conserve les distances : A'B' = 5, A'C' = 3, B'C' = 4. Le triangle A'B'C' est donc aussi rectangle en C', superposable à ABC (même aire, 6 unités d'aire).
c) Le cercle circonscrit à ABC a pour diamètre l'hypoténuse [AB] : centre I milieu de [AB], rayon 2,5. f conserve le milieu : l'image est le cercle de centre I' = f(I), milieu de [A'B'], et de rayon 2,5.
4Exercice 4
Soit s1 la symétrie d'axe d1 : x = 1 et s2 celle d'axe d2 : x = 4.
a) Donne l'expression analytique de s1 et de s2.
b) Calcule s2 ° s1 et reconnais cette transformation. Compare avec le cours.
c) Calcule s1 ° s2. Que remarques-tu ?
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a) s1 : (x ; y) mapsto (2 - x ; y) et s2 : (x ; y) mapsto (8 - x ; y).
b) s2 ° s1(x ; y) = s2(2 - x ; y) = (8 - (2 - x) ; y) = (x + 6 ; y). C'est la translation de vecteur (6 ; 0). Le vecteur qui va de d1 à d2 perpendiculairement est (3 ; 0) et on retrouve bien 2 × (3 ; 0).
c) s1 ° s2(x ; y) = s1(8 - x ; y) = (2 - 8 + x ; y) = (x - 6 ; y) : translation de vecteur (-6 ; 0). La composition n'est pas commutative.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit f : (x ; y) mapsto (-x + 2 ; -y + 4).
a) Montre que f est une isométrie.
b) Détermine ses points invariants.
c) Calcule f ° f. Déduis-en la nature de f.
d) Détermine l'image par f de la droite d d'équation y = x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) M'N'2 = (-u + x)2 + (-v + y)2 = (u - x)2 + (v - y)2 = MN2 : isométrie.
b) -x + 2 = x et -y + 4 = y donnent x = 1 et y = 2 : un seul point invariant Ω(1 ; 2).
c) f ° f(x ; y) = f(-x + 2 ; -y + 4) = (x - 2 + 2 ; y - 4 + 4) = (x ; y). Donc f ° f = Id : f est une involution. Une isométrie qui a un seul point fixe est une rotation ; comme f ° f = Id, son angle θ vérifie 2θ = 0 [2π] avec θ ≠ 0, donc θ = π : f est la symétrie centrale de centre Ω(1 ; 2). (On le voit aussi directement : Ω est le milieu de [MM'], car x + (-x + 2)2 = 1 et y + (-y + 4)2 = 2.)
d) Un point de d s'écrit M(t ; t) ; son image est M'(2 - t ; 4 - t). On a y' - x' = (4 - t) - (2 - t) = 2. L'image de d est la droite d' d'équation y = x + 2, parallèle à d (une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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