Karamö, le prof virtuelLeçon 33 sur 38
La symétrie centrale
Je sais utiliser la symétrie centrale (définition, écritures analytique et complexe, propriétés, composées) et démontrer qu'un point est centre de symétrie d'une figure ou d'une courbe.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la symétrie de centre I et la caractériser par vect(M'N') = −vect(MN)
- Écrire une symétrie centrale en coordonnées et en nombres complexes
- Composer deux symétries centrales, ou une symétrie centrale et une translation
- Démontrer qu'un point est centre de symétrie d'une courbe représentative
Avant de commencer : Isométries et applications : généralités ; les translations ; milieu d'un segment ; équations de droites et de cercles ; nombres complexes ; étude de fonctions.
1Je découvre
Sur le terrain de football du quartier, à Kindia, Ousmane observe le marquage : le rond central, la ligne médiane, les deux surfaces de réparation. S'il fait un demi-tour complet autour du point central du terrain, chaque élément du marquage vient se placer exactement sur un autre élément identique : le but de gauche sur le but de droite, le coin en haut à gauche sur le coin en bas à droite.
Il en est de même pour la courbe de certaines fonctions étudiées en classe : la courbe de x mapsto x3, par exemple, « tourne d'un demi-tour » autour de l'origine sans changer. Son professeur lui dit qu'on peut démontrer qu'une courbe possède un tel centre, sans la tracer, par un simple calcul.
La transformation qui fait « un demi-tour » autour d'un point est la symétrie centrale.
Comment définir la symétrie centrale, calculer avec elle, et démontrer qu'un point est centre de symétrie d'une figure ou d'une courbe ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Définition
Définition. Soit I un point du plan. La symétrie de centre I, notée sI, est l'application qui, à tout point M, associe le point M' tel que I est le milieu de [MM'], c'est-à-dire :
IM' = -IM.
Le point I est sa propre image : c'est le seul point invariant.
2. Propriété caractéristique
Théorème. Si sI transforme M en M' et N en N', alors M'N' = -MN.
Démonstration : M'N' = M'I + IN' = IM - IN = NM = -MN.
Réciproque. Une application f telle que M'N' = -MN pour tous points M, N est une symétrie centrale.
3. Propriétés
- sI est une isométrie et un déplacement : c'est la rotation de centre I et d'angle π (un demi-tour).
- C'est une involution : sI ° sI = Id, donc (sI)-1 = sI.
- L'image d'une droite est une droite parallèle ; une droite passant par I est globalement invariante.
- L'image d'un cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre sI(O) et de rayon r.
- La symétrie centrale de centre I est aussi l'homothétie de centre I et de rapport -1.
4. Écritures analytique et complexe
Si I(a ; b), alors I milieu de [MM'] s'écrit x + x'2 = a et y + y'2 = b :
begincases x' = 2a - x
y' = 2b - y endcases
En complexes, si I a pour affixe ω : z' = -z + 2ω.
Réciproquement, toute application d'écriture z' = -z + c est la symétrie centrale de centre d'affixe ω = c2.
5. Composées
Deux symétries centrales. Pour tout M, MM1 = 2MI et, en appliquant ensuite sJ, on obtient :
sJ ° sI = t2IJ.
En effet, en complexes : sJ(sI(z)) = -(-z + 2ωI) + 2ωJ = z + 2(ωJ - ωI).
Conséquence : sI ° sJ = t2JI, donc sJ ° sI ≠ sI ° sJ si I ≠ J.
Symétrie centrale et translation. tu ° sI est la symétrie centrale de centre J tel que IJ = 12u. En complexes : -z + 2ω + u = -z + 2(ω + u2).
6. Centre de symétrie d'une courbe
Propriété. Le point Ω(a ; b) est centre de symétrie de la courbe mathcalCf d'une fonction f si et seulement si, pour tout x tel que x et 2a - x appartiennent à l'ensemble de définition Df :
f(2a - x) + f(x) = 2b.
(Il faut aussi que Df soit symétrique par rapport à a : si x ∈ Df, alors 2a - x ∈ Df.)
Justification : le symétrique de M(x ; f(x)) par rapport à Ω est M'(2a - x ; 2b - f(x)), et M' est sur la courbe si f(2a - x) = 2b - f(x).
Méthode
Pour montrer que Ω(a ; b) est centre de symétrie de la courbe de f :
- Je vérifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à a (si x ∈ D_f, alors 2a − x ∈ D_f).
- Je calcule f(2a − x) en remplaçant x par 2a − x et je simplifie.
- Je calcule f(2a − x) + f(x) et je montre que le résultat vaut 2b (constante).
- Je conclus : « donc Ω(a ; b) est centre de symétrie de la courbe ».
Exemple
I(2 ; −1). Donner l'image de M(5 ; 3) par s_I, et l'écriture complexe de s_I.
x' = 2 × 2 − 5 = −1 et y' = 2 × (−1) − 3 = −5. Donc M'(−1 ; −5).
Contrôle : le milieu de [MM'] est ((5 − 1)/2 ; (3 − 5)/2) = (2 ; −1) = I.
Écriture complexe : ω = 2 − i, donc z' = −z + 4 − 2i.
Exemple
Montrer que Ω(1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe de f(x) = (2x + 1)/(x − 1).
D_f = ℝ \ {1}, symétrique par rapport à 1 (si x ≠ 1, alors 2 − x ≠ 1).
f(2 − x) = (2(2 − x) + 1)/((2 − x) − 1) = (5 − 2x)/(1 − x) = (2x − 5)/(x − 1).
f(x) + f(2 − x) = (2x + 1 + 2x − 5)/(x − 1) = (4x − 4)/(x − 1) = 4 = 2 × 2.
Donc Ω(1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe.
Exemple
I(1 ; 0) et J(3 ; 2). Reconnaître s_J ∘ s_I.
D'après le cours, s_J ∘ s_I = t de vecteur 2 vect(IJ) = 2 × (2 ; 2) = (4 ; 4).
Contrôle avec O(0 ; 0) : s_I(O) = (2 ; 0) ; puis s_J(2 ; 0) = (6 − 2 ; 4 − 0) = (4 ; 4). C'est bien O + (4 ; 4).
3Je retiens
Je retiens
s_I : M ↦ M' tel que I soit le milieu de [MM'] (vect(IM') = −vect(IM)). Seul point invariant : I.
Caractérisation : vect(M'N') = −vect(MN).
Analytique : x' = 2a − x, y' = 2b − y. Complexe : z' = −z + 2ω.
Isométrie, déplacement (rotation d'angle π), involution : s_I ∘ s_I = Id.
s_J ∘ s_I = translation de vecteur 2 vect(IJ).
Ω(a ; b) centre de symétrie de C_f ⟺ D_f symétrique par rapport à a et f(2a − x) + f(x) = 2b.
4Erreurs fréquentes
- Écrire x' = a − x au lieu de x' = 2a − x : c'est le milieu qui vaut a, donc x + x' = 2a.
- Croire que s_J ∘ s_I = s_I ∘ s_J : les deux translations obtenues ont des vecteurs opposés.
- Oublier de vérifier que l'ensemble de définition est symétrique avant de conclure sur un centre de symétrie.
- Montrer f(2a − x) + f(x) = 2b pour une seule valeur de x : il faut le prouver pour tout x de D_f.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit I(-1 ; 3). Calcule les images de A(2 ; 1) et B(-1 ; 0) par sI, puis donne l'écriture complexe de sI.
Voir le corrigéCacher le corrigé
A' = (2 × (-1) - 2 ; 2 × 3 - 1) = (-4 ; 5) et B' = (-2 + 1 ; 6 - 0) = (-1 ; 6).
ω = -1 + 3i, donc sI : z' = -z - 2 + 6i.
2Exercice 2
Soit I(1 ; 1) et d la droite d'équation x - y + 2 = 0. Détermine l'image d' de d par sI et vérifie que d' ∥ d.
Voir le corrigéCacher le corrigé
x' = 2 - x et y' = 2 - y, donc x = 2 - x' et y = 2 - y'.
On remplace : (2 - x') - (2 - y') + 2 = 0, soit -x' + y' + 2 = 0, c'est-à-dire x' - y' - 2 = 0.
d' : x - y - 2 = 0. Les deux droites ont le même vecteur directeur (1 ; 1) : elles sont parallèles.
Contrôle : P(0 ; 2) ∈ d a pour image (2 ; 0) et 2 - 0 - 2 = 0.
3Exercice 3
On considère f(x) = x3 - 3x2 + 1. Montre que le point Ω(1 ; -1) est centre de symétrie de la courbe de f.
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Df = ℝ est symétrique par rapport à 1.
(2 - x)3 = 8 - 12x + 6x2 - x3 et 3(2 - x)2 = 12 - 12x + 3x2.
f(2 - x) = 8 - 12x + 6x2 - x3 - 12 + 12x - 3x2 + 1 = -x3 + 3x2 - 3.
f(x) + f(2 - x) = x3 - 3x2 + 1 - x3 + 3x2 - 3 = -2 = 2 × (-1).
Donc Ω(1 ; -1) est centre de symétrie de la courbe. (On vérifie aussi f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 : Ω est sur la courbe.)
4Exercice 4
Dans le plan complexe, f est l'application z mapsto -z + 4 - 2i.
a) Reconnais f et précise ses éléments caractéristiques.
b) Détermine l'image par f du cercle mathcalC d'équation |z - 1| = 2.
c) Soit t la translation z mapsto z + 2i. Reconnais t ° f.
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a) f est de la forme z' = -z + c avec c = 4 - 2i : c'est la symétrie centrale de centre ω = c2 = 2 - i, donc de centre I(2 ; -1).
b) mathcalC a pour centre le point d'affixe 1 et pour rayon 2. f(1) = -1 + 4 - 2i = 3 - 2i. L'image est le cercle de centre 3 - 2i et de rayon 2 : |z - 3 + 2i| = 2.
c) t ° f(z) = -z + 4 - 2i + 2i = -z + 4 : symétrie centrale de centre d'affixe 2. Contrôle avec le cours : J = I + 12u, soit 2 - i + i = 2.
5Exercice 5
(Type BAC) ABCD est un quadrilatère dont les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O.
a) Quelles sont les images de A et de B par sO ?
b) Démontre, à l'aide de la propriété caractéristique, que CD = -AB ; déduis-en que ABCD est un parallélogramme.
c) On donne A(1 ; 2), B(5 ; 0) et O(3 ; 3). Calcule les coordonnées de C et de D, puis vérifie que AB = DC.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) O est le milieu de [AC] et de [BD], donc sO(A) = C et sO(B) = D.
b) Par la propriété caractéristique, CD = -AB, c'est-à-dire DC = AB. Un quadrilatère ABCD tel que AB = DC est un parallélogramme.
c) C = sO(A) = (6 - 1 ; 6 - 2) = (5 ; 4) et D = sO(B) = (6 - 5 ; 6 - 0) = (1 ; 6).
AB(4 ; -2) et DC(5 - 1 ; 4 - 6) = (4 ; -2) : égalité vérifiée.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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