Karamö, le prof virtuelLeçon 32 sur 38
Les translations
Je sais définir une translation, en donner l'écriture analytique et complexe, déterminer l'image d'une figure et utiliser une translation pour résoudre un problème de construction ou de lieu.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la translation de vecteur u et la caractériser par l'égalité vect(M'N') = vect(MN)
- Écrire une translation en coordonnées et en nombres complexes
- Déterminer l'image d'un point, d'une droite, d'un cercle
- Composer des translations et utiliser une translation dans un problème (construction, lieu de points)
Avant de commencer : Isométries et applications : généralités ; vecteurs et relation de Chasles ; équations de droites et de cercles ; nombres complexes (forme algébrique).
1Je découvre
En Haute-Guinée, deux villages, que l'on note A (sur la rive sud) et B (sur la rive nord), sont situés de part et d'autre d'un bras du fleuve Niger ; on suppose ses berges droites et parallèles. On veut construire un pont perpendiculaire aux berges (c'est plus solide et moins cher) et le placer pour que le trajet total « village A → pont → village B » soit le plus court possible.
Alpha, élève de Terminale, essaie plusieurs positions du pont en mesurant sur un plan : aucune règle ne lui saute aux yeux. Pourtant, le pont a toujours la même longueur et la même direction : traverser le pont revient à subir un déplacement fixe, toujours le même, quel que soit l'endroit où il se trouve.
Ce déplacement fixe est une translation. En « faisant glisser » le village A de la longueur du pont, le problème devient un simple problème de ligne droite.
Qu'est-ce qu'une translation, quelles sont ses propriétés, et comment l'utiliser pour résoudre ce genre de problème ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Définition
Définition. Soit u un vecteur du plan. La translation de vecteur u, notée tu, est l'application qui, à tout point M, associe le point M' tel que :
MM' = u.
- Si u = 0, t0 est l'identité.
- Si u ≠ 0, aucun point n'est invariant : chaque point est déplacé de u.
2. Propriété caractéristique
Théorème. Si tu transforme M en M' et N en N', alors M'N' = MN : le quadrilatère MM'N'N est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Démonstration : M'N' = M'M + MN + NN' = -u + MN + u = MN.
Réciproque. Une application f du plan telle que, pour tous points M, N d'images M', N', on ait M'N' = MN, est une translation (de vecteur u = MM' pour n'importe quel M).
3. Propriétés
- Une translation est une isométrie et un déplacement (elle conserve les angles orientés).
- Réciproque : (tu)-1 = t-u.
- Composée : tv ° tu = tu + v. La composition des translations est commutative.
- Image d'une droite : une droite parallèle (ou la même droite si u est un vecteur directeur de la droite).
- Image d'un cercle de centre O et de rayon r : le cercle de centre O' = tu(O) et de même rayon r.
- La composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles est une translation (voir la leçon précédente).
4. Écritures analytique et complexe
Dans un repère orthonormé, si u(a ; b), alors M'(x' ; y') = tu(M(x ; y)) vérifie :
begincases x' = x + a
y' = y + b endcases
En nombres complexes, si u a pour affixe b0 = a + ib :
z' = z + b0.
Réciproquement, toute application d'écriture complexe z' = z + b0 est la translation de vecteur d'affixe b0.
Méthode
Pour trouver l'image d'une droite ou d'un cercle par une translation :
- J'écris les formules x' = x + a et y' = y + b, puis j'exprime x = x' − a et y = y' − b.
- Je remplace x et y dans l'équation de la figure de départ.
- Je simplifie pour obtenir l'équation de l'image (en x', y'), puis je retire les primes.
- Contrôle : je prends un point de la figure de départ, je calcule son image et je vérifie qu'elle est sur la figure obtenue.
Méthode plus rapide pour un cercle : j'applique la translation au centre et je garde le rayon.
Exemple
t est la translation de vecteur u(3 ; −2). Trouver l'image de A(1 ; 4) et de la droite d : 2x − y + 1 = 0.
A' = (1 + 3 ; 4 − 2) = (4 ; 2).
Pour la droite : x = x' − 3 et y = y' + 2. On remplace : 2(x' − 3) − (y' + 2) + 1 = 0, soit 2x' − y' − 7 = 0.
Image : d' : 2x − y − 7 = 0 (parallèle à d, même coefficient directeur 2).
Contrôle : P(0 ; 1) est sur d ; son image (3 ; −1) vérifie 6 + 1 − 7 = 0.
Exemple
Même translation. Image du cercle C : (x − 1)² + (y + 2)² = 9.
Centre O(1 ; −2), rayon 3. Image du centre : O'(4 ; −4).
C' : (x − 4)² + (y + 4)² = 9.
Exemple
Dans le plan complexe, déterminer la translation qui transforme A(1 + i) en B(4 − i), puis l'image de C(−2).
z' = z + b₀ avec 4 − i = 1 + i + b₀, donc b₀ = 3 − 2i.
Image de C : −2 + 3 − 2i = 1 − 2i.
5. Retour au pont d'Alpha
On place un repère (unité : 1 km). La berge sud est la droite y = 0, la berge nord la droite y = 2 (le fleuve a 2 km de large dans notre exemple). Le village A(-3 ; -3) est au sud, le village B(4 ; 6) au nord. Le pont va de P(x ; 0) à Q(x ; 2) : PQ = u(0 ; 2) est toujours le même vecteur.
Soit A' = tu(A) = (-3 ; -1). Comme AA' = PQ, le quadrilatère AA'QP est un parallélogramme, donc AP = A'Q. Le trajet vaut :
AP + PQ + QB = A'Q + QB + 2.
La longueur du pont est fixe ; il faut donc rendre A'Q + QB minimale, avec Q sur la berge nord. D'après l'inégalité triangulaire, c'est le cas quand Q est sur le segment [A'B].
La droite (A'B) a pour coefficient directeur 6 - (-1)4 - (-3) = 1, donc pour équation y = x + 2. Elle coupe y = 2 en x = 0 : Q(0 ; 2) et P(0 ; 0).
Trajet minimal : A'B + 2 = √72 + 72 + 2 = 7√2 + 2 ≈ 11,9 km.
3Je retiens
Je retiens
t_u : M ↦ M' tel que vect(MM') = u. Si u ≠ 0, aucun point invariant.
Propriété caractéristique : vect(M'N') = vect(MN) pour tous M, N.
Analytique : x' = x + a, y' = y + b. Complexe : z' = z + b₀ (b₀ affixe de u).
Réciproque : t_(−u). Composée : t_v ∘ t_u = t_(u+v) (commutative).
Image d'une droite : droite parallèle ; image d'un cercle : cercle de même rayon, de centre translaté.
C'est un déplacement ; la composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation.
4Erreurs fréquentes
- Pour l'image d'une droite, remplacer x par x + a au lieu de x' − a : on exprime les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles (x = x' − a).
- Changer le rayon d'un cercle : une translation conserve toutes les longueurs.
- Confondre le vecteur de la translation qui envoie A sur B (vect(AB)) avec vect(BA).
- Oublier qu'une droite dirigée par u est globalement invariante par t_u : son image est elle-même.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit t la translation de vecteur u(-1 ; 4). Calcule les images de A(2 ; 0), B(-3 ; -4), et l'antécédent de C(0 ; 0).
Voir le corrigéCacher le corrigé
A' = (2 - 1 ; 0 + 4) = (1 ; 4) ; B' = (-3 - 1 ; -4 + 4) = (-4 ; 0).
L'antécédent de C est le point D tel que D + u = C : D = (0 + 1 ; 0 - 4) = (1 ; -4).
2Exercice 2
Soit t la translation de vecteur u(-2 ; 1) et d la droite d'équation x + 2y - 4 = 0. Détermine l'image de d par t. Explique le résultat.
Voir le corrigéCacher le corrigé
x = x' + 2 et y = y' - 1. On remplace : (x' + 2) + 2(y' - 1) - 4 = 0, soit x' + 2y' - 4 = 0.
L'image de d est d elle-même. Explication : un vecteur directeur de d est (-2 ; 1) (car -2 + 2 × 1 = 0) : c'est u. Une translation dont le vecteur dirige la droite fait « glisser » la droite sur elle-même.
3Exercice 3
Dans le plan complexe, t est la translation d'écriture z' = z - 2 + 5i.
a) Donne les coordonnées de son vecteur.
b) Détermine l'image du cercle de centre Ω(1 - i) et de rayon 3 (équation complexe |z - 1 + i| = 3).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) b0 = -2 + 5i : u(-2 ; 5).
b) Le centre 1 - i a pour image 1 - i - 2 + 5i = -1 + 4i. Le rayon ne change pas. L'image est le cercle de centre Ω'(-1 + 4i) et de rayon 3 : |z + 1 - 4i| = 3.
4Exercice 4
Soit s1 la symétrie d'axe y = 1 et s2 la symétrie d'axe y = -2.
a) Donne leurs expressions analytiques.
b) Calcule s2 ° s1 et reconnais cette transformation.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) s1 : (x ; y) mapsto (x ; 2 - y) et s2 : (x ; y) mapsto (x ; -4 - y).
b) s2 ° s1(x ; y) = s2(x ; 2 - y) = (x ; -4 - (2 - y)) = (x ; y - 6).
C'est la translation de vecteur (0 ; -6). Le vecteur qui va de l'axe y = 1 à l'axe y = -2 perpendiculairement est (0 ; -3) : on retrouve bien 2 × (0 ; -3).
5Exercice 5
(Type BAC) Dans un repère orthonormé, on donne A(0 ; 0), B(3 ; 1) et le cercle mathcalC de centre O'(-1 ; 2) et de rayon 2. Un point M décrit mathcalC et on construit le point N tel que ABNM soit un parallélogramme.
a) Exprime MN à l'aide de AB.
b) Déduis-en que N est l'image de M par une translation que l'on précisera.
c) Détermine l'ensemble des points N quand M décrit mathcalC ; donne son équation.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ABNM est un parallélogramme (sommets dans cet ordre), donc AB = MN.
b) MN = AB signifie que N = tAB(M), avec AB(3 ; 1).
c) Quand M décrit mathcalC, N décrit l'image de mathcalC par tAB : le cercle de centre tAB(O') = (-1 + 3 ; 2 + 1) = (2 ; 3) et de rayon 2.
Équation : (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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