Karamö, le prof virtuelLeçon 34 sur 41
La symétrie orthogonale
Je sais utiliser la symétrie orthogonale (réflexion) : définition, propriétés, formules analytiques et complexes, composées, et application aux problèmes de plus court chemin.
- 1 h 15
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la symétrie orthogonale d'axe Δ et connaître ses propriétés (involution, antidéplacement, points invariants)
- Calculer l'image d'un point, d'une droite ou d'un cercle en coordonnées et en complexes
- Reconnaître la composée de deux symétries orthogonales
- Résoudre un problème de plus court chemin à l'aide d'une réflexion
Avant de commencer : Isométries et applications : généralités ; médiatrice d'un segment ; produit scalaire et vecteur normal à une droite ; nombres complexes (conjugué, forme exponentielle).
1Je découvre
Chaque soir, Ousmane conduit ses vaches de l'enclos A jusqu'au bord d'une rivière rectiligne pour les faire boire, puis les ramène au village B. L'enclos et le village sont du même côté de la rivière. Ses bêtes sont fatiguées après une journée de pâturage : il veut choisir le point d'abreuvement M sur la berge pour que le trajet AM + MB soit le plus court possible.
En regardant l'eau calme, sa sœur Kadiatou a une idée : dans le reflet, le village B semble se trouver « de l'autre côté » de la berge, en un point B'. Or la distance réelle MB est égale à la distance MB' jusqu'au reflet. Il suffirait donc d'aller en ligne droite de A vers le reflet B'…
Le reflet dans un miroir plan, ou dans l'eau calme, est l'image par une symétrie orthogonale, appelée aussi réflexion.
Comment définir et calculer une symétrie orthogonale, et comment l'utiliser pour résoudre des problèmes comme celui d'Ousmane ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Définition
Définition. Soit Δ une droite du plan. La symétrie orthogonale d'axe Δ (ou réflexion d'axe Δ), notée s_Δ, associe à tout point M le point M' tel que :
- si M ∈ Δ, alors M' = M ;
- si M ∉ Δ, alors Δ est la médiatrice du segment [MM'].
Autrement dit, le milieu H de [MM'] est sur Δ et (MM') est perpendiculaire à Δ (H est le projeté orthogonal de M sur Δ).
2. Propriétés
- Les points invariants de s_Δ sont exactement les points de Δ.
- s_Δ ° s_Δ = Id : c'est une involution, donc (s_Δ)-1 = s_Δ.
- C'est une isométrie : elle conserve distances, alignement, milieux, angles géométriques, aires.
- C'est un antidéplacement : elle change chaque angle orienté en son opposé (le reflet d'une main droite est une main gauche).
- Image d'une droite d :
- si d ∥ Δ, l'image est une droite parallèle à Δ ;
- si d ⊥ Δ, d est globalement invariante ;
- si d coupe Δ en A, l'image est la droite symétrique de d passant par A.
- Image d'un cercle de centre O : le cercle de centre s_Δ(O) et de même rayon.
3. Formules analytiques
Dans un repère orthonormé :
| Axe Δ | Image de M(x ; y) |
|---|---|
| axe des abscisses (Ox) | (x ; -y) |
| axe des ordonnées (Oy) | (-x ; y) |
| droite y = x | (y ; x) |
| droite x = a | (2a - x ; y) |
| droite y = b | (x ; 2b - y) |
Cas général. Si Δ : ax + by + c = 0, un vecteur normal est n(a ; b) et l'image de M(x0 ; y0) est :
M' = M - 2(ax0 + by0 + c)a2 + b2 n.
Justification : M' s'écrit M + λn (car (MM') ⊥ Δ) et le milieu M + λ2n doit vérifier l'équation de Δ : ax0 + by0 + c + λ2(a2 + b2) = 0.
4. Écriture complexe
- Réflexion d'axe (Ox) : z' = z.
- Réflexion d'axe passant par O et faisant l'angle θ avec (Ox) : z' = e2iθ z.
- Plus généralement, une réflexion s'écrit z' = az + b avec |a| = 1 (et ab + b = 0).
Par exemple, z' = iz est la réflexion d'axe y = x : 2θ = π2 donne θ = π4.
5. Composée de deux réflexions
Soit s1 et s2 les réflexions d'axes d1 et d2.
- d1 ∥ d2 : s2 ° s1 est la translation de vecteur 2H1H2 (H1 ∈ d1, H2 ∈ d2, (H1H2) perpendiculaire aux axes).
- d1 et d2 sécantes en O : s2 ° s1 est la rotation de centre O et d'angle 2(d1, d2).
- Si de plus d1 ⊥ d2, cet angle vaut π : s2 ° s1 est la symétrie centrale de centre O.
Exemple
Δ : x − 2y + 3 = 0. Calculer l'image M' de M(4 ; 1).
Vecteur normal n(1 ; −2), a² + b² = 5. Valeur en M : 4 − 2 × 1 + 3 = 5.
M' = M − (2 × 5/5) n = (4 ; 1) − 2 × (1 ; −2) = (2 ; 5).
Contrôle : le milieu de [MM'] est (3 ; 3) et 3 − 6 + 3 = 0, il est bien sur Δ ; vect(MM') = (−2 ; 4) = −2 n est bien normal à Δ.
Exemple
Reconnaître s₂ ∘ s₁, où s₁ est la réflexion d'axe (Ox) et s₂ celle d'axe (Oy).
s₁(x ; y) = (x ; −y), puis s₂(x ; −y) = (−x ; −y).
s₂ ∘ s₁ : (x ; y) ↦ (−x ; −y), symétrie centrale de centre O.
C'est cohérent : les axes sont perpendiculaires en O, la rotation a pour angle 2 × π/2 = π.
6. Le problème d'Ousmane (plus court chemin)
On prend la berge comme axe (Ox) (unité : 100 m), l'enclos A(1 ; 3) et le village B(7 ; 1). Soit B' = s(Ox)(B) = (7 ; -1).
Pour tout M de la berge, MB = MB' (la réflexion conserve les distances et M est invariant). Donc AM + MB = AM + MB' ≥ AB' (inégalité triangulaire), avec égalité si et seulement si M ∈ [AB'].
La droite (AB') a pour coefficient directeur -1 - 37 - 1 = -23 et pour équation y - 3 = -23(x - 1). Pour y = 0 : x - 1 = 92, donc x = 112.
Le meilleur point est M(112 ; 0) et le trajet minimal vaut AB' = √62 + 42 = √52 = 2√13 ≈ 7,21, soit environ 721 m.
Méthode
Pour résoudre un problème de plus court chemin avec une réflexion :
- Je repère la droite sur laquelle le point M doit se trouver (berge, route, miroir).
- Je remplace l'un des deux points, B, par son symétrique B' par rapport à cette droite : MB = MB'.
- J'utilise l'inégalité triangulaire : AM + MB' ≥ AB', avec égalité si M est sur [AB'].
- Je calcule l'intersection de (AB') avec la droite, puis la longueur minimale AB'.
3Je retiens
Je retiens
s_Δ(M) = M si M ∈ Δ ; sinon Δ est la médiatrice de [MM']. Points invariants : la droite Δ.
Involution (s_Δ ∘ s_Δ = Id), isométrie, antidéplacement.
Formules : (Ox) : (x ; −y) ; (Oy) : (−x ; y) ; y = x : (y ; x) ; x = a : (2a − x ; y).
Axe ax + by + c = 0 : M' = M − 2(ax₀ + by₀ + c)/(a² + b²) × n, avec n(a ; b).
Complexe : axe (Ox) : z' = z̄ ; axe passant par O d'angle θ : z' = e^(2iθ) z̄.
s₂ ∘ s₁ : translation de vecteur 2 vect(H₁H₂) si axes parallèles ; rotation d'angle 2(d₁, d₂) si axes sécants.
Plus court chemin : remplacer B par son symétrique B', puis aligner A, M, B'.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le facteur 2 dans la formule générale : le milieu H est à mi-chemin, le symétrique est deux fois plus loin.
- Confondre réflexion et symétrie centrale : la réflexion a une droite de points fixes et change l'orientation ; la symétrie centrale n'a qu'un point fixe et conserve l'orientation.
- Écrire la composée dans le mauvais ordre : s₂ ∘ s₁ et s₁ ∘ s₂ sont des rotations d'angles opposés (ou des translations de vecteurs opposés).
- Dans le plus court chemin, tracer [AB] au lieu de [AB'] : A et B étant du même côté de la droite, le segment [AB] ne la coupe pas.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne l'image de M(3 ; -2) par la réflexion d'axe : a) (Ox) ; b) y = x ; c) x = 2 ; d) y = -1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (3 ; 2). b) (-2 ; 3). c) (2 × 2 - 3 ; -2) = (1 ; -2). d) (3 ; 2 × (-1) - (-2)) = (3 ; 0).
2Exercice 2
Δ : x + y - 2 = 0. Calcule l'image de M(3 ; 4) par s_Δ et vérifie ton résultat.
Voir le corrigéCacher le corrigé
n(1 ; 1), a2 + b2 = 2 ; valeur en M : 3 + 4 - 2 = 5.
M' = (3 ; 4) - 2 × 52(1 ; 1) = (3 ; 4) - (5 ; 5) = (-2 ; -1).
Contrôle : milieu (12 ; 32) et 12 + 32 - 2 = 0 ; MM'(-5 ; -5) est colinéaire à n.
3Exercice 3
Détermine l'image de la droite d : y = 2x + 1 par la réflexion d'axe (Ox), puis par la réflexion d'axe y = x.
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Par s(Ox) : x' = x, y' = -y, donc x = x' et y = -y'. On remplace : -y' = 2x' + 1, soit y = -2x - 1.
Par sy=x : x = y' et y = x'. On remplace : x' = 2y' + 1, soit y = 12x - 12.
Contrôle : P(0 ; 1) ∈ d a pour image (1 ; 0) par la seconde réflexion, et 12 - 12 = 0.
4Exercice 4
Soit s1 la réflexion d'axe (Ox) et s2 celle d'axe Δ : y = x.
a) Calcule s2 ° s1 et reconnais cette transformation.
b) Retrouve le résultat avec le cours sur la composée de deux réflexions.
c) Donne l'écriture complexe de s1, de s2 et de s2 ° s1.
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a) s1(x ; y) = (x ; -y), puis s2(x ; -y) = (-y ; x). Donc s2 ° s1 : (x ; y) mapsto (-y ; x), c'est la rotation de centre O et d'angle π2 (par exemple (1 ; 0) mapsto (0 ; 1)).
b) Les axes se coupent en O et l'angle ((Ox), Δ) vaut π4 : la composée est la rotation de centre O et d'angle 2 × π4 = π2.
c) s1 : z' = z ; s2 : z' = eiπ/2z = iz ; s2 ° s1 : z' = i z = iz, écriture de la rotation de centre O et d'angle π2.
5Exercice 5
(Type BAC) Dans un repère orthonormé (unité : 1 km), une route rectiligne suit l'axe (Ox). Une école est en A(0 ; 4) et un centre de santé en B(6 ; 2), du même côté de la route. On veut installer sur la route un arrêt de bus M tel que AM + MB soit minimal.
a) Détermine le symétrique B' de B par rapport à (Ox).
b) Démontre que AM + MB ≥ AB' pour tout M de la route.
c) Détermine la position de M et la longueur minimale.
d) Démontre que les droites (MA) et (MB) font des angles égaux avec la route.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) B'(6 ; -2).
b) M est sur l'axe, donc invariant, et la réflexion conserve les distances : MB = MB'. Par l'inégalité triangulaire, AM + MB = AM + MB' ≥ AB'.
c) L'égalité a lieu quand M ∈ [AB']. La droite (AB') a pour coefficient directeur -2 - 46 - 0 = -1 et pour équation y = -x + 4. Elle coupe (Ox) en M(4 ; 0).
Longueur minimale : AB' = √62 + 62 = 6√2 ≈ 8,49 km.
d) La réflexion d'axe (Ox) transforme la droite (MB) en (MB') ; elle conserve les angles géométriques, donc (MB) et (MB') font le même angle avec la route. Or (MB') = (MA) (points alignés), et les angles « de part et d'autre de M » sont opposés par le sommet : (MA) et (MB) font des angles égaux avec la route. Ici chaque angle vaut 45° (pente -1 pour (MA), pente 1 pour (MB)). C'est la loi de la réflexion de la lumière.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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