Karamö, le prof virtuelLeçon 35 sur 41
La symétrie glissée
Je sais reconnaître une symétrie glissée, déterminer son axe et son vecteur (forme réduite) à partir d'une écriture analytique ou complexe, et l'utiliser dans un problème.
- 1 h 15
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une symétrie glissée et connaître sa forme réduite t_u ∘ s_Δ avec u vecteur directeur de Δ
- Connaître ses propriétés (antidéplacement sans point invariant, f ∘ f translation, milieu de [MM'] sur l'axe)
- Déterminer l'axe et le vecteur d'une symétrie glissée donnée analytiquement ou en complexes
- Décomposer la composée d'une réflexion et d'une translation quelconque
Avant de commencer : Isométries et applications : généralités ; les translations ; la symétrie orthogonale ; nombres complexes (conjugué, module).
1Je découvre
Après la pluie, Fatoumata marche sur la plage de sable mouillé. En se retournant, elle regarde la trace de ses pas : un pied gauche, puis un pied droit un peu plus loin, puis un pied gauche, et ainsi de suite, de part et d'autre d'une ligne imaginaire.
Son frère Sékou, en Terminale SM, lui fait remarquer que l'empreinte du pied droit est « le reflet » de celle du pied gauche par rapport à cette ligne, mais déplacée d'un demi-pas vers l'avant. Ce n'est ni une simple réflexion (l'empreinte n'est pas en face), ni une simple translation (un pied droit n'est pas un pied gauche déplacé).
On retrouve la même transformation dans certaines frises des pagnes teints : un motif, puis son reflet décalé, puis le motif, etc.
Cette transformation, « réflexion suivie d'un glissement le long de l'axe », s'appelle une symétrie glissée. C'est la cinquième et dernière famille d'isométries du plan.
Comment définir une symétrie glissée, la reconnaître et trouver son axe et son vecteur ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Définition et forme réduite
Définition. Soit Δ une droite et u un vecteur directeur non nul de Δ. On appelle symétrie glissée d'axe Δ et de vecteur u la transformation :
f = tu ° s_Δ.
Comme u est parallèle à l'axe, on a aussi tu ° s_Δ = s_Δ ° tu : les deux transformations commutent.
Ce couple (Δ, u) est unique : on l'appelle la forme réduite de la symétrie glissée. (Si u = 0, on retrouve simplement la réflexion s_Δ.)
2. Propriétés
- Une symétrie glissée est une isométrie et un antidéplacement (elle contient une réflexion).
- Si u ≠ 0, elle n'a aucun point invariant.
- f ° f = t2u : appliquée deux fois, elle donne une translation (la réflexion s'annule, les glissements s'ajoutent). C'est le pied gauche suivant, deux demi-pas plus loin.
- Pour tout point M, le milieu de [MM'] est sur l'axe Δ (où M' = f(M)).
- L'axe Δ est globalement invariant : f(Δ) = Δ.
Théorème de classification (rappel). Un antidéplacement sans point invariant est une symétrie glissée ; un antidéplacement qui a au moins un point invariant est une réflexion.
3. Trouver l'axe et le vecteur
Les propriétés ci-dessus donnent une méthode sûre.
Méthode
Pour déterminer la forme réduite d'une symétrie glissée f :
- Je vérifie que f est un antidéplacement sans point fixe (ou que f ∘ f est une translation non nulle).
- Vecteur : je calcule f ∘ f = t de vecteur w ; alors u = w/2.
- Axe : je calcule le milieu I de [M f(M)] pour un point M quelconque ; l'ensemble de ces milieux est l'axe Δ. Je vérifie que u dirige Δ.
- Contrôle : je vérifie que t_u ∘ s_Δ redonne bien f.
4. Écriture complexe
Un antidéplacement s'écrit z' = az + b avec |a| = 1. On calcule :
f ° f(z) = a (az + b) + b = aaz + ab + b = z + ab + b.
- Si ab + b = 0 : f ° f = Id, f est une réflexion.
- Si ab + b ≠ 0 : f est une symétrie glissée de vecteur d'affixe ab + b2.
Exemple
Reconnaître f : (x ; y) ↦ (y + 1 ; x + 3).
Isométrie : M'N'² = (v − y)² + (u − x)² = MN² (avec N(u ; v)).
En complexe, (y + 1) + i(x + 3) = i(x − iy) + 1 + 3i, donc f(z) = i z̄ + 1 + 3i : c'est un antidéplacement.
Points fixes : y + 1 = x et x + 3 = y donnent y = y + 4 : impossible, aucun point fixe.
f ∘ f(x ; y) = f(y + 1 ; x + 3) = (x + 3 + 1 ; y + 1 + 3) = (x + 4 ; y + 4) : translation de vecteur (4 ; 4). Donc u = (2 ; 2).
Milieu de [MM'] : ((x + y + 1)/2 ; (x + y + 3)/2). Son ordonnée dépasse son abscisse de 1 : l'axe est Δ : y = x + 1. Le vecteur u(2 ; 2) dirige bien Δ.
Contrôle : la réflexion d'axe y = x + 1 est (x ; y) ↦ (y − 1 ; x + 1) ; en ajoutant (2 ; 2) on obtient (y + 1 ; x + 3). C'est bien f.
Exemple
Reconnaître f : z ↦ i z̄ + 2.
a = i (|a| = 1), b = 2. a b̄ + b = 2i + 2 ≠ 0 : symétrie glissée de vecteur d'affixe (2 + 2i)/2 = 1 + i.
Avec z = x + iy : i(x − iy) + 2 = (y + 2) + ix, donc f : (x ; y) ↦ (y + 2 ; x).
Milieu de [MM'] : ((x + y + 2)/2 ; (x + y)/2) ; son abscisse dépasse son ordonnée de 1 : l'axe est y = x − 1, dirigé par u(1 ; 1).
5. Réflexion suivie d'une translation quelconque
Soit s_Δ une réflexion et v un vecteur quelconque. On décompose v = v1 + v2, avec v1 perpendiculaire à Δ et v2 parallèle à Δ. Alors :
tv ° s_Δ = tv2 ° (tv1 ° s_Δ) = tv2 ° sΔ',
où Δ' = t12v1(Δ) (en effet tv1 = sΔ' ° s_Δ, composée de deux réflexions d'axes parallèles, donc tv1 ° s_Δ = sΔ' ° s_Δ ° s_Δ = sΔ').
Conclusion : c'est la symétrie glissée d'axe Δ' (parallèle à Δ, décalé de 12v1) et de vecteur v2 ; c'est une réflexion si v2 = 0, c'est-à-dire si v ⊥ Δ.
Exemple
Reconnaître g = t_v ∘ s_(Ox) avec v(2 ; 4).
g(x ; y) = (x + 2 ; −y + 4).
v₁ = (0 ; 4) (perpendiculaire à (Ox)) et v₂ = (2 ; 0) (parallèle à (Ox)).
Δ' est la translatée de (Ox) par (0 ; 2) : la droite y = 2.
g est la symétrie glissée d'axe y = 2 et de vecteur (2 ; 0).
Contrôle : g ∘ g(x ; y) = (x + 4 ; y), translation de vecteur 2 × (2 ; 0) ; et l'ordonnée du milieu de [MM'] vaut (y − y + 4)/2 = 2.
3Je retiens
Je retiens
Symétrie glissée : f = t_u ∘ s_Δ = s_Δ ∘ t_u, avec u vecteur directeur de l'axe Δ (forme réduite unique).
Antidéplacement sans point invariant (si u ≠ 0).
f ∘ f = translation de vecteur 2u, donc u = ½ × (vecteur de f ∘ f).
Le milieu de [M f(M)] est toujours sur l'axe Δ.
Complexe : z' = a z̄ + b (|a| = 1) ; réflexion si a b̄ + b = 0 ; sinon symétrie glissée de vecteur (a b̄ + b)/2.
t_v ∘ s_Δ avec v quelconque : on sépare v en une partie perpendiculaire (qui décale l'axe de moitié) et une partie parallèle (qui donne le vecteur).
4Erreurs fréquentes
- Prendre pour vecteur de la symétrie glissée un vecteur qui n'est pas parallèle à l'axe : dans la forme réduite, u dirige toujours Δ. Sinon, il faut décomposer.
- Confondre le vecteur de f ∘ f (qui vaut 2u) avec u lui-même.
- Croire que « réflexion + translation » donne toujours une symétrie glissée : si la translation est perpendiculaire à l'axe, on obtient une réflexion.
- Chercher des points fixes à une symétrie glissée : il n'y en a aucun ; c'est même ce qui la distingue d'une réflexion.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Reconnais la transformation f : (x ; y) mapsto (x - 2 ; -y) et donne sa forme réduite.
Voir le corrigéCacher le corrigé
f est la composée de la réflexion d'axe (Ox) ((x ; y) mapsto (x ; -y)) et de la translation de vecteur (-2 ; 0), parallèle à (Ox). C'est donc la symétrie glissée d'axe (Ox) et de vecteur u(-2 ; 0). Contrôle : f ° f(x ; y) = (x - 4 ; y) et aucun point fixe (x - 2 = x impossible).
2Exercice 2
Soit f : (x ; y) mapsto (-x + 4 ; y + 2).
a) Montre que f n'a aucun point invariant.
b) Calcule f ° f et déduis-en le vecteur u.
c) Détermine l'axe de f.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -x + 4 = x donne x = 2, mais y + 2 = y est impossible : aucun point invariant.
b) f ° f(x ; y) = f(-x + 4 ; y + 2) = (x - 4 + 4 ; y + 4) = (x ; y + 4) : translation de vecteur (0 ; 4), donc u(0 ; 2).
c) Abscisse du milieu de [MM'] : x + (-x + 4)2 = 2. L'axe est la droite x = 2, dirigée par u(0 ; 2). Contrôle : la réflexion d'axe x = 2 est (x ; y) mapsto (4 - x ; y), et en ajoutant (0 ; 2) on retrouve f.
3Exercice 3
Dans le plan complexe, on considère f : z mapsto -z + 2 + 3i.
a) Montre que f est une symétrie glissée.
b) Donne son vecteur et son axe.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) a = -1 (|a| = 1), b = 2 + 3i. ab + b = -(2 - 3i) + 2 + 3i = 6i ≠ 0 : c'est une symétrie glissée.
b) Vecteur d'affixe 6i2 = 3i, soit u(0 ; 3).
Avec z = x + iy : -(x - iy) + 2 + 3i = (-x + 2) + i(y + 3), donc f : (x ; y) mapsto (-x + 2 ; y + 3). Abscisse du milieu : x - x + 22 = 1. L'axe est la droite x = 1.
4Exercice 4
Soit s la réflexion d'axe (Oy) et t la translation de vecteur v(6 ; 2). Reconnais t ° s et donne ses éléments caractéristiques.
Voir le corrigéCacher le corrigé
t ° s(x ; y) = (-x + 6 ; y + 2).
On décompose v = v1 + v2 avec v1(6 ; 0) perpendiculaire à (Oy) et v2(0 ; 2) parallèle à (Oy).
L'axe est la translatée de (Oy) par (3 ; 0) : la droite x = 3. Le vecteur est (0 ; 2).
t ° s est la symétrie glissée d'axe x = 3 et de vecteur (0 ; 2). Contrôle : abscisse du milieu x - x + 62 = 3.
5Exercice 5
(Type BAC) Dans un repère orthonormé, on considère le carré ABCD avec A(0 ; 0), B(2 ; 0), C(2 ; 2), D(0 ; 2). On pose g = tAB ° s(AD) et h = tAC ° s(AD).
a) Donne les expressions analytiques de g et de h.
b) Montre que g est une réflexion dont on précisera l'axe.
c) Montre que h est une symétrie glissée ; donne son axe et son vecteur.
d) Calcule h(A), h(B), h(C) et h(D).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (AD) est l'axe (Oy) : s(AD)(x ; y) = (-x ; y). AB(2 ; 0) et AC(2 ; 2).
g(x ; y) = (-x + 2 ; y) et h(x ; y) = (-x + 2 ; y + 2).
b) g est de la forme (x ; y) mapsto (2a - x ; y) avec a = 1 : c'est la réflexion d'axe x = 1 (médiatrice de [AB]). Explication : AB est perpendiculaire à l'axe (AD).
c) h ° h(x ; y) = (x ; y + 4) : translation de vecteur (0 ; 4), donc u(0 ; 2) = AD. Abscisse du milieu de [MM'] : x - x + 22 = 1. h est la symétrie glissée d'axe x = 1 et de vecteur AD. (Elle n'a pas de point fixe, car y + 2 = y est impossible.)
d) h(A) = (2 ; 2) = C ; h(B) = (0 ; 2) = D ; h(C) = (0 ; 4) ; h(D) = (2 ; 4).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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