Karamö, le prof virtuelLeçon 38 sur 41
Les similitudes
Je sais reconnaître une similitude directe z ↦ az + b, trouver son rapport, son angle et son centre, la déterminer à partir de deux points et de leurs images, et l'utiliser dans un problème de type BAC.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une similitude et distinguer similitudes directes et indirectes
- Déterminer le rapport, l'angle et le centre d'une similitude directe à partir de son écriture complexe, et écrire sa forme réduite
- Déterminer la similitude directe qui transforme deux points donnés en deux points donnés
- Utiliser les propriétés (longueurs, aires, angles, composées) et étudier une suite de points définie par une similitude
Avant de commencer : Rotations et homothéties ; nombres complexes (module, argument, notation exponentielle) ; suites géométriques.
1Je découvre
Mariama regarde une carte de la Guinée sur son téléphone. Avec deux doigts, elle écarte l'image pour zoomer sur le Fouta-Djallon, tout en la faisant tourner pour que la route qu'elle va prendre soit bien verticale. La carte change de taille et d'orientation, mais les formes restent les mêmes : les angles entre les routes sont conservés, et toutes les distances sont multipliées par un même nombre.
Son cousin Ibrahima, en Terminale SM, lui explique que ce geste à deux doigts réalise exactement une transformation mathématique : la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre. Mieux : dès qu'on connaît la position de départ et d'arrivée de ses deux doigts, la transformation est entièrement déterminée.
Ces transformations s'appellent des similitudes. En nombres complexes, elles s'écrivent de façon très simple : z' = az + b.
Comment reconnaître une similitude, trouver ses éléments caractéristiques et la déterminer à partir de deux points ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.
1. Définition
Définition. Une similitude de rapport k > 0 est une application du plan qui multiplie toutes les distances par k : pour tous points M, N d'images M', N',
M'N' = k MN.
Exemples : les isométries (k = 1), les homothéties de rapport λ (k = |λ|), les rotations, et leurs composées.
- Une similitude directe conserve les angles orientés.
- Une similitude indirecte change les angles orientés en leurs opposés.
2. Écriture complexe des similitudes directes
Théorème. Les similitudes directes sont exactement les applications d'écriture complexe :
z' = az + b, a ∈ mathbbC^*, b ∈ mathbbC.
En effet, si M' et N' sont les images de M et N : zN' - zM' = a(zN - zM), donc M'N' = |a| MN et (MN, M'N') = arg(a).
Éléments caractéristiques de f : z mapsto az + b :
- le rapport k = |a| ;
- l'angle θ = arg(a) ;
- si a = 1 : f est la translation de vecteur d'affixe b ;
- si a ≠ 1 : f a un unique point invariant, le centre Ω d'affixe ω = b1 - a.
Forme réduite. Si a ≠ 1, on a z' - ω = a(z - ω) = keiθ(z - ω) : la similitude est la composée de la rotation r(Ω, θ) et de l'homothétie h(Ω, k), qui commutent :
f = h(Ω, k) ° r(Ω, θ) = r(Ω, θ) ° h(Ω, k).
Géométriquement : Ω M' = k Ω M et (Ω M, Ω M') = θ.
| Écriture z' = az + b | Nature |
|---|---|
| a = 1 | translation |
| a réel, a ≠ 0, a ≠ 1 | homothétie de rapport a |
| module de a égal à 1, a ≠ 1 | rotation d'angle arg(a) |
| a quelconque non nul, a ≠ 1 | similitude de rapport égal au module de a, d'angle arg(a), de centre b1-a |
3. Propriétés
- Une similitude de rapport k multiplie les longueurs par k et les aires par k2.
- Une similitude directe conserve les angles orientés, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les milieux et les barycentres ; elle transforme un cercle de rayon r en un cercle de rayon kr.
- Composée de deux similitudes directes de rapports k, k' et d'angles θ, θ' : similitude directe de rapport kk' et d'angle θ + θ' (produit des a).
- Réciproque d'une similitude directe de rapport k et d'angle θ : similitude directe de rapport 1k et d'angle -θ.
Théorème fondamental. Soit A ≠ B et A' ≠ B'. Il existe une unique similitude directe qui transforme A en A' et B en B'. Son écriture z' = az + b s'obtient avec :
a = zB' - zA'zB - zA, b = zA' - a zA.
C'est le geste à deux doigts de Mariama : deux points et leurs images suffisent.
Méthode
Pour étudier une similitude directe z ↦ az + b :
- Rapport : k = |a|.
- Angle : θ = arg(a) (j'écris a sous forme exponentielle).
- Centre (si a ≠ 1) : ω = b/(1 − a), mis sous forme algébrique ; je vérifie aω + b = ω.
- Pour trouver la similitude qui envoie A sur A' et B sur B' : a = (z_B' − z_A')/(z_B − z_A), puis b = z_A' − a z_A.
Exemple
Reconnaître f : z ↦ (1 + i)z + 2.
a = 1 + i = √2 e^(iπ/4) : rapport √2, angle π/4.
Centre : ω = 2/(1 − (1 + i)) = 2/(−i) = 2i (car 1/(−i) = i).
Contrôle : (1 + i)(2i) + 2 = 2i + 2i² + 2 = 2i − 2 + 2 = 2i.
f est la similitude directe de centre Ω(0 ; 2), de rapport √2 et d'angle π/4.
Exemple
Déterminer la similitude directe f telle que f(O) = A' d'affixe 1 et f(B) = B' d'affixe 1 + 2i, où B a pour affixe 1.
a = (1 + 2i − 1)/(1 − 0) = 2i ; b = 1 − 2i × 0 = 1. Donc f(z) = 2iz + 1.
Rapport |2i| = 2, angle π/2.
Centre : ω = 1/(1 − 2i) = (1 + 2i)/(1 + 4) = 1/5 + (2/5)i.
Contrôle : 2i(1 + 2i)/5 + 1 = (2i − 4)/5 + 1 = (1 + 2i)/5.
Exemple
Écrire la similitude de centre Ω(1 + i), de rapport 2 et d'angle π/3.
a = 2e^(iπ/3) = 2(1/2 + i√3/2) = 1 + i√3.
z' − (1 + i) = (1 + i√3)(z − 1 − i).
b = (1 + i) − (1 + i√3)(1 + i) = (1 + i)(1 − 1 − i√3) = −i√3(1 + i) = √3 − i√3.
f(z) = (1 + i√3)z + √3 − i√3. Contrôle : f(1 + i) = 1 + i − √3 + i√3 + √3 − i√3 = 1 + i.
4. En plus pour la série SM : les similitudes indirectes
Les similitudes indirectes ont une écriture de la forme z' = az + b avec a ≠ 0 ; leur rapport est |a|. Par exemple z mapsto 2z est la composée de la réflexion d'axe (Ox) et de l'homothétie de centre O et de rapport 2. Toute similitude indirecte de rapport k ≠ 1 a un unique centre et s'écrit comme la composée d'une homothétie de rapport k et d'une réflexion d'axe passant par ce centre.
3Je retiens
Je retiens
Similitude de rapport k > 0 : M'N' = k MN. Directe : conserve les angles orientés.
Similitude directe ⟺ écriture z' = az + b (a ≠ 0).
Rapport |a| ; angle arg(a) ; si a ≠ 1, centre ω = b/(1 − a) ; si a = 1, translation.
Forme réduite : z' − ω = k e^(iθ)(z − ω), composée de h(Ω, k) et r(Ω, θ).
Longueurs × k ; aires × k² ; composée : rapports multipliés, angles ajoutés.
Unique similitude directe envoyant A sur A' et B sur B' : a = (z_B' − z_A')/(z_B − z_A), b = z_A' − a z_A.
4Erreurs fréquentes
- Donner pour rapport le nombre a lui-même au lieu de son module |a| : le rapport est toujours un réel strictement positif.
- Confondre les formules du centre : ω = b/(1 − a), et non b/(a − 1).
- Pour déterminer la similitude à partir de deux points, diviser dans le mauvais sens : a = (z_B' − z_A')/(z_B − z_A) (images en haut, antécédents en bas).
- Oublier qu'une homothétie de rapport négatif λ est une similitude de rapport |λ| et d'angle π.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Reconnais la similitude f : z mapsto -2iz + 1 : rapport, angle, centre.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a = -2i = 2e-iπ/2 : rapport 2, angle -π2.
Centre : ω = 11 + 2i = 1 - 2i5 = 15 - 25i. Contrôle : -2i × 1 - 2i5 + 1 = -2i - 45 + 1 = 1 - 2i5.
2Exercice 2
Écris la similitude directe de centre O, de rapport 3 et d'angle -π2, puis calcule l'image du point d'affixe 1 + i.
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a = 3e-iπ/2 = -3i et le centre est O : f(z) = -3iz.
f(1 + i) = -3i - 3i2 = 3 - 3i.
3Exercice 3
Détermine la similitude directe f qui transforme A(1) en A'(1 + i) et B(-1) en B'(-1 + 3i). Précise son rapport, son angle et son centre.
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a = (-1 + 3i) - (1 + i)-1 - 1 = -2 + 2i-2 = 1 - i et b = (1 + i) - (1 - i) × 1 = 2i.
f(z) = (1 - i)z + 2i. Contrôle : f(-1) = -1 + i + 2i = -1 + 3i.
1 - i = √2e-iπ/4 : rapport √2, angle -π4.
Centre : ω = 2i1 - (1 - i) = 2ii = 2. Contrôle : (1 - i) × 2 + 2i = 2.
4Exercice 4
Sur une feuille, le croquis triangulaire d'un champ a une aire de 5 cm². On lui applique une similitude de rapport 3. Quelle est l'aire de l'image ? Quel rapport faut-il pour obtenir une image d'aire 20 cm² ?
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Les aires sont multipliées par k2 = 9 : l'image a une aire de 5 × 9 = 45 cm².
Pour une aire de 20 cm², il faut k2 = 205 = 4, soit k = 2.
5Exercice 5
(Type BAC) On considère la similitude directe f : z mapsto (1 + i)z - i.
a) Détermine le rapport, l'angle et le centre Ω de f.
b) On définit la suite de points Mn d'affixes zn par z0 = 0 et zn+1 = f(zn). Calcule z1 et z2.
c) Montre que zn+1 - 1 = (1 + i)(zn - 1), puis que zn - 1 = -(1 + i)n.
d) Déduis-en la distance Ω Mn en fonction de n. La suite (Ω Mn) est-elle géométrique ?
e) Reconnais f ° f.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) a = 1 + i = √2eiπ/4 : rapport √2, angle π4. Centre : ω = -i1 - (1 + i) = -i-i = 1. Contrôle : (1 + i) - i = 1. Ω(1 ; 0).
b) z1 = f(0) = -i ; z2 = (1 + i)(-i) - i = -i - i2 - i = 1 - 2i.
c) zn+1 - 1 = (1 + i)zn - i - 1 = (1 + i)zn - (1 + i) = (1 + i)(zn - 1).
La suite (zn - 1) est géométrique de raison 1 + i et de premier terme z0 - 1 = -1 : zn - 1 = -(1 + i)n.
Contrôle : z2 - 1 = -(1 + i)2 = -2i, donc z2 = 1 - 2i.
d) Ω Mn = |zn - 1| = |1 + i|n = (√2)n. La suite (Ω Mn) est géométrique de raison √2 : les points s'éloignent du centre en « spirale ».
e) f ° f(z) = (1 + i)[(1 + i)z - i] - i = 2iz - i + 1 - i = 2iz + 1 - 2i. C'est la similitude de centre Ω (car 2i + 1 - 2i = 1), de rapport 2 et d'angle π2 : les rapports se multiplient (√2 × √2) et les angles s'ajoutent (π4 + π4).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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